2020版高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.4.2 拋物線的幾何性質(zhì)學案（含解析）新人教B版選修2-1.docx

《2020版高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.4.2 拋物線的幾何性質(zhì)學案（含解析）新人教B版選修2-1.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.4.2 拋物線的幾何性質(zhì)學案（含解析）新人教B版選修2-1.docx（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2.4.2　拋物線的幾何性質(zhì) 學習目標　1.了解拋物線的范圍、對稱性、頂點、焦點、準線等幾何性質(zhì).2.會利用拋物線的幾何性質(zhì)解決一些簡單的拋物線問題． 知識點一　拋物線的幾何性質(zhì) 標準方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 圖形 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 對稱軸 x軸 x軸 y軸 y軸 焦點 F F F F 準線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 頂點坐標 O(0,0) 離心率 e＝1 通徑長 2p 知識點二　直線與拋物線的位置關系 直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點個數(shù)決定于關于x的方程組解的個數(shù)，即方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的個數(shù)． 當k≠0時，若Δ>0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點；若Δ＝0，直線與拋物線有一個公共點；若Δ<0，直線與拋物線沒有公共點． 當k＝0時，直線與拋物線的軸平行或重合，此時直線與拋物線有一個公共點． 1．拋物線沒有漸近線．(　√　) 2．過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦長是p.(　　) 3．若一條直線與拋物線只有一個公共點，則二者一定相切．(　　) 4．拋物線只有一條對稱軸，沒有對稱中心．(　√　) 5．拋物線的開口大小由拋物線的離心率決定．(　　) 題型一　拋物線的幾何性質(zhì)的應用 例1　(1)頂點在原點，對稱軸為y軸，頂點到準線的距離為4的拋物線方程是(　　) A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝8y D．x2＝16y 答案　D 解析　頂點在原點，對稱軸為y軸的拋物線方程有兩個：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)．由頂點到準線的距離為4，知p＝8，故所求拋物線方程為x2＝16y或x2＝－16y. (2)已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為x軸，且與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點，|AB|＝2，求拋物線方程． 考點　拋物線的簡單幾何性質(zhì) 題點　拋物線與其他曲線結(jié)合有關問題 解　由已知，拋物線的焦點可能在x軸正半軸上，也可能在負半軸上． 故可設拋物線方程為y2＝ax(a≠0)． 設拋物線與圓x2＋y2＝4的交點A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵拋物線y2＝ax(a≠0)與圓x2＋y2＝4都關于x軸對稱， ∴點A與B關于x軸對稱， ∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2， ∴|y1|＝|y2|＝，代入圓x2＋y2＝4， 得x2＋3＝4，∴x＝1， ∴A(1，)或A(1，－)，代入拋物線方程， 得()2＝a，∴a＝3. ∴所求拋物線方程是y2＝3x或y2＝－3x. 反思感悟　把握三個要點確定拋物線的簡單幾何性質(zhì) (1)開口：由拋物線標準方程看圖象開口，關鍵是看準二次項是x還是y，一次項的系數(shù)是正還是負． (2)關系：頂點位于焦點與準線中間，準線垂直于對稱軸． (3)定值：焦點到準線的距離為p；過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1. 跟蹤訓練1　已知拋物線y2＝8x. (1)求出該拋物線的頂點、焦點、準線方程、對稱軸、變量x的范圍； (2)以坐標原點O為頂點，作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦點F是△OAB的重心，求△OAB的周長． 考點　拋物線的簡單幾何性質(zhì) 題點　焦點、準線、對稱性的簡單應用 解　(1)拋物線y2＝8x的頂點、焦點、準線方程、對稱軸、變量x的范圍分別為(0,0)，(2,0)，x＝－2，x軸，x≥0. (2)如圖所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x軸，垂足為點M， 又焦點F是△OAB的重心， 則|OF|＝|OM|. 因為F(2,0)， 所以|OM|＝|OF|＝3， 所以M(3,0)． 故設A(3，m)， 代入y2＝8x得m2＝24； 所以m＝2或m＝－2， 所以A(3,2)，B(3，－2)， 所以|OA|＝|OB|＝， 所以△OAB的周長為2＋4. 題型二　直線與拋物線的位置關系 命題角度1　直線與拋物線位置關系的判斷 例2　已知直線l：y＝kx＋1，拋物線C：y2＝4x，當k為何值時，l與C：只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點． 考點　直線與拋物線的位置關系 題點　直線與拋物線公共點個數(shù)問題 解　聯(lián)立消去y， 得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) 當k＝0時，(*)式只有一個解x＝，∴y＝1， ∴直線l與C只有一個公共點， 此時直線l平行于x軸． 當k≠0時，(*)式是一個一元二次方程， Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． ①當Δ>0，即k<1，且k≠0時， l與C有兩個公共點，此時直線l與C相交； ②當Δ＝0，即k＝1時，l與C有一個公共點，此時直線l與C相切； ③當Δ<0，即k>1時，l與C沒有公共點，此時直線l與C相離． 綜上所述，當k＝1或0時，l與C有一個公共點； 當k<1，且k≠0時，l與C有兩個公共點； 當k>1時，l與C沒有公共點． 反思感悟　直線與拋物線位置關系的判斷方法 設直線l：y＝kx＋b，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0. (1)若k2＝0，此時直線與拋物線有一個交點，該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合． (2)若k2≠0，當Δ>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點； 當Δ＝0時，直線與拋物線相切，有一個交點； 當Δ<0時，直線與拋物線相離，無公共點． 跟蹤訓練2　如圖所示，直線l：y＝x＋b與拋物線C：x2＝4y相切于點A. (1)求實數(shù)b的值； (2)求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程． 考點　直線與拋物線的位置關系 題點　直線與拋物線公共點個數(shù)問題 解　(1)由得x2－4x－4b＝0.(*) 因為直線l與拋物線C相切， 所以Δ＝(－4)2－4(－4b)＝0，解得b＝－1. (2)由(1)可知b＝－1， 故方程(*)即為x2－4x＋4＝0，解得x＝2. 將其代入x2＝4y，得y＝1.故點A(2,1)． 因為圓A與拋物線C的準線相切， 所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準線y＝－1的距離，即r＝|1－(－1)|＝2， 所以圓A的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4. 命題角度2　直線與拋物線的相交弦問題 例3　已知拋物線方程為y2＝2px(p>0)，過此拋物線的焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，且|AB|＝p，求AB所在的直線方程． 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　與弦長有關的其它問題 解　由題意知焦點F，設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 若AB⊥x軸，則|AB|＝2p≠p，不滿足題意． 所以直線AB的斜率存在，設為k， 則直線AB的方程為y＝k，k≠0. 由 消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0. 由根與系數(shù)的關系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2. 所以|AB|＝ ＝ ＝＝2p＝p， 解得k＝2. 所以AB所在的直線方程為2x－y－p＝0 或2x＋y－p＝0. 引申探究 本例條件不變，求弦AB的中點M到y(tǒng)軸的距離． 解　如圖，過A，B分別作準線x＝－的垂線交準線于C，D點． 由定義知|AC|＋|BD|＝p， 則梯形ABDC的中位線|ME|＝p， ∴M點到y(tǒng)軸的距離為p－＝p. 反思感悟　求拋物線弦長問題的方法 (1)一般弦長公式 |AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. (2)焦點弦長 設過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立、消元，由根與系數(shù)的關系求出x1＋x2即可． 跟蹤訓練3　已知y＝x＋m與拋物線y2＝8x交于A，B兩點． (1)若|AB|＝10，求實數(shù)m的值； (2)若OA⊥OB，求實數(shù)m的值． 考點　直線與拋物線的位置關系 題點　直線與拋物線的綜合問題 解　由 得x2＋(2m－8)x＋m2＝0. 由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2， y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m. (1)因為|AB|＝ ＝＝10， 所以m＝，經(jīng)檢驗符合題意． (2)因為OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0， 解得m＝－8或m＝0(舍去)． 所以m＝－8，經(jīng)檢驗符合題意． 與拋物線有關的最值問題 典例　求拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0的最小距離． 考點　直線與拋物線的位置關系 題點　直線與拋物線的綜合問題 解　方法一　設A(t，－t2)為拋物線上的點， 則點A到直線4x＋3y－8＝0的距離 d＝＝ ＝ ＝ ＝2＋. 所以當t＝時，d有最小值. 方法二　如圖，設與直線4x＋3y－8＝0平行的拋物線的切線方程為4x＋3y＋m＝0， 由 消去y得3x2－4x－m＝0， ∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－. 故最小距離為＝＝. [素養(yǎng)評析]　(1)求拋物線上一點到定直線的距離的最值，最常見的解題思路： 一是利用拋物線的標準方程進行消元代換，得到有關距離的含變量的代數(shù)式，以計算函數(shù)最值來解決． 二是轉(zhuǎn)化兩平行線間距離代入兩平行線間距離公式可求得． (2)建立形與數(shù)的聯(lián)系，提升數(shù)形結(jié)合的能力，有利于優(yōu)化解題的方式與方法． 1．已知點A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為(　　) A．－B．－1C．－D．－ 答案　C 解析　因為拋物線C：y2＝2px的準線為x＝－， 且點A(－2,3)在準線上，故－＝－2，解得p＝4， 所以y2＝8x，所以焦點F的坐標為(2,0)， 這時直線AF的斜率kAF＝＝－. 2．以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與x軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標原點，則其方程為(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y 答案　C 解析　設拋物線方程為y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，由題意知p＝4，∴拋物線方程為y2＝8x或y2＝－8x. 3．已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，則點P到點(0,2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為(　　) A.B．3C.D. 答案　A 解析　拋物線y2＝2x的焦點為F，準線是l，由拋物線的定義知點P到焦點F的距離等于它到準線l的距離，因此要求點P到點(0,2)的距離與點P到拋物線準線的距離之和的最小值，可以轉(zhuǎn)化為求點P到點(0,2)的距離與點P到焦點F的距離之和的最小值，結(jié)合圖形(圖略)不難得出相應的最小值等于焦點F到點(0,2)的距離，因此所求距離之和的最小值為＝. 4．過拋物線y2＝4x的焦點作直線l交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的橫坐標為3，則|AB|＝________. 答案　8 解析　易知拋物線的準線方程為x＝－1，則線段AB的中點到準線的距離為3－(－1)＝4.由拋物線的定義易得|AB|＝8. 5．已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作傾斜角為45的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的長為8，則p＝________. 答案　2 解析　設點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 易知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F， 且傾斜角為45的直線方程為y＝x－， 把x＝y(tǒng)＋代入y2＝2px， 得y2－2py－p2＝0， ∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－p2. ∵|AB|＝8，∴|y1－y2|＝4， ∴(y1＋y2)2－4y1y2＝(4)2， 即(2p)2－4(－p2)＝32. 又p>0，∴p＝2. 1．拋物線的中點弦問題用點差法較簡便． 2．軸對稱問題，一是抓住對稱兩點的中點在對稱軸上，二是抓住兩點連線的斜率與對稱軸所在直線斜率的關系． 3．在直線和拋物線的綜合問題中，經(jīng)常遇到求定值、過定點問題．解決這類問題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等．解決這些問題的關鍵是代換和轉(zhuǎn)化． 一、選擇題 1．若拋物線y2＝x上一點P到準線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由題意知，點P到焦點F的距離等于它到頂點O的距離，因此點P在線段OF的垂直平分線上，而F，所以P點的橫坐標為，代入拋物線方程得y＝，故點P的坐標為. 2．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線與曲線x2＋y2－4x－5＝0相切，則p的值為(　　) A．2B．1C.D. 答案　A 解析　曲線的標準方程為(x－2)2＋y2＝9，其表示圓心為(2,0)，半徑為3的圓，又拋物線的準線方程為x＝－，∴由拋物線的準線與圓相切得2＋＝3，解得p＝2. 3．若拋物線y2＝4x上一點P到x軸的距離為2，則點P到拋物線的焦點F的距離為(　　) A．4B．5C．6D．7 考點　拋物線的定義 題點　拋物線定義的直接應用 答案　A 解析　由題意，知拋物線y2＝4x的準線方程為x＝－1， ∵拋物線y2＝4x上一點P到x軸的距離為2， 則P(3，2)， ∴點P到拋物線的準線的距離為3＋1＝4， ∴點P到拋物線的焦點F的距離為4.故選A. 4．拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，M是拋物線C上的點，若△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，且該圓的面積為36π，則p的值為(　　) A．2B．4C．6D．8 答案　D 解析　∵△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切， ∴△OFM的外接圓的圓心到準線的距離等于圓的半徑． ∵圓的面積為36π，∴圓的半徑為6. 又圓心在OF的垂直平分線上，|OF|＝， ∴＋＝6，∴p＝8. 5．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，其上的三個點A，B，C的橫坐標之比為3∶4∶5，則以|FA|，|FB|，|FC|為邊長的三角形(　　) A．不存在 B．必是銳角三角形 C．必是鈍角三角形 D．必是直角三角形 答案　B 解析　設A，B，C三點的橫坐標分別為x1，x2，x3，x1＝3k，x2＝4k，x3＝5k(k>0)，由拋物線定義得|FA|＝＋3k，|FB|＝＋4k，|FC|＝＋5k，易知三者能構(gòu)成三角形，|FC|所對角為最大角，由余弦定理可證該角的余弦值為正數(shù)，故該三角形必是銳角三角形． 6．等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2＝2px(p>0)，O為拋物線的頂點，OA⊥OB，則△AOB的面積是(　　) A．8p2B．4p2C．2p2D．p2 答案　B 解析　因為拋物線的對稱軸為x軸，內(nèi)接△AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對稱性知，直線AB與拋物線的對稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45. 由方程組 得或 所以易得A，B兩點的坐標分別為(2p,2p)和(2p，－2p)． 所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝4p2p＝4p2. 7．已知點(x，y)在拋物線y2＝4x上，則z＝x2＋y2＋3的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．0 答案　B 解析　因為點(x，y)在拋物線y2＝4x上，所以x≥0， 因為z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2， 所以當x＝0時，z最小，其最小值為3. 8．過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，若A，B在準線上的射影分別為A1，B1，則∠A1FB1等于(　　) A．45 B．90 C．60 D．120 答案　B 解析　如圖，由拋物線定義知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|， ∴∠AA1F＝∠AFA1， 又∠AA1F＝∠A1FO， ∴∠AFA1＝∠A1FO， 同理∠BFB1＝∠B1FO， 于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1.故∠A1FB1＝90. 二、填空題 9．已知拋物線C的頂點為坐標原點，焦點在x軸上，直線y＝x與拋物線C交于A，B兩點，若P(2,2)為AB的中點，則拋物線C的方程為________． 答案　y2＝4x 解析　設拋物線方程為y2＝kx(k≠0)，與y＝x聯(lián)立方程組，消去y，得x2－kx＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2), ∴x1＋x2＝k. 又∵P(2,2)為AB的中點， ∴＝2. ∴k＝4.∴y2＝4x. 10．已知拋物線y2＝8x，過動點M(a,0)，且斜率為1的直線l與拋物線交于不同的兩點A，B，若|AB|≤8，則實數(shù)a的取值范圍是________． 答案　(－2，－1] 解析　將l的方程y＝x－a代入y2＝8x， 得x2－2(a＋4)x＋a2＝0， 則Δ＝4(a＋4)2－4a2>0，∴a>－2. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝2(a＋4)，x1x2＝a2， ∴|AB|＝＝≤8， 即≤1.∴－20)的焦點為F，其準線與雙曲線－＝1相交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝________. 考點　拋物線的簡單幾何性質(zhì) 題點　拋物線與其他曲線結(jié)合有關問題 答案　6 解析　拋物線的焦點坐標F，準線方程為y＝－.代入－＝1得＝.要使△ABF為等邊三角形，則tan＝＝＝，解得p2＝36，又p>0，所以p＝6. 三、解答題 12．過點Q(4,1)作拋物線y2＝8x的弦AB，若弦AB恰被Q平分，求弦AB所在直線的方程． 解　設A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 則有y＝8x1，y＝8x2， 兩式相減，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)． ∵點Q是弦AB的中點，∴y1＋y2＝2， 于是＝4，即直線AB的斜率為4， 故弦AB所在直線的方程為y－1＝4(x－4)， 即4x－y－15＝0. 13．已知頂點在原點，焦點在y軸上的拋物線截直線x－2y－1＝0所得的弦長為，求此拋物線的方程． 解　設拋物線方程為x2＝ay(a≠0)， 由方程組消去y，得2x2－ax＋a＝0. ∵直線與拋物線有兩個交點， ∴Δ＝(－a)2－42a>0，即a<0或a>8. 設兩交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|AB|＝＝＝. ∵|AB|＝，∴＝， 即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12， ∴所求拋物線的方程為x2＝－4y或x2＝12y. 14．已知傾斜角為的直線l過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F，拋物線C上存在點P與x軸上一點Q(5,0)關于直線l對稱，則p等于(　　) A.B．1C．2D．3 考點　拋物線的簡單幾何性質(zhì) 題點　焦點、準線、對稱性的簡單應用 答案　C 解析　由題意得，F(xiàn)，設P(x0，y0)， 直線PQ的方程為y＝－(x－5)， 由得3(x0－5)2＝2px0， 又|FP|＝|FQ|，即x0＋＝， 由解得(舍去)或 綜上，p＝2. 15．已知過點A(－4,0)的動直線l與拋物線G：x2＝2py (p>0)相交于B，C兩點．當直線l的斜率是時，＝4. (1)求拋物線G的方程； (2)設線段BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍． 解　(1)設B(x1，y1)，C(x2，y2)， 由題意知直線l的方程為x＝2y－4. 由得2y2－(8＋p)y＋8＝0， ∴ 又∵＝4， ∴y2＝4y1，③ 由①②③及p>0， 得y1＝1，y2＝4，p＝2， 故拋物線G的方程為x2＝4y. (2)易知，直線l的斜率必存在． 設l：y＝k(x＋4)，BC的中點坐標為(x0，y0)， B(xB，yB)，C(xC，yC)， 由 得x2－4kx－16k＝0，④ ∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k. ∴線段BC的中垂線方程為 y－2k2－4k＝－(x－2k)， ∴線段BC的中垂線在y軸上的截距為 b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2， 對于方程④，由Δ＝16k2＋64k>0，得k>0或k<－4. 故b的取值范圍是(2，＋∞)．