新版高三數(shù)學(xué) 第83練 推理與證明練習(xí)

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1、 1

2、 1 第83練 推理與證明 訓(xùn)練目標(biāo) (1)會應(yīng)用合情推理、演繹推理進(jìn)行判斷推理；(2)會用綜合法、分析法、反證法進(jìn)行推理證明． 訓(xùn)練題型 (1)推理過程的判定；(2)合情推理、演繹推理的應(yīng)用；(3)證明方法的應(yīng)用． 解題策略 (1)應(yīng)用合情推理時，找準(zhǔn)變化規(guī)律及問題實(shí)質(zhì)，借助定義、性質(zhì)、公式進(jìn)行類比歸納；(2)用分析法證明時，要注意書寫格式，執(zhí)果索因逐步遞推；(3)用

3、反證法證明時，對所要證明的結(jié)論的否定性假設(shè)要具有全面性，防止片面性. 一、選擇題 1．有一段“三段論”推理是這樣的： 對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3在x＝0處的導(dǎo)數(shù)值f′(0)＝0，所以x＝0是函數(shù)f(x)＝x3的極值點(diǎn)．以上推理中(　　) A．小前提錯誤 B．大前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．結(jié)論正確 2．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，則am＋n＝.類比上述結(jié)論，對于等比數(shù)列{bn}(bn>0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，則可以

4、得到bm＋n等于(　　) A. B. C. D. 3．(20xx·湖北優(yōu)質(zhì)高中聯(lián)考)如圖所示，將若干個點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊(包括兩個端點(diǎn))有n(n>1，n∈N)個點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為an，則＋＋＋…＋等于(　　) A. B. C. D. 4．(20xx·銀川二模)將正整數(shù)排列如下圖： 1 2　3　4 5　6　7　8　9 10　11　12　13　14　15　16 … 則圖中數(shù)2 016出現(xiàn)在(　　) A．第44行第81列 B．第45行第81列 C．第44行第80列 D．第45行第80列 5．用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(

5、a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個是偶數(shù)，下列假設(shè)中正確的是(　　) A．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù) B．假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù) C．假設(shè)a，b，c至多有一個是偶數(shù) D．假設(shè)a，b，c至多有兩個是偶數(shù) 6．(20xx·湖南六校聯(lián)考)對于問題“已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(－1,2)，解關(guān)于x的不等式ax2－bx＋c>0”，給出如下一種解法： 由ax2＋bx＋c>0的解集為(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集為(－2,1)，即關(guān)于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集為(－2,1)． 思考上述解法，若關(guān)于x的不等式＋<0的解集為(－1，－)

6、∪(，1)，則關(guān)于x的不等式＋<0的解集為(　　) A．(－3，－1)∪(1,2) B．(1,2) C．(－1,2) D．(－3,2) 7．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若存在正整數(shù)m，n(m

7、這一定理推廣到立體幾何中：在四面體O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S為頂點(diǎn)O所對面的面積，S1，S2，S3分別為側(cè)面△OAB，△OAC，△OBC的面積，則下列選項(xiàng)中對于S，S1，S2，S3滿足的關(guān)系描述正確的為(　　) A．S2＝S＋S＋S B．S2＝＋＋ C．S＝S1＋S2＋S3 D．S＝＋＋ 二、填空題 9．設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2an＋1＋Sn＝3(n∈N*)，則滿足<<的所有n的和為________． 10．(20xx·武昌調(diào)研)如圖，在圓內(nèi)畫1條線段，將圓分成2部分；畫2條相交線段，將圓分割成4部分；畫3條線段，將圓最多分割成

8、7部分；畫4條線段，將圓最多分割成11部分．則 (1)在圓內(nèi)畫5條線段，將圓最多分割成________部分； (2)在圓內(nèi)畫n條線段，將圓最多分割成________部分． 11．(20xx·開封聯(lián)考)如圖所示，由曲線y＝x2，直線x＝a，x＝a＋1(a>0)及x軸圍成的曲邊梯形的面積介于相應(yīng)小矩形與大矩形的面積之間，即a2<∫a＋1ax2dx<(a＋1)2.運(yùn)用類比推理，若對?n∈N*，＋＋…＋

9、由15顆珠寶構(gòu)成的如圖2所示的正六邊形，第4件首飾是由28顆珠寶構(gòu)成的如圖3所示的正六邊形，第5件首飾是由45顆珠寶構(gòu)成的如圖4所示的正六邊形，以后每件首飾都在前一件的基礎(chǔ)上，按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶，使它構(gòu)成更大的正六邊形，依此推斷： (1)第6件首飾上應(yīng)有________顆珠寶； (2)前n(n∈N*)件首飾所用珠寶總顆數(shù)為________．(結(jié)果用n表示) 答案精析 1．B　[大前提：如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，錯誤．] 2．C　[觀察{an}的性質(zhì)：am＋n＝，則聯(lián)想nb－ma對應(yīng)等比數(shù)列{bn}中的， 而{an}中除以(n－m

10、)對應(yīng)等比數(shù)列中開(n－m)次方，故bm＋n＝.] 3．C　[每條邊有n個點(diǎn)，所以3條邊有3n個點(diǎn)，三角形的3個頂點(diǎn)重復(fù)計算了一次，所以減3個頂點(diǎn)，即an＝3n－3，那么＝＝＝－， 即＋＋＋…＋ ＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝，故選C.] 4．D　[由題意可知第n行有2n－1個數(shù)，則前n行的數(shù)的個數(shù)為1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因?yàn)?42＝1 936,452＝2 025，且1 936<2 016<2 025，所以2 016在第45行，又第45行有2×45－1＝89個數(shù)，2 016－1 936＝80，故2 016在第45行第80列．故選D.] 5．B　[至少有一個

11、的否定是一個也沒有，即a，b，c都不是偶數(shù)．] 6．A　[由關(guān)于x的不等式＋<0的解集為(－1，－)∪(，1)，得＋<0的解集為(－3，－1)∪(1,2)，即關(guān)于x的不等式＋<0的解集為(－3，－1)∪(1,2)．] 7．B　[因?yàn)門m＝Tn，所以bm＋1bm＋2…bn＝1， 從而bm＋1bn＝1， Tm＋n＝b1b2…bmbm＋1…bnbn＋1…bn＋m－1·bn＋m ＝(b1bn＋m)·(b2bn＋m－1)…(bmbn＋1)·(bm＋1bn)…＝1.] 8．A　[如圖，作OD⊥BC于點(diǎn)D，連接AD，由立體幾何知識知，AD⊥BC，從而S2＝(BC·AD)2＝BC2·AD2＝BC2

12、·(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)·OA2＋BC2·OD2＝(OB·OA)2＋(OC·OA)2＋(BC·OD)2＝S＋S＋S.] 9．7 解析　由2an＋1＋Sn＝3，得2an＋Sn－1＝3(n≥2)，兩式相減，得2an＋1－2an＋an＝0，化簡得2an＋1＝an(n≥2)，即＝(n≥2)，由已知求出a2＝，易得＝，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1＝，公比為q＝的等比數(shù)列，所以Sn＝＝3[1－()n]，S2n＝3[1－()2n]， 代入<<，可得<()n<，解得n＝3或4，所以所有n的和為7. 10．(1)16　(2)1＋ 解析　(1)設(shè)在圓內(nèi)畫n條線段將圓最多可分成an部分

13、，則a1＝2，a2＝4，a3＝7，a4＝11，所以a5＝a4＋5＝11＋5＝16，即在圓內(nèi)畫5條線段，將圓最多分割成16部分． (2)因?yàn)閍n－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2，所以將上述式子累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，則an＝2＋2＋3＋…＋n＝1＋，n≥2，顯然當(dāng)n＝1時上式也成立，故在圓內(nèi)畫n條線段將圓最多可分割成1＋部分． 11．ln 2 解析　令

14、A＝A1＋A2＋…＋An＝ln(n＋1)－lnn＋ln(n＋2)－ln(n＋1)＋…＋ln(2n)－ln(2n－1)＝ln(2n)－lnn＝ln 2. 12．(1)66　(2)，n∈N* 解析　(1)設(shè)第n件首飾上的珠寶顆數(shù)為an，則a1＝1，a2＝6，a3＝15，a4＝28，a5＝45， ∵a2－a1＝4×1＋1，a3－a2＝4×2＋1， a4－a3＝4×3＋1，a5－a4＝4×4＋1， ∴猜想an－an－1＝4(n－1)＋1＝4n－3， ∴推斷a6＝a5＋4×5＋1＝66. (2)由(1)知an－an－1＝4n－3， 則an－1－an－2＝4(n－1)－3，…，a2－a1＝4×2－3， 以上各式相加得an－a1＝4(n＋n－1＋…＋2)－3(n－1) ＝－3(n－1) ＝2n2－n－1， ∴an＝2n2－n， 則a1＋a2＋…＋an＝2(12＋22＋…＋n2)－(1＋…＋n) ＝2×－ ＝， ∴前n件首飾所用珠寶總顆數(shù)為，n∈N*.