2019屆高考數(shù)學總復習 第九單元 解析幾何 第61講 求軌跡方程的基本方法檢測.doc
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第61講 求軌跡方程的基本方法 1.已知點A(-2,0)、B(3,0),動點P(x,y)滿足=x2,則點P的軌跡是(D) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 =(-2-x,-y),=(3-x,-y),因為=x2,所以(-2-x)(3-x)+y2=x2,即y2=x+6. 2.已知F1(-1,0)、F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項,則動點P的軌跡是(A) A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.線段 由于|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4>2,所以P點軌跡為橢圓. 3.曲線f(x,y)=0關于直線x-y+2=0對稱曲線的方程是(D) A.f(x+2,y)=0 B.f(x-2,y)=0 C.f(y+2,x-2)=0 D.f(y-2,x+2)=0 設(x0,y0)是f(x,y)=0上任一點,它關于x-y+2=0的對稱點為(x,y),則 解得 又f(x0,y0)=0,所以f(y-2,x+2)=0. 4.設A1、A2是橢圓+=1長軸的兩個端點,P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點,則直線A1P1與A2P2交點的軌跡方程為(C) A.+=1 B.+=1 C.-=1 D.-=1 設交點為P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0). 因為A1、P1,P三點共線,所以=,① 因為A2、P2,P三點共線,所以=,② 解①②得x0=,y0=,代入+=1, 化簡得-=1. 5.在圓x2+y2=9中,過已知點P(1,2)的弦的中點的軌跡方程為 (x-)2+(y-1)2= . 設弦的中點為M,則OM⊥PM. 所以M在以OP為直徑的圓上, 故所求軌跡方程為(x-)2+(y-1)2=. 6.在平面直角坐標系xOy中,已知圓在x軸上截得的線段長為2,在y軸上截得的線段長為2,則圓心P的軌跡方程為 y2-x2=1 . 設P(x,y),圓P的半徑為r. 由題意y2+2=r2,x2+3=r2,從而y2+2=x2+3, 所以P點的軌跡方程為y2-x2=1. 7.設點F(2,0),動點P到y(tǒng)軸的距離為d,求滿足條件|PF|-d=2的點P的軌跡方程. (方法一)設P的坐標為(x,y),由|PF|=2+d, 得=2+|x|, 即(x-2)2+y2=(2+|x|)2.所以y2=4|x|+4x. 當x≥0時,y2=8x;當x<0時,y2=0即y=0. 故所求軌跡方程為y2=8x(x≥0)和y=0(x<0). (方法二)由題意|PF|=2+d, 當P在y軸右側時,可轉化為|PF|=x+2,即點P到定點F的距離等于到定直線l:x=-2的距離, 所以點P在拋物線y2=8x上. 當P點在y軸左側時,|PF|=2-x, 即點P到F(2,0)的距離等于P到直線x=2的距離,從而有y=0(x<0). 綜上可知,所求軌跡方程為y2=8x(x≥0)和y=0(x<0). 8.點P是以F1、F2為焦點的橢圓上的一點,過焦點F2作∠F1PF2的外角平分線的垂線,垂足為點M,則點M的軌跡是(D) A.拋物線 B.橢圓 C.雙曲線 D.圓 連接OM,延長F2M交F1P的延長線于點Q, 則|PQ|=|PF2|. 所以|QF1|=|PF1|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=2a. 因為OM為△F1F2Q的中位線, 所以|OM|=|QF1|=a. 因此點M的軌跡是圓.故選D. 9.直線l與橢圓+y2=1交于P、Q兩點,已知l的斜率為1,則弦PQ中點的軌跡方程為 x+4y=0(-<x<) . 設M(x,y)為PQ中點,P(x1,y1),Q(x2,y2), 則?、伲冢? kPQ==-=-=1. 所以x+4y=0. 則M(x,-),因為M在橢圓內, 所以+(-)2<1,解得-<x<. 所以所求軌跡方程為x+4y=0(-<x<). 10.(2016新課標卷Ⅲ)已知拋物線C:y2=2x的焦點為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點,交C的準線于P,Q兩點. (1)若F在線段AB上,R是PQ的中點,證明AR∥FQ; (2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點的軌跡方程. 由題意知F(,0).設l1:y=a,l2:y=b,則ab≠0,且A(,a),B(,b),P(-,a),Q(-,b),R(-,). 記過A,B兩點的直線為l, 則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0. (1)證明:由于F在線段AB上,故1+ab=0. 記AR的斜率為k1,F(xiàn)Q的斜率為k2,則 k1=====-b=k2. 所以AR∥FQ. (2)設l與x軸的交點為D(x1,0), 則S△ABF=|b-a||FD|=|b-a||x1-|, S△PQF=. 由題設可得2|b-a||x1-|=, 所以x1=0(舍去)或x1=1. 設滿足條件的AB的中點為E(x,y). 當AB與x軸不垂直時, 由kAB=kDE可得=(x≠1). 而=y(tǒng),所以y2=x-1(x≠1). 當AB與x軸垂直時,E與D(1,0)重合. 所以所求軌跡方程為y2=x-1.- 配套講稿:
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