2019高考數(shù)學(xué)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 壓軸大題搶分練1 文.doc
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壓軸大題搶分練(一) (建議用時(shí):60分鐘) 1.已知拋物線y2=2px(p>0)上點(diǎn)M(3,m)到焦點(diǎn)F的距離為4. (1)求拋物線方程; (2)點(diǎn)P為準(zhǔn)線上任意一點(diǎn),AB為拋物線上過焦點(diǎn)的任意一條弦,設(shè)直線PA,PB,PF的斜率為k1,k2,k3,問是否存在實(shí)數(shù)λ,使得k1+k2=λk3恒成立.若存在,請求出λ的值;若不存在,請說明理由. [解] (1)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為x=-, 由拋物線的定義可知:4=3+,p=2, ∴拋物線方程為y2=4x. (2)由于拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F為(1,0),準(zhǔn)線為x=-1, 設(shè)直線AB:x=my+1,與y2=4x聯(lián)立,消去x,整理得: y2-4my-4=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(-1,t),有 易知k3=-,而k1+k2=+ = = ==-t=2k3, ∴存在實(shí)數(shù)λ=2,使得k1+k2=λk3恒成立. 2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:+y2=1,點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)是橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線OP,OQ的斜率分別為k1,k2,若m=,n=,mn=0. (1)求證:k1k2=-; (2)試探求△OPQ的面積S是否為定值?并說明理由. [解] (1)∵k1,k2存在, ∴x1x2≠0, ∵mn=0,m=,n=, ∴+y1y2=0, ∴k1k2==-. (2)①當(dāng)直線PQ的斜率不存在,即x1=x2,y1=-y2時(shí), 由=-得,-y=0, 又由P(x1,y1)在橢圓上,得+y=1, ∴|x1|=,|y1|=. ∴S△POQ=|x1||y1-y2|=1. ②當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí),設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b. 由得(4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0, ∴x1+x2=,x1x2=. ∵+y1y2=0, ∴+(kx1+b)(kx2+b)=0,得2b2-4k2=1, ∴S△POQ=|PQ|=|b|=2|b|=1. 綜上可得,△POQ的面積S為定值. 3.已知f(x)=xln x. (1)求f(x)的最小值; (2)證明:對一切x∈(0,+∞)都有l(wèi)n x>-. [解] (1)f′(x)=1+ln x,在上, f′(x)<0,f(x)遞減,在上, f′(x)>0,f(x)遞增,所以f(x)在x=時(shí),取得最小值f=-. (2)要證:ln x>-只需證:xln x>-,因?yàn)閒(x)=xln x在(0,+∞)最小值為-,所以構(gòu)造函數(shù)g(x)=-(x>0), g′(x)=,因此g(x)在(0,1)遞增,在(1,+∞)遞減,所以g(x)最大值為g(1)=-,又因?yàn)閒(x)與g(x)的最值不同時(shí)取得,所以f(x)>g(x), 即xln x>-, 所以ln x>-. 4.已知函數(shù)f(x)=ln x++a. (1)若曲線f(x)在x=1處的切線l過點(diǎn)(-1,0),求a的值及切線l的方程; (2)若存在唯一整數(shù)x0,使得f(x0)<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍,并判斷此時(shí)方程f(x)=0的實(shí)根個(gè)數(shù). [解] (1)因?yàn)閒′(x)=-+2,所以f(1)=a+6,f′(1)=2, 由曲線f(x)在x=1處的切線過點(diǎn)(-1,0),可得切線l的斜率k=f′(1)=,即=2, 所以a=-2,且切線l的方程為y=2(x+1),即2x-y+2=0. (2)由題可知:f′(x)=(x>0),所以當(dāng)x∈時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增. 若存在唯一整數(shù)x0,使得f(x0)<0,則x0=1, 所以即 所以-ln 2-≤a<-6, 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 結(jié)合f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 且f(1)<0,f(2)≥0,f=e3++a>0, 可知f(x)=0在上及上各有1個(gè)實(shí)根, 所以f(x)=0有2個(gè)實(shí)根.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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