2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專題 微專題06 三角恒等變換與解三角形練習(xí) 理.docx

06三角恒等變換與解三角形1.已知cos22sin-4=52,則tan +1tan=().A.-18B.-8C.18D.8解析因為cos22sin-4=cos2-sin2sin-cos=-(cos +sin )=52,所以sin cos =18,而tan +1tan=sincos+cossin=1sincos=8,故選D.答案D2.在ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,其中b>a且2asin(A+B)=3c,則角A等于().A.3B.3或23C.6D.6或56解析由誘導(dǎo)公式可得sin(A+B)=sin(-C)=sin C,利用正弦定理可得2sin AsinC=3sin C,解得sin A=32,即A=3或A=23,又b>a,所以A=3,故選A.答案A3.在ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,若a,b,c成等比數(shù)列,且a2-ab=c2-ac,則cos C的值為().A.12B.-12C.32D.-32解析由a,b,c成等比數(shù)列得b2=ac,代入a2-ab=c2-ac,得a2+b2-c2=ab,則cos C=a2+b2-c22ab=ab2ab=12,故選A.答案A4.一個大型噴水池的中央有一個強(qiáng)力噴水柱,為了測量噴水柱的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的A處測得水柱頂端的仰角為45,沿A向北偏東30方向前進(jìn)100 m后到達(dá)B處,在B處測得水柱頂端的仰角為30,則水柱的高度為.解析如圖所示,DC平面ABC,AB=100 m,DBC=30,DAC=45,CAB=60.設(shè)CD=h m,則AC=h m,同理可得BC=3h m.在ABC中,BC2=AC2+AB2-2ACABcos 60,則(3h)2=h2+1002-2h10012,化為h2+50h-5000=0,解得h=50,因此水柱的高度是50 m.答案50 m能力1能熟練進(jìn)行三角恒等變換和求值【例1】(1)設(shè)0,2,0,2,且tan =1+sincos,則().A.3-=2B.3+=2C.2-=2D.2+=2(2)已知cos+4=210,0,2,cos =13,(0,),則cos(-2)的值為.解析(1)由tan =1+sincos,得sincos=1+sincos,即sin cos =cos +sin cos ,所以sin(-)=cos .又cos =sin2-,所以sin(-)=sin2-.因為0,2,0,2,所以-2<-<2,0<2-<2.所以-=2-,所以2-=2.(2)因為0,2,所以+44,34.因為cos+4=210,所以sin+4=7210,所以sin =sin+4-4=sin+4cos4-cos+4sin4=721022-21022=35,所以cos =45.因為cos =13,(0,),所以sin =223,所以sin 2=429,cos 2=-79,所以cos(-2)=cos cos 2+sin sin 2=45-79+35429=122-2845.答案(1)C(2)122-2845三角恒等變換中的“四大策略”:(1)常值代換:特別是“1”的代換,如1=sin2+cos2=tan 45.(2)項的分拆與角的配湊:sin2+2cos2=(sin2+cos2)+cos2,=(-)+等.(3)降冪與升冪:正用和逆用二倍角公式.(4)弦、切互化:切化弦,弦化切,減少函數(shù)種類.已知2,且sin =13.(1)求sin 2的值;(2)若sin(+)=-35,0,2,求sin 的值.解析(1)2,且sin =13,cos =-223,故sin 2=2sin cos =-429.(2)2,0,2,+2,32.由sin(+)=-35得cos(+)=-45,故sin =sin(+)-=sin(+)cos -cos(+)sin =-35-223-4513=4+6215.能力2正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用【例2】已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且3cacosB=tan A+tanB.(1)求角A的大小;(2)設(shè)D為AC邊上的一點,且BD=5,DC=3,a=7,求c的值.解析(1)在ABC中,3cacosB=tan A+tanB,3sinCsinAcosB=sinAcosA+sinBcosB,即 3sinCsinAcosB=sinAcosB+sinBcosAcosAcosB,3sinA=1cosA,則 tan A=3,A=3.(2)BD=5,DC=3,a=7,由余弦定理可得cosBDC=25+9-49235=-12,BDC=23,又A=3,ABD為等邊三角形,c=5.在解三角形中,利用已知條件進(jìn)行化簡變形,常用的方法是借助正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化,減少變量的數(shù)量,在邊化角的運(yùn)算中注意切化弦思想及三角恒等變換的應(yīng)用.已知ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且ba+c=1-sinAsinC+sinB.(1)求角C的大小;(2)若SABC=23,a+b=6,求邊c.解析(1)ba+c=1-sinAsinC+sinB=sinC+sinB-sinAsinC+sinB.由正弦定理得ba+c=c+b-ac+b,化簡得a2+b2-c2=ab, 由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=12.C(0,),C=3.(2)由(1)知C=3,又SABC=12absin C=12ab32=23,ab=8.由余弦定理得c2=a2+b2-2ab12=(a+b)2-3ab=12,c=23.能力3會解三角形與三角函數(shù)的綜合問題【例3】在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,ABC的面積為S,且4S=3(a2+b2-c2).(1)求角C的大小;(2)若f(x)=4sin xcosx+6+1,且當(dāng)x=A時,f(x)取得最大值b,試求S的值.解析(1)由已知得412absin C=3(a2+b2-c2)=23abcos C,即tan C=3.因為C(0,),所以C=3.(2)f(x)=4sin x32cosx-12sinx+1 =23sin xcosx-2sin2x+1=3sin 2x+cos 2x=2sin2x+6.當(dāng)2x+6=2k+2(kZ),即x=k+6(kZ)時,f(x)max=2.因為A(0,),所以A=6,b=2,故B=-A-C=2,a=bsinA=1,c=bsinC=3,所以S=12acsin B=32.求解有關(guān)解三角形與三角函數(shù)的綜合問題,要注意三角形內(nèi)角的范圍,一般是先定角,再定范圍,最后利用三角函數(shù)的單調(diào)性和倍角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+6+sin2x-cos2x.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若角A滿足f(A)=1,a=3,ABC的面積為32,求b+c的值.解析(1)f(x)=32sin 2x+12cos 2x-cos 2x=32sin 2x-12cos 2x=sin2x-6.令-2+2k2x-62+2k,kZ,得-6+kx3+k,kZ.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-6+k,3+k,kZ.(2)由題意知f(A)=sin2A-6=1,0<A<,-6<2A-6<116,2A-6=2,解得A=3.S=12bcsin A=32,bc=2.又b2+c2-2bccos3=3,化簡得(b+c)2-3bc=3,則(b+c)2=9,b+c=3.能力4熟練解決三角形中的幾何計算問題【例4】如圖,在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c=4,b=2,sin 2C=sin B,D,E均為線段BC上的點,且BD=CD,BAE=CAE.(1)求線段AD的長;(2)求ADE的面積.解析(1)由sin 2C=sin B得cos C=sinB2sinC=b2c.因為c=4,b=2,所以cos C=b2c=14.由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=a2+4-164a=14,所以a=4,即BC=4.在ACD中,CD=2,AC=2,所以AD2=AC2+CD2-2ACCDcos C=6,所以AD=6.(2)因為AE是BAC的平分線,所以SABESACE=12ABAEsinBAE12ACAEsinCAE=ABAC=2.又SABESACE=BEEC,所以BEEC=2,所以EC=13BC=43,DE=2-43=23.因為cos C=14,所以sin C=1-cos2C=154,所以SADE=SACD-SACE=1222154-12243154=156.求三角形的中線或角平分線長度,常借助中線與角平分線把一個三角形分為兩個三角形,分析兩個三角形的邊角關(guān)系,利用正弦定理或余弦定理求解,此外利用平面向量法也可以求解.在銳角ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a, b,c,已知b(1+2cos C)=2acos C+ccosA.(1)證明:a=2b.(2)若ABC的面積S=4sin C,D為線段AB的中點,CD=6,求c.解析(1)因為b(1+2cos C)=2acos C+ccosA,所以sin B(1+2cos C)=2sin AcosC+sinCcosA,所以sin(A+C)+2sin BcosC=2sin AcosC+cosAsinC,所以2sin BcosC=sin AcosC.又0<C<2,所以2sin B=sin A,即a=2b.(2)因為S=122bbsinC=4sin C,所以b=2,a=4.在ADC中,cosADC=CD2+AD2-AC22CDAD,在BDC中,cosBDC=BD2+CD2-BC22BDCD,又ADC+BDC=,所以cosADC+cosBDC=0,由CD2+AD2-AC22CDAD+BD2+CD2-BC22BDCD=0,代入數(shù)據(jù)得6+c24-46c+c24+6-166c=0,得c=4.一、選擇題1.若(0,),且2cos +3sin =2,則tan2=().A.32B.1C.233D.3解析由2cos +3sin =2得21-2sin22+23sin2cos2=2,化簡可得23sin2cos2=4sin22.因為(0,),所以20,2,所以sin20,所以23cos2=4sin2,即tan2=32,故選A.答案A2.在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足b2+c2=a2+bc,bc=8,則ABC的面積等于().A.23B.4C.43D.8解析因為b2+c2=a2+bc,所以cos A=b2+c2-a22bc=12,即A=3,則ABC的面積S=12bcsin A=23,故選A.答案A3.已知直線3x-y+1=0的傾斜角為,則12sin 2+cos2=().A.25B.-15C.14D.-120解析由題意知tan =3,所以12sin 2cos+2=sincos+cos2cos2+sin2=tan+11+tan2=410=25,故選A.答案A4.若ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知2bsin 2A=3asin B,且c=2b,則ab等于().A.32B.43C.2D.3解析由2bsin 2A=3asin B,得4sin BsinAcosA=3sin AsinB,所以cos A=34.又c=2b,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-4b234=2b2,得ab=2,故選C.答案C5.已知為第三象限角,tan-4=13,則sin -cos =().A.-355B.-55C.355D.55解析由tan-4=13,得tan =tan-4+4=13+11-13=2.由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,得sincos=2,sin2+cos2=1,解得cos2=15,sin2=45.因為為第三象限角,所以sin =-255,cos =-55,則sin -cos =-55,故選B.答案B6.某人要利用無人機(jī)測量河流的寬度,如圖,從A處測得正前方河流的兩岸B,C的俯角分別為75, 30,此時的高是60米,則河流的寬度BC等于().A.2403米B.180(2-1)米C.120(3-1)米D.30(3+1)米解析如圖所示,DAB=15,因為tan 15=tan(45-30)=tan45-tan301+tan45tan30=2-3,在RtADB中,AD=60米,所以DB=ADtan 15=602-3=(120-603)米.在RtADC中,DAC=60,AD=60米,所以DC=ADtan 60=603米,所以BC=DC-DB=603-(120-603)=120(3-1)米,所以河流的寬度BC等于120(3-1)米,故選C.答案C7.為了得到函數(shù)y=cos2x-sin2x+1的圖象,只需將函數(shù)y=(sin x+cosx)2的圖象().A.向右平移2個單位長度B.向右平移4個單位長度C.向左平移2個單位長度D.向左平移4個單位長度解析由已知得ycos=2xsin-2x+1=cos 2x+1=sin2x+2+1=sin2x+4+1,y=(sin x+cosx)2=sin 2x+1,所以要得到函數(shù)y=cos2x-sin2x+1的圖象,只需要將函數(shù)y=(sin x+cosx)2的圖象向左平移4個單位長度,故選D.答案D8.已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A>0,>0,0<<)的部分圖象如圖所示,且f()=1,0,3,則cos2+56=().A.13B.223C.223D.-223解析由圖象可得A=3,T=2=4712-3=,解得=2,故f(x)=3sin(2x+),代入點3,-3可得3sin23+=-3,sin23+=-1,即有23+=-2+2k(kZ),=2k-76(kZ),又0<<,=56,故f(x)=3sin2x+56.又f()=3sin2+56=1,sin2+56=13.0,3,2+5656,32,cos2+56=-1-sin22+56=-223,故選D.答案D二、填空題9.若2,且3cos 2=sin4-,則sin 2的值為.解析因為3cos 2=sin4-,所以3cos 2=22cos -22sin ,兩邊平方得9cos22=12(1-sin 2),即18(1-sin22)=1-sin 2,整理得(17+18sin 2)(1-sin 2)=0,又2,所以sin 2=-1718或sin 2=1(舍去).答案-171810.在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,ABC的面積為S,若bcosA+acosB=23b,且a2sin A=b2sin A+23S,則A=.解析bcosA+acosB=23b,sin BcosA+sinAcosB=23sin B,sin(A+B)=23sin B,即sin C=23sin B,則c=23b.a2sin A=b2sin A+23S,a2sin A=b2sin A+3bcsin A,則a2=b2+3bc,即a2=b2+6b2=7b2,cos A=b2+c2-a22bc=b2+12b2-7b243b2=32,A=30.答案30三、解答題11.ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知absinC=20sin B,a2+c2=41,且8cos B=1.(1)求b的值.(2)證明:ABC的三個內(nèi)角中必有一個角的大小是另一個角的兩倍.解析(1)absinC=20sin B,abc=20b,即ac=20,則b=a2+c2-2accosB=41-4018=6.(2)ac=20,a2+c2=41,a=4,c=5或a=5,c=4.若a=4,c=5,則cos A=52+62-42256=34,cos B=18,2342-1=2cos2A-1=cos 2A,B=2A;若a=5,c=4,同理可得B=2C.故ABC的三個內(nèi)角中必有一個角的大小是另一個角的兩倍.12.在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cosB-2cosA2a-b=cosCc.(1)求ab的值;(2)若角A是鈍角,且c=3,求b的取值范圍.解析(1)由題意及正弦定理得sin CcosB-2sin CcosA=2sin AcosC-sin BcosC, sin CcosB+sinBcosC=2(sin CcosA+sinAcosC).sin(B+C)=2sin(A+C).A+B+C=,sin A=2sin B,ab=2.(2)由余弦定理得cos A=b2+9-a22b3=b2+9-4b26b=9-3b26b<0,b>3.b+c>a,即b+3>2b,b<3.由得b的取值范圍是(3,3).13.在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足2c-ba=cosBcosA.(1)求角A的正弦值;(2)若a=25,求ABC面積的最大值.解析(1)2c-ba=cosBcosA,2c-bcos A=acosB.由正弦定理得2sinC-sinBcos A=sin AcosB,整理得2sin CcosA-sin BcosA=sin AcosB,2sin CcosA=sin AcosB+sinBcosA=sin C.在ABC中,sin C0,cos A=12,sin A=32.(2)由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12,a=25.b2+c2-20=bc2bc-20,bc20,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時,取等號.ABC的面積S=12bcsinA53,ABC面積的最大值為53.