2018年秋高中數(shù)學 第三章 空間向量與立體幾何 3.1 空間向量及其運算 3.1.5 空間向量運算的坐標表示學案 新人教A版選修2-1.doc

3.1.5空間向量運算的坐標表示學習目標：1.掌握空間向量運算的坐標表示，并會判斷兩個向量是否共線或垂直(重點)2.掌握空間向量的模，夾角公式和兩點間距離公式，并能運用這些公式解決簡單幾何體中的問題(重點，難點)自 主 預 習探 新 知1空間向量運算的坐標表示設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，空間向量的坐標運算法則如下表所示：運算坐標表示加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)減法ab(a1b1，a2b2，a3b3)數(shù)乘a(a1，a2，a3)，R數(shù)量積aba1b1a2b2a3b32.空間向量的平行、垂直、模與夾角公式的坐標表示設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則平行(ab)ab(b0)ab垂直(ab)abab0a1b1a2b2a3b30(a，b均為非零向量)模|a|夾角公式cosa，b思考：若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則ab一定有成立嗎？提示當b1，b2，b3均不為0時，成立3向量的坐標及兩點間的距離公式在空間直角坐標系中，設A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則(1)(a2a1，b2b1，c2c1)；(2)dAB|.基礎自測1思考辨析(1)若a(1，2,1)，ab(1,2，1)，則b(2,4，2)()(2)若a(1,2,0)，b(2,0,1)，則|a|b|.()(3)若a(0,0,1)，b(1,0,0)則ab.()(4)在空間坐標系中，若A(1,2,3)，B(4,5,6)，則(3，3，3)()答案(1)(2)(3)(4)2已知向量a(3，2,1)，b(2,4,0)，則4a2b等于()A(16,0,4)B(8，16,4)C(8,16,4)D(8,0,4)D4a(12，8,4)，2b(4,8,0)，4a2b(8,0,4)3已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab與2ab互相垂直，則k() 【導學號：46342154】A1 B CDDkab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，且(kab)(2ab)3(k1)2k40，解得k.4若點A(0,1,2)，B(1,0,1)，則_，_.(1，1，1)(1，1，1)，|.合 作 探 究攻 重 難空間向量的坐標運算(1)若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)滿足條件(ca)(2b)2，則x_.(2)已知O是坐標原點，且A，B，C三點的坐標分別是(2，1,2)，(4,5，1)，(2,2,3)，求適合下列條件的點P的坐標；()；()解析(1)ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)，由(ca)2b2得2(1x)2，解得x2.答案2(2)(2,6，3)，(4,3,1)()(6,3，4)，則點P的坐標為.設P(x，y，z)，則(x2，y1，z2)()，解得x5，y，z0，則點P的坐標為.規(guī)律方法1.一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標2在確定了向量的坐標后，使用空間向量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標運算公式進行計算就可以了，但要熟練應用下列有關乘法公式：(1)(ab)2a22abb2；(2)(ab)(ab)a2b2.跟蹤訓練1已知a(2，1，2)，b(0，1,4)求：(1)ab；(2)ab；(3)ab；(4)2a(b)；(5)(ab)(ab)解(1)ab(2，1，2)(0，1,4)(20，11，24)(2，2,2)(2)ab(2，1，2)(0，1,4)(20，1(1)，24)(2,0，6)(3)ab(2，1，2)(0，1,4)20(1)(1)(2)47.(4)2a(4，2，4)，(2a)(b)(4，2，4)(0,1，4)40(2)1(4)(4)14.(5)(ab)(ab)a2b2414(0116)8.利用向量的坐標運算解決平行、垂直問題已知空間三點A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)設a，b.(1)若|c|3，c，求c；(2)若kab與ka2b互相垂直，求k.思路探究(1)根據(jù)c，設c，則向量c的坐標可用表示，再利用|c|3求值；(2)把kab與ka2b用坐標表示出來，再根據(jù)數(shù)量積為0求解解(1)(2，1,2)且c，設c(2，2)(R)|c|3|3.解得1.c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)(kab)(ka2b)，(kab)(ka2b)0，即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100，解得k2或k.規(guī)律方法向量平行與垂直問題主要有兩種題型：(1)平行與垂直的判斷；(2)利用平行與垂直求參數(shù)或解其他問題，即平行與垂直的應用.解題時要注意：適當引入?yún)?shù)(比如向量a，b平行，可設ab)，建立關于參數(shù)的方程；最好選擇坐標形式，以達到簡化運算的目的.跟蹤訓練2已知a(1,1,2)，b(6,2m1,2)(1)若ab，分別求與m的值；(2)若|a|，且與c(2，2，)垂直，求a. 【導學號：46342155】解(1)由ab，得(1,1,2)k(6,2m1,2)，解得實數(shù)，m3.(2)|a|，且ac，化簡，得解得1.因此，a(0,1，2).空間向量夾角與長度的計算探究問題1已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則線段AB的中點P的坐標是多少？提示：P2設異面直線AB，CD所成的角為，則cos cos，一定成立嗎？提示：當cos，0時，cos cos，當cos，<0時，cos cos，如圖3138所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分別為A1B1，A1A的中點圖3138(1)求BN的長；(2)求A1B與B1C所成角的余弦值；(3)求證：BN平面C1MN.思路探究解(1)如圖所示，建立空間直角坐標系Cxyz.依題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，|，線段BN的長為.(2)依題意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，(1，1,2)，(0,1,2)，10(1)1223.又|，|.cos，.故A1B與B1C所成角的余弦值為.(3)證明：依題意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B(0,1,0)，N(1,0,1)，M，(1,0，1)，(1，1,1)，1(1)010，110(1)(1)10.，BNC1M，BNC1N，又C1MC1NC1，C1M平面C1MN，C1N平面C1MN，BN平面C1MN.規(guī)律方法 向量夾角的計算步驟(1)建系：結合圖形建立適當?shù)目臻g直角坐標系，建系原則是讓盡可能多的點落到坐標軸上(2)求方向向量：依據(jù)點的坐標求出方向向量的坐標(3)代入公式：利用兩向量的夾角公式將方向向量的坐標代入求出夾角跟蹤訓練3如圖3139所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M，N分別是AB，CD的中點圖3139(1)求證：MNAB，MNCD；(2)求異面直線AN與CM所成角的余弦值解(1)證明：設p，q，r.由題意可知，|p|q|r|a，且p，q，r三個向量兩兩夾角均為60.()(qrp)，(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.，即MNAB同理可證MNCD(2)設向量與的夾角為.()(qr)，qp，(qr).又|a，|cos aacos .cos .向量與的夾角的余弦值為，從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為.當 堂 達 標固 雙 基1已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，則|3ab|為()A B4C5 DD3ab3(1,1,0)(1,0,2)(3,3,0)(1,0,2)(2,3,2)，故|3ab|.2已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O為原點，則與的夾角是()A0 BCD2B(3,3,3)，(6，6，6)則BO33(6)54，|3，|6所以cos，1，所以，.3已知a(1，x,3)，b(2,4，y)，若ab，則xy_.4ab，ba.xy4.4若a(2,3，1)，b(2,1,3)，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為_. 【導學號：46342156】6ab2(2)31(1)34，|a|，|b|，cosa，b.sina，b.因此以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為|a|b|sina，b6.5在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CGCD，H是C1G的中點利用空間向量解決下列問題：(1)求EF與B1C所成的角；(2)求EF與C1G所成角的余弦值；(3)求F，H兩點間的距離解如圖所示，以DA，DC，DD1為單位正交基底建立空間直角坐標系Dxyz，則D(0,0,0)，E，F(xiàn)，C(0,1,0)，C1(0，1,1)，B1(1,1,1)，G.(1)，(1,0，1)，(1,0，1)(1)0(1)0.，即EFB1CEF與B1C所成的角為90.(2)因為.則|.又|，且，cos，即EF與C1G所成角的余弦值為.(3)H是C1G的中點，H.又F，F(xiàn)H|.