2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專題 專題5 概率與統(tǒng)計知識整合學(xué)案 理.docx

專題5概率與統(tǒng)計一、計數(shù)原理1.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別是什么?分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題,其中各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題,各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了才算完成這件事.2.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)是什么?公式(1)Anm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!(n-m)!(2)Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!(n,mN+,且mn)特別地,Cn0=1性質(zhì)(1)0!=1;Ann=n!(2)Cnm=Cnn-m;Cn+1m=Cnm+Cnm-13.二項式系數(shù)的性質(zhì)是什么?性質(zhì)性質(zhì)描述對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等,即Cnk=Cnn-k增減性二項式系數(shù)Cnk當(dāng)k<n+12(nN+)時,二項式系數(shù)是遞增的當(dāng)k>n+12(nN+)時,二項式系數(shù)是遞減的二項式系數(shù)的最大值當(dāng)n為偶數(shù)時,中間的一項Cnn2取得最大值當(dāng)n為奇數(shù)時,中間的兩項Cnn-12與Cnn+12取得最大值并且相等4.各二項式系數(shù)的和是什么?(1)(a+b)n展開式的各項二項式系數(shù)的和為Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n.(2)偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和,即Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+Cn5+=2n-1.二、概率1.互斥事件與對立事件有什么區(qū)別與聯(lián)系?互斥與對立都是兩個事件的關(guān)系,互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件,而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外,還要求二者之一必須有一個發(fā)生.因此,對立事件是互斥事件的特殊情況,而互斥事件不一定是對立事件.2.基本事件的三個特點是什么?(1)每一個基本事件發(fā)生的可能性都是相等的;(2)任何兩個基本事件都是互斥的;(3)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.3.古典概型、幾何概型的概率公式分別是什么?古典概型的概率公式:P(A)=事件A包含的基本事件的個數(shù)(m)基本事件的總數(shù)(n).幾何概型的概率公式:P(A)=構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積).三、統(tǒng)計初步與統(tǒng)計案例1.分層抽樣的適用范圍是什么?當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時,往往選用分層抽樣的方法.2.如何作頻率分布直方圖?(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差).(2)決定組距與組數(shù).(3)將數(shù)據(jù)分組.(4)列頻率分布表.(5)畫頻率分布直方圖.3.頻率分布直方圖的特點是什么?(1)頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標(biāo)之差表示組距,縱坐標(biāo)表示頻率組距,頻率=組距頻率組距.(2)在頻率分布直方圖中,各小長方形的面積總和等于1.因為在頻率分布直方圖中組距是一個固定值,所以各小長方形高的比也就是頻率比.(3)頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種形式,前者準(zhǔn)確,后者直觀.4.如何進(jìn)行回歸分析?(1)定義:對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種常用方法.(2)樣本點的中心對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中(x-,y-)稱為樣本點的中心.(3)相關(guān)系數(shù)當(dāng)r>0時,表明兩個變量正相關(guān);當(dāng)r<0時,表明兩個變量負(fù)相關(guān).r的絕對值越接近于1,表明兩個變量的線性相關(guān)性越強.r的絕對值越接近于0,表明兩個變量之間的線性相關(guān)性越弱.通常當(dāng)|r|大于0.75時,認(rèn)為兩個變量有很強的線性相關(guān)性.5.獨立性檢驗的一般步驟是什么?解決獨立性檢驗的應(yīng)用問題,一定要按照獨立性檢驗的步驟得出結(jié)論.獨立性檢驗的一般步驟:(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成22列聯(lián)表;(2)根據(jù)公式K2=n(ad-bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)計算K2的觀測值k;(3)比較k與臨界值的大小關(guān)系,做出統(tǒng)計推斷.四、隨機變量及其應(yīng)用1.離散型隨機變量的分布列及性質(zhì)是什么?(1)離散型隨機變量的分布列:若離散型隨機變量X所有可能的取值為x1,x2,xi,xn,X取每一個值xi(i=1,2,n)的概率為p1,p2,pn,則表Xx1x2xixnPp1p2pipn稱為離散型隨機變量X的概率分布列或稱為離散型隨機變量X的分布列.(2)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì):0pi1(i=1,2,3,n);p1+p2+pn=1;P(xiXxj)=pi+pi+1+pj.2.事件的相互獨立性的概念及公式是什么?(1)相互獨立的定義:事件A是否發(fā)生對事件B是否發(fā)生的概率沒有影響,即P(B|A)=P(B).這時,稱事件A與事件B相互獨立,并把這兩個事件叫作相互獨立事件.(2)概率公式條件公式事件A,B相互獨立P(AB)=P(A)P(B)事件A1,A2,An相互獨立P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)3.獨立重復(fù)試驗與二項分布的概念和公式是什么?(1)獨立重復(fù)試驗定義:在相同條件下,重復(fù)地做n次試驗,各次試驗相互獨立,那么一般就稱它們?yōu)閚次獨立重復(fù)試驗.概率公式:在一次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,則n次獨立重復(fù)試驗中,事件A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)=Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,n).(2)二項分布:在n次獨立重復(fù)試驗中,事件A發(fā)生的次數(shù)設(shè)為X,事件A不發(fā)生的概率為q=1-p,則n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率是P(X=k)=Cnkpkqn-k,其中k=0,1,2,n,于是X的分布列:X01knPCn0p0qnCn1pqn-1Cnkpkqn-kCnnpnq0此時稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布,記作XB(n,p).4.正態(tài)分布的概念及性質(zhì)是什么?(1)正態(tài)曲線:正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫作正態(tài)曲線,其函數(shù)表達(dá)式為f(x)=12e-(x-)222,xR,其中,為參數(shù),且>0,-<<+.(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)曲線位于x軸上方,與x軸不相交,與x軸之間的面積為1;曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=對稱;曲線在x=處達(dá)到峰值12;當(dāng)一定時,曲線的形狀由確定,越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散.(3)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(-<X+)=0.6826;P(-2<X+2)=0.9544;P(-3<X+3)=0.9974.5.離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望(或均值)與方差的概念是什么?設(shè)一個離散型隨機變量X所有可能取的值是x1,x2,xn,這些值對應(yīng)的概率分別是p1,p2,pn.(1)數(shù)學(xué)期望:稱E(X)=x1p1+x2p2+xnpn為離散型隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望),它刻畫了這個離散型隨機變量取值的平均水平.(2)方差:稱D(X)=(x1-E(X)2p1+(x2-E(X)2p2+(xn-E(X)2pn為離散型隨機變量X的方差,它反映了離散型隨機變量取值相對于期望的平均波動大小(或說離散程度),D(X)的算術(shù)平方根D(X)叫作離散型隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.6.均值與方差的性質(zhì)有哪些?(1)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b為常數(shù)).(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b為常數(shù)).(3)兩點分布與二項分布的均值、方差的公式若X服從兩點分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-p).若XB(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).幾何概型、古典概型、相互獨立事件與互斥事件的概率、條件概率是高考的熱點,幾何概型主要以客觀題形式考查,求解的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)測度(長度或面積);相互獨立事件、互斥事件常作為解答題的一部分考查,也是進(jìn)一步求分布列、期望與方差的基礎(chǔ),求解該類問題要正確理解題意,準(zhǔn)確判定概率模型,恰當(dāng)選擇概率公式.近幾年的高考數(shù)學(xué)試題對統(tǒng)計案例的考查一般不單獨命題,而是與概率、隨機變量的數(shù)學(xué)期望交匯命題,高考對此類題目的要求是能根據(jù)給出的或通過統(tǒng)計圖表給出的相關(guān)數(shù)據(jù)求線性回歸方程,了解獨立性檢驗的思想方法,會判斷兩個分類變量是否有關(guān).從近幾年高考情形來看,該類專題在高考中占的比例大約為15%,以簡單題、中檔題為主,考查題型分選擇題、填空題和解答題.一、選擇題、填空題的命題特點(一)考查排列、組合的應(yīng)用,以考查兩個計數(shù)原理和排列、組合的應(yīng)用為主,難度中等,常常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).1.(2018全國卷理T15改編)從2名女生,4名男生中選3人參加科技比賽,恰有1名女生入選,則不同的選法共有種.(用數(shù)字填寫答案)解析由題意可得有1名女生,2名男生,則有C21C42=12種不同的選法.答案122.(2018浙江卷T16改編)從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字,從2,4,6中任取2個數(shù)字,一共可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)解析一共可以組成C52C32A44=720個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).答案7203.(2017全國卷理T6改編)安排5名志愿者完成4項工作,每項工作只需由1人完成,則不同的安排方式共有().A.120種B.180種C.240種D.360種解析由題意可得,5人中選出4人完成工作,剩下1人沒有工作,故不同的安排方式有C54A44=120(種).答案A(二)考查二項式定理的應(yīng)用,以考查運用二項式定理求特定項、求項數(shù)和二項式定理性質(zhì)的應(yīng)用為主,難度中等,常常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).4.(2018全國卷理T5改編)x2+2x5的展開式中x的系數(shù)為().A.10B.20C.40D.80解析由題可得Tr+1C=5r(x2)5-r2xrC=5r2rx10-3r,令10-3r=1,得r=3.所以C5r2r=C5323=80.答案D5.(2017全國卷理T6改編)1+1x2(1+x)6的展開式中x4的系數(shù)為().A.15B.16C.30D.35解析因為(1+x)6展開式的通項為Tr+1C=6rxr,所以1+1x2(1+x)6的展開式中含x4的項為1C64x4和1x2C66x6.因為C66+C64=16,所以1+1x2(1+x)6的展開式中x4的系數(shù)為16.答案B(三)考查隨機事件的概率,以考查隨機事件、互斥事件與對立事件的概率為主,難度中等,常與事件的頻率交匯考查.本節(jié)內(nèi)容在高考中三種題型都有可能出現(xiàn),隨機事件的頻率與概率題目往往以解答題的形式出現(xiàn),互斥事件、對立事件的概念及概率題目常常以選擇、填空題的形式出現(xiàn).6.(2018全國卷文T5改編)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.25,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為().A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7解析設(shè)事件A為“不用現(xiàn)金支付”,事件B為“既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付”,事件C為“只用現(xiàn)金支付”,則P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.15-0.25=0.6,故選C.答案C(四)考查古典概型,全國卷對古典概型每年都會考查,難度中等,主要考查實際背景的可能事件,通常與互斥事件、對立事件一起考查.在高考中單獨命題時,通常以選擇題、填空題形式出現(xiàn),屬于中低檔題.7.(2018全國卷理T8改編)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”,如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中,隨機選取2個不同的數(shù),其和等于26的概率是().A.112B.114C.115D.245解析不超過30的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個,從中隨機選取2個不同的數(shù),共有C102=45種取法.因為3+23=7+19=26,所以隨機選取2個不同的數(shù),其和等于26的有2種取法,故所求概率為245.答案D8.(2018江蘇卷T6改編)某興趣小組有2名男生和3名女生,現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動,則恰好選中1名男生和1名女生的概率為.解析從5名學(xué)生中任選2名學(xué)生,共有C52=10種選法,其中恰好選中1名男生和1名女生的選法有C21C31=6種,因此所求概率為610=35.答案35(五)考查幾何概型,難度較大,以理解幾何概型的概念、概率公式為主,會求一些簡單的幾何概型的概率,常與平面幾何、線性規(guī)劃、不等式的解集等知識交匯考查,在高考中多以選擇題、填空題的形式考查,難度中等.9.(2018全國卷理T10改編)折紙藝術(shù)是我國古代留下來寶貴的民間藝術(shù),具有很高的審美價值和應(yīng)用價值.如圖所示的是一個折紙圖案,由一個正方形內(nèi)切一個圓形,然后在四個頂點處分別嵌入半徑為正方形邊長一半的扇形.向圖中隨機投入一個質(zhì)點,則質(zhì)點落在陰影部分的概率P1與質(zhì)點落在正方形內(nèi)圓形區(qū)域外面的概率P2的大小關(guān)系是().A.P1>P2B.P1<P2C.P1=P2D.不能確定解析將正方形內(nèi)圓形區(qū)域外面的四個角進(jìn)行沿直角邊重合組合,恰好得到的圖形就是陰影部分圖形,所以陰影部分區(qū)域的面積等于正方形內(nèi)圓形區(qū)域外面的面積,故P1=P2.答案C10.(2016全國卷文T8改編)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈,則至少需要等待10秒才出現(xiàn)綠燈的概率為().A.34B.710C.58D.310解析至少需要等待10秒才出現(xiàn)綠燈的概率為40-1040=34,故選A.答案A(六)考查隨機抽樣,在抽樣方法的考查中,系統(tǒng)抽樣、分層抽樣是考查的重點,題型主要以選擇題和填空題為主,屬于中低檔題.11.(2017江蘇卷T3改編)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為200、400、300、100件,為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量,現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗,則應(yīng)從甲種型號的產(chǎn)品中抽取件.解析樣本容量總體個數(shù)=60200+400+300+100=350,應(yīng)從甲種型號的產(chǎn)品中抽取350200=12(件).答案12(七)用樣本估計總體,主要考查平均數(shù)、方差等的計算以及莖葉圖、頻率分布直方圖的簡單應(yīng)用.題型以選擇題和填空題為主,出現(xiàn)解答題時經(jīng)常與概率相結(jié)合,屬于中檔題.12.(2018全國卷理T3改編)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè),農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍,實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況,統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例,得到如下餅圖:則下列選項中不正確的是().A.新農(nóng)村建設(shè)后,種植收入增加B.新農(nóng)村建設(shè)后,其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入沒有增加D.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半解析由題干可知,農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍,實現(xiàn)翻番.為方便可設(shè)建設(shè)前后的經(jīng)濟收入分別為100,200(單位省去).A中,種植收入前后分別為60,74,收入增加了,A正確;B中,其他收入前后分別為4,10,增加了一倍以上,B正確;C中,養(yǎng)殖收入前后分別為30,60,收入增加了一倍,C錯誤;D中,建設(shè)后,養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和為(30+28)2=116>100,D正確.故選C.答案C13.(2017全國卷理T3)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯誤的是().A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)解析對于選項A,由圖易知,月接待游客量每年7,8月份明顯高于12月份,故A錯誤;對于選項B,觀察折線圖的變化趨勢可知,年接待游客量逐年增加,故B正確;對于選項C,D,由圖可知顯然正確.答案A(八)考查離散型隨機變量分布列、超幾何分布、條件概率、正態(tài)分布、數(shù)學(xué)期望與方差,求離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望是全國卷高考重點考查的內(nèi)容,在選擇題、填空題中有時會出現(xiàn).主要考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、正態(tài)分布等.14.(2018全國卷理T8改編)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立,設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù),D(X)=2.1,P(X=4)<P(X=6),則p=().A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3解析因為XB(n,p),所以D(X)=np(1-p)=2.1,所以p=0.3或p=0.7.因為P(X=4)=C104p4(1-p)6<P(X=6)=C106p6(1-p)4,所以(1-p)2<p2,可得p>0.5.故p=0.7.答案A15.(2017全國卷理T13改編)一批產(chǎn)品的二等品率為0.08,從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則D(X)=.解析有放回地抽取,是一個二項分布模型,其中p=0.08,n=100,則D(X)=np(1-p)=1000.080.92=7.36.答案7.36二、解答題的命題特點概率與統(tǒng)計綜合試題的題干閱讀量大,容易造成考生在數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化過程中失誤,得分率不高.這些試題主要考查古典概型,用樣本估計總體,利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測,獨立性檢驗的應(yīng)用,離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望,正態(tài)分布等.概率、隨機變量的數(shù)學(xué)期望交匯命題,高考對此類題目的要求是能根據(jù)給出的或通過統(tǒng)計圖表給出的相關(guān)數(shù)據(jù)求線性回歸方程.1.(2018全國卷理T18)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位:億元)的折線圖.為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,17)建立模型:y=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,7)建立模型:y=99+17.5t.(1)分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值.(2)你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠?并說明理由.解析(1)利用模型,從2000年開始算起,2018年即t=19,所以該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y=-30.4+13.519=226.1(億元).利用模型,從2010年開始算起,2018年即t=9,所以該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y=99+17.59=256.5(億元).(2)利用模型得到的預(yù)測值更可靠.理由如下:(i)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線y=-30.4+13.5t上下,這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近,這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢,因此利用模型得到的預(yù)測值更可靠.(ii)從計算結(jié)果看,相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型得到的預(yù)測值的增幅比較合理,說明利用模型得到的預(yù)測值更可靠.2.(2018全國卷,理T20)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗,如檢驗出不合格品,則更換為合格品.檢驗時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗,再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點p0.(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.(i)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗,這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求E(X).(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù),是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗?解析(1)由題意可知,獨立重復(fù)試驗符合二項分布,20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)C=202p2(1-p)18=190p2(1-p)18,對上式求導(dǎo)得f(p)=190p2(1-p)18=1902p(1-p)18-18p2(1-p)17=190p(1-p)172(1-p)-18p=380p(1-p)17(1-10p).當(dāng)f(p)=0時,有p(1-p)17(1-10p)=0,由0<p<1,得當(dāng)p0,110時,f(p)>0,f(p)單調(diào)遞增;當(dāng)p110,1時,f(p)<0,f(p)單調(diào)遞減.故f(p)max=f(p0)=f110,即p0=110.(2)(i)由題意,剩余未作檢驗的產(chǎn)品有180件,其中Y表示不合格品的件數(shù),其服從二項分布YB180,110.故E(Y)=180110=18.又X=40+25Y,故E(X)=E(40+25Y)=40+2518=490(元).(ii)若對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗,則需要的檢驗費為2002=400(元).因為E(X)=490>400,所以需要對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗.3.(2018全國卷理T18)某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由.(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解析(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由如下:(i)由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79分鐘,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.(ii)由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.(iii)由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.(iv)由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多,關(guān)于莖8大致呈對稱分布;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多,關(guān)于莖7大致呈對稱分布.又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同,故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.(2)由莖葉圖知m=79+812=80.列聯(lián)表如下:超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515(3)因為K2的觀測值k=40(1515-55)220202020=10>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.4.(2017全國卷理T19)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(,2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件數(shù),求P(X1)及X的數(shù)學(xué)期望.(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.(i)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性.(ii)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得x-=116i=116xi=9.97,s=116i=116(xi-x-)2=116(i=116xi2-16x-2)0.212,其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2,16.用樣本平均數(shù)x-作為的估計值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計值,利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?剔除(-3,+3)之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計和(精確到0.01).附:若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(,2),則P(-3<Z<+3)=0.9974,0.9974160.9592,0.0080.09.解析(1)由題可知抽取的一個零件的尺寸落在(-3,+3)之內(nèi)的概率為0.9974,從而零件的尺寸落在(-3,+3)之外的概率為0.0026,故XB(16,0.0026).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.9974161-0.9592=0.0408,X的數(shù)學(xué)期望E(X)=160.0026=0.0416.(2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.0026,一天內(nèi)抽取的16個零件中,出現(xiàn)尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小,因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.(ii)由x-=9.97,s0.212,得的估計值為=9.97,的估計值為=0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在(-3,+3)之外,因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.剔除(-3,+3)之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為115(169.97-9.22)=10.02,因此的估計值為10.02.i=116xi2=160.2122+169.9721591.134,剔除(-3,+3)之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為115(1591.134-9.222-1510.022)0.008,因此的估計值為0.0080.09.1.樣本數(shù)據(jù)(1)眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量,平均數(shù)是最重要的量,與每個樣本數(shù)據(jù)有關(guān),這是中位數(shù)、眾數(shù)所不具有的性質(zhì).(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度就越大.(3)莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖都是用圖表直觀描述樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律的.2.頻率分布直方圖(1)用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想,而利用頻率分布表和頻率分布直方圖來估計總體則是用樣本的頻率分布去估計總體分布的兩種主要方法.頻率分布表在數(shù)量表示上比較準(zhǔn)確,頻率分布直方圖比較直觀.(2)頻率分布表中的頻數(shù)之和等于樣本容量,各組中的頻率之和等于1;在頻率分布直方圖中,各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率,所以所有小長方形的面積的和等于1;平均數(shù)是頻率分布直方圖各個小矩形的面積底邊中點的橫坐標(biāo)之和.3.排列與組合(1)解決“在”與“不在”的有限制條件的排列問題,既可以從元素入手,也可以從位置入手,原則是誰“特殊”誰優(yōu)先.不管是從元素考慮還是從位置考慮,都要貫徹到底,不能既考慮元素又考慮位置.解決相鄰問題的方法是“捆綁法”,即把相鄰元素看作一個整體和其他元素一起排列,同時要注意捆綁元素的內(nèi)部排列.解決不相鄰問題的方法是“插空法”,即先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中.對于定序問題,可先不考慮順序限制,排列后,再除以定序元素的全排列.若某些問題從正面考慮比較復(fù)雜,可從其反面入手,即采用“間接法”.(2)組合問題的限制條件主要體現(xiàn)在取出元素中“含”或“不含”某些元素,或者“至少”或“最多”含有幾個元素:“含有”或“不含有”某些元素的組合題型.“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選取.“至少”或“最多”含有幾個元素的題型.考慮逆向思維,用間接法處理.(3)分組分配問題是排列、組合問題的綜合運用,解決這類問題的一個基本指導(dǎo)思想就是先分組后分配.關(guān)于分組問題,有整體均分、部分均分和不等分三種,無論分成幾組,都應(yīng)注意只要有一些組中元素的個數(shù)相等,就存在均分現(xiàn)象.4.隨機變量的均值與方差一般計算步驟:(1)理解X的意義,寫出X的所有可能取的值.(2)求X取各個值的概率,寫出分布列.(3)根據(jù)分布列,由均值的定義求出均值E(X),進(jìn)一步由公式D(X)=i=1n(xi-E(X)2pi=E(X2)-(E(X)2求出D(X).(4)以特殊分布(兩點分布、二項分布、超幾何分布)為背景的均值與方差的計算:先根據(jù)隨機變量的特點判斷出隨機變量服從什么特殊分布;可以根據(jù)特殊分布的概率公式列出分布列,根據(jù)計算公式計算出均值和方差,也可以直接應(yīng)用離散型隨機變量服從特殊分布時的均值與方差公式來計算,若X=a+b不服從特殊分布,但服從特殊分布,可利用有關(guān)性質(zhì)及E(),D()公式求均值和方差.