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2018年秋高中數(shù)學(xué) 課時分層作業(yè)16 數(shù)學(xué)歸納法新人教A版選修2-2.doc

上傳人：tia****nde

文檔編號：6302399

上傳時間：2020-02-22

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課時分層作業(yè)(十六)　數(shù)學(xué)歸納法 (建議用時：40分鐘) [基礎(chǔ)達標練] 一、選擇題 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步驗證(　　) A．n＝1　 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4 C　[由題知，n的最小值為3，所以第一步驗證n＝3是否成立．] 2．設(shè)Sk＝＋＋＋…＋，則Sk＋1為(　　) A．Sk＋ B．Sk＋＋ C．Sk＋－ D．Sk＋－ C　[因式子右邊各分數(shù)的分母是連續(xù)正整數(shù)，則由Sk＝＋＋…＋，① 得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.② 由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－＝－. 故Sk＋1＝Sk＋－.] 3．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＜n(n≥2，n∈N*)的過程中，由n＝k變到n＝k＋1時，左邊增加了(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：31062168】 A．1項 B．k項 C．2k－1項 D．2k項 D　[當n＝k時，不等式左邊的最后一項為，而當n＝k＋1時，最后一項為＝，并且不等式左邊和分母的變化規(guī)律是每一項比前一項加1，故增加了2k項．] 4．對于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某學(xué)生的證明過程如下： (1)當n＝1時，≤1＋1，不等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N*)時，不等式成立，即2的自然數(shù)n都成立 B．該命題對于所有的正偶數(shù)都成立 C．該命題何時成立與k取值無關(guān) D．以上答案都不對 B　[由n＝k時命題成立可以推出n＝k＋2時命題也成立．且n＝2，故對所有的正偶數(shù)都成立．] 二、填空題 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”時，第一步的驗證為________． [解析]　當n＝1時，左≥右，不等式成立， ∵n∈N*， ∴第一步的驗證為n＝1的情形． [答案]　當n＝1時，左邊＝4，右邊＝4，左≥右，不等式成立 7．用數(shù)學(xué)歸納法證明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1(n2＋n)時，從n＝k到n＝k＋1左邊需要添加的因式是________. 【導(dǎo)學(xué)號：31062170】 [解析]　當n＝k時，左端為：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，當n＝k＋1時，左端為：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)(k＋1＋k＋1)，由k到k＋1需添加的因式為：(2k＋2)． [答案]　2k＋2 8．數(shù)列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次計算出a2，a3，a4后，歸納、猜測得出an的表達式為________． [解析]　a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，猜測an＝. [答案]　an＝三、解答題 9．(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1(n∈N*)． (2)求證：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)． [解]　(1)①當n＝1時，左邊＝12＝1，右邊＝(－1)0＝1，左邊＝右邊，等式成立． ②假設(shè)n＝k(k∈N*)時，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2 ＝(－1)k－1. 則當n＝k＋1時， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k－1＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k(k＋1) ＝(－1)k. ∴當n＝k＋1時，等式也成立，根據(jù)①、②可知，對于任何n∈N*等式成立． (2)①n＝1時，左邊＝12－22＝－3，右邊＝－3，等式成立． ②假設(shè)n＝k時，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2. 當n＝k＋1時，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1時，等式也成立．由①②得，等式對任何n∈N*都成立． 10．已知{fn(x)}滿足f1(x)＝(x>0)，fn＋1(x)＝f1(fn(x)). (1)求f2(x)，f3(x)，并猜想fn(x)的表達式； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明對fn(x)的猜想. 【導(dǎo)學(xué)號：31062171】 [解]　(1)f2(x)＝f1[f1(x)]＝＝， f3(x)＝f1[f2(x)]＝＝猜想：fn(x)＝，(n∈N*) (2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，fn(x)＝(n∈N*) ①當n＝1時，f1(x)＝，顯然成立； ②假設(shè)當n＝k(k∈N*)時，猜想成立，即fk(x)＝，則當n＝k＋1時，fk＋1＝f1[fk(x)]＝＝，即對n＝k＋1時，猜想也成立；結(jié)合①②可知，猜想fn(x)＝對一切n∈N*都成立． [能力提升練] 1．利用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋＋…＋<1(n∈N*，且n≥2)時，第二步由k到k＋1時不等式左端的變化是(　　) A．增加了這一項 B．增加了和兩項 C．增加了和兩項，同時減少了這一項 D．以上都不對 C　[不等式左端共有n＋1項，且分母是首項為n，公差為1，末項為2n的等差數(shù)列，當n＝k時，左端為＋＋＋…＋；當n＝k＋1時，左端為＋＋＋…＋＋＋，對比兩式，可得結(jié)論．] 2．某命題與自然數(shù)有關(guān)，如果當n＝k(k∈N*)時該命題成立，則可推得n＝k＋1時該命題也成立，現(xiàn)已知當n＝5時該命題不成立，則可推得(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：31062172】 A．當n＝6時，該命題不成立 B．當n＝6時，該命題成立 C．當n＝4時，該命題不成立 D．當n＝4時，該命題成立 C　[若n＝4時，該命題成立，由條件可推得n＝5命題成立．它的逆否命題為：若n＝5不成立，則n＝4時該命題也不成立．] 3．記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(k＋1)＝f(k)＋________. [解析]　由凸k邊形變?yōu)橥筴＋1邊形時，增加了一個三角形圖形，故f(k＋1)＝f(k)＋π. [答案]　π 4．對任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，則最小的自然數(shù)a＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：31062173】 [解析]　當n＝1時，36＋a3能被14整除的數(shù)為a＝3或5；當a＝3且n＝2時，310＋35不能被14整除，故a＝5. [答案]　5 5．是否存在a，b，c使等式2＋2＋2＋…＋2＝對一切n∈N*都成立，若不存在，說明理由；若存在，用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論． [解]　取n＝1,2,3可得，解得：a＝，b＝，c＝. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明2＋2＋2＋…＋2＝＝. 即證12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)， ①n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，∴等式成立； ②假設(shè)n＝k時等式成立，即12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)成立，則當n＝k＋1時，等式左邊＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)，∴當n＝k＋1時等式成立；由數(shù)學(xué)歸納法，綜合①②當n∈N*等式成立，故存在a＝，b＝，c＝使已知等式成立．

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