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課時分層作業(yè)(七) 橢圓的簡單幾何性質(zhì)
(建議用時:40分鐘)
[基礎(chǔ)達標練]
一、選擇題
1.焦點在x軸上,長、短半軸長之和為10,焦距為4,則橢圓的方程為( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
A [由題意知,解得
因此所求橢圓的方程為+=1.]
2.橢圓+=1與+=1(0
b>0),A,B分別為橢圓的左頂點和上頂點,F(xiàn)為右焦點,且AB⊥BF,則橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
D [在Rt△ABF中,|AB|=,|BF|=a,|AF|=a+c,由|AB|2+|BF|2=|AF|2,得a2+b2+a2=(a+c)2.將b2=a2-c2代入,得a2-ac-c2=0,即e2+e-1=0, 解得e=,因為0b>0)
由題意得解得
因此所求橢圓方程為+=1.]
8.已知P(m,n)是橢圓x2+=1上的一個動點,則m2+n2的取值范圍是________.
【導(dǎo)學(xué)號:97792066】
[1,2] [因為P(m,n)是橢圓x2+=1上的一個動點,所以m2+=1,即n2=2-2m2,所以m2+n2=2-m2,又-1≤m≤1,所以1≤2-m2≤2,所以1≤m2+n2≤2.]
三、解答題
9.設(shè)橢圓+=1(a>b>0)與x軸交于點A,以O(shè)A為邊作等腰三角形OAP,其頂點P在橢圓上,且∠OPA=120,求橢圓的離心率.
[解] 不妨設(shè)A(a,0),點P在第一象限內(nèi),由題意知,點P的橫坐標是,設(shè)P,由點P在橢圓上,得+=1,y2=b2,即P,又∠OPA=120,所以∠POA=30,故tan∠POA==,所以a=3b,所以e====.
10.已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓的中心在原點,左焦點為F1(-,0),且右頂點為D(2,0).設(shè)點A的坐標是.
(1)求該橢圓的標準方程.
(2)若P是橢圓上的動點,求線段PA的中點M的軌跡方程.
【導(dǎo)學(xué)號:97792067】
[解] (1)因為a=2,c=,所以b==1.
所以橢圓的標準方程為+y2=1.
(2)設(shè)P(x0,y0),M(x,y),由中點坐標公式,
得所以
又因為+y=1,所以+2=1,即為中點M的軌跡方程.
[能力提升練]
1.已知F是橢圓+=1(a>b>0)的左焦點,A為右頂點,P是橢圓上一點,且PF⊥x軸,若|PF|=|AF|,則該橢圓的離心率是( )
A. B. C. D.
B [由于PF⊥x軸,
則令x=-c,代入橢圓方程,解得,
y2=b2=,y=,
又|PF|=|AF|,即=(a+c),
即有4(a2-c2)=a2+ac,
即有(3a-4c)(a+c)=0,
則e==,故選B.]
2.“m=3”是“橢圓+=1的離心率為”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
A [橢圓+=1的離心率為,
當04時,=,得m=,
即“m=3”是“橢圓+=1的離心率為”的充分不必要條件.]
3.已知中心在原點,焦點在x軸上的橢圓C上的點到焦點的距離的最大值為3,最小值為1,則橢圓C的標準方程為________.
+=1 [由題意知,解得
則b2=3,故所求橢圓方程為+=1.]
4.已知橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F,右頂點為A,點B在橢圓上,且BF⊥x軸,直線AB交y軸于點P.若=2,則橢圓的離心率是________.
[由=2,得|AO|=2|FO|(O為坐標原點),即a=2c,則離心率e=.]
5.已知點A,B分別是橢圓+=1的左、右頂點,點F是橢圓的右焦點,點P在橢圓上,且位于x軸上方,PA⊥PF.
(1)求點P的坐標;
(2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點,且M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點到點M的距離d的最小值.
【導(dǎo)學(xué)號:97792068】
[解] (1)由已知可得A(-6,0),B(6,0),F(xiàn)(4,0),
設(shè)點P的坐標是(x,y),
則=(x+6,y),=(x-4,y).
由已知得
則2x2+9x-18=0,解得x=或x=-6.
由于y>0,所以只能取x=,于是y=.
所以點P的坐標是.
(2)直線AP的方程是x-y+6=0.
設(shè)點M的坐標是(m,0),
則M到直線AP的距離是,又B(6,0),
于是=|m-6|,
又-6≤m≤6,解得m=2,
設(shè)橢圓上的點(x,y)到點M的距離為d,有
d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-x2
=+15,
由于-6≤x≤6,所以當x=時,d取最小值為.
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