2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 一 二維形式的柯西不等式講義(含解析)新人教A版選修4-5-.doc
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一 二維形式的柯西不等式 1.二維形式的柯西不等式 (1)定理1:若a,b,c,d都是實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí),等號(hào)成立. (2)二維形式的柯西不等式的推論: (a+b)(c+d)≥(+)2(a,b,c,d為非負(fù)實(shí)數(shù)); ≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R); ≥|ac|+|bd|(a,b,c,d∈R). 2.柯西不等式的向量形式 定理2:設(shè)α,β是兩個(gè)向量,則|αβ|≤|α||β|,當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量,或存在實(shí)數(shù)k,使α=kβ時(shí),等號(hào)成立. [注意] 柯西不等式的向量形式中αβ≤|α||β|,取等號(hào)“=”的條件是β=0或存在實(shí)數(shù)k,使α=kβ. 3.二維形式的三角不等式 (1)定理3:+≥(x1,y1,x2,y2∈R). 當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)P1,P2與O共線,并且P1,P2點(diǎn)在原點(diǎn)O異側(cè)時(shí),等號(hào)成立. (2)推論:對(duì)于任意的x1,x2,x3,y1,y2,y3∈R,有 + ≥. 事實(shí)上,在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn)P1,P2,P3的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),根據(jù)△P1P2P3的邊長(zhǎng)關(guān)系有|P1P3|+|P2P3|≥|P1P2|,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)P1,P2,P3共線,并且點(diǎn)P1,P2在P3點(diǎn)的異側(cè)時(shí),等號(hào)成立. 利用柯西不等式證明不等式 [例1] 已知θ為銳角,a,b∈R+,求證:+≥(a+b)2. [思路點(diǎn)撥] 可結(jié)合柯西不等式,將左側(cè)構(gòu)造成乘積形式,利用“1=sin2θ+cos2θ”,然后用柯西不等式證明. [證明] ∵+ =(cos2θ+sin2θ) ≥2 =(a+b)2, ∴(a+b)2≤+. 利用柯西不等式證明不等式的關(guān)鍵在于利用已知條件和所證不等式,把已知條件利用添項(xiàng)、拆項(xiàng)、分解、組合、配方、變量代換等,將條件構(gòu)造成柯西不等式的基本形式,從而利用柯西不等式證明,但應(yīng)注意等號(hào)成立的條件. 1.已知a1,a2,b1,b2為正實(shí)數(shù). 求證:(a1b1+a2b2)≥(a1+a2)2. 證明:∵(a1b1+a2b2) =[()2+()2] ≥2=(a1+a2)2. ∴原不等式成立. 2.設(shè)a,b,c為正數(shù), 求證:++≥ (a+b+c). 證明:由柯西不等式, 得 ≥a+b, 即≥a+b. 同理:≥b+c, ≥a+c, 將上面三個(gè)同向不等式相加得: ≥2(a+b+c) ∴ + +≥ (a+b+c). 3.設(shè)a,b∈R+,且a+b=2.求證:+≥2. 證明:根據(jù)柯西不等式,有 [(2-a)+(2-b)] =[()2+()2] ≥2 =(a+b)2=4. ∴+≥=2. ∴原不等式成立. 利用二維形式的柯西不等式求最值 [例2] 求函數(shù)y=3sin α+4cos α的最大值. [思路點(diǎn)撥] 函數(shù)的解析式是兩部分的和,若能化為ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值. [解] 由柯西不等式得 (3sin α+4cos α)2≤(32+42)(sin2α+cos2 α)=25, ∴3sin α+4cos α≤5. 當(dāng)且僅當(dāng)=>0即sin α=,cos α=時(shí)取等號(hào),即函數(shù)的最大值為5. 利用柯西不等式求最值的注意點(diǎn) (1)變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征,是利用柯西不等式求解的先決條件; (2)有些最值問(wèn)題從表面上看不能利用柯西不等式,但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng),就可以利用柯西不等式來(lái)解,這也是運(yùn)用柯西不等式解題的技巧; (3)有些最值問(wèn)題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的,但在運(yùn)用過(guò)程中,每運(yùn)用一次前后等號(hào)成立的條件必須一致,不能自相矛盾,否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技巧之一. 4.已知2x2+y2=1,求2x+y的最大值. 解:∵2x+y=x+1y≤==, 當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=時(shí)取等號(hào). ∴2x+y的最大值為. 5.求函數(shù)y =+的最小值. 解:y=+, y2=(x-1)2+2+(3-x)2+5+2≥(x-1)2+2+(3-x)2+5+2[(x-1)(3-x)+]=[(x-1)+(3-x)]2+(7+2)=11+2. 當(dāng)且僅當(dāng)=, 即x=時(shí)等號(hào)成立. 此時(shí)ymin==+1. 1.已知a,b∈R+且a+b=1,則P=(ax+by)2與Q=ax2+by2的大小關(guān)系是( ) A.P≤Q B.P<Q C.P≥Q D.P>Q 解析:選A 設(shè)m=(x,y),n=(,), 則|ax+by|=|mn|≤|m||n|=== , ∴(ax+by)2≤ax2+by2,即P≤Q. 2.若a,b∈R,且a2+b2=10,則a-b的取值范圍是( ) A.[-2,2 ] B.[-2,2 ] C.[-, ] D.(-,) 解析:選A (a2+b2)[12+(-1)2]≥(a-b)2, ∵a2+b2=10, ∴(a-b)2≤20. ∴-2≤a-b≤2. 3.已知x+y=1,那么2x2+3y2的最小值是( ) A. B. C. D. 解析:選B (2x2+3y2)[()2+()2]≥(x+y)2=[(x+y)]2=6, 當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=時(shí)取等號(hào), 即2x2+3y2≥. 故2x2+3y2的最小值為. 4.函數(shù)y=+2的最大值是( ) A. B. C.3 D.5 解析:選B 根據(jù)柯西不等式,知y=1+2≤=,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等號(hào). 5.設(shè)xy>0,則的最小值為_(kāi)_______. 解析:原式=≥x+y2=9,當(dāng)且僅當(dāng)xy=時(shí)取等號(hào). 答案:9 6.設(shè)a=(-2,1,2),|b|=6,則ab的最小值為_(kāi)_______,此時(shí)b=________. 解析:根據(jù)柯西不等式的向量形式,有|ab|≤|a||b|, ∴|ab|≤6=18, 當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)k, 使a=kb時(shí),等號(hào)成立. ∴-18≤ab≤18, ∴ab的最小值為-18, 此時(shí)b=-2a=(4,-2,-4). 答案:-18 (4,-2,-4) 7.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足3x2+2y2≤6,則P=2x+y的最大值為_(kāi)_______. 解析:由柯西不等式得 (2x+y)2≤[(x)2+(y)2]=(3x2+2y2)≤6=11,當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=時(shí)取等號(hào),故P=2x+y的最大值為. 答案: 8.已知x,y∈R+,且x+y=2.求證:+≥2. 證明:+=(x+y) =[ ()2+()2] ≥2=2, 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)x=1,y=1. 所以+≥2. 9.若x2+4y2=5,求x+y的最大值及此時(shí)x,y的值. 解:由柯西不等式得 [x2+(2y)2]≥(x+y)2, 即(x+y)2≤5=,x+y≤. 當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=4y時(shí)取等號(hào). 由得或(舍去). ∴x+y的最大值為, 此時(shí)x=2,y=. 10.求函數(shù)f(x)=3cos x+4的最大值,并求出相應(yīng)的x的值. 解:設(shè)m=(3,4),n=(cos x,), 則f(x)=3cos x+4 =|mn|≤|m||n| = =5, 當(dāng)且僅當(dāng)m∥n時(shí),上式取“=”. 此時(shí),3 -4cos x=0. 解得sin x=,cos x=. 故當(dāng)sin x=,cos x=時(shí). f(x)=3cos x+4 取最大值5.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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