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課時分層作業(yè)(八) 生活中的優(yōu)化問題舉例
(建議用時：40分鐘)
[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]
一、選擇題
1．某工廠要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料場的長和寬應(yīng)分別為(單位：米)( )
A．32,16 B．30,15
C．40,20 D．36,18
A [要使材料最省，則要求新砌的墻壁的總長最短，設(shè)場地寬為x米，則長為米，因此新墻總長L＝2x＋(x>0)，則L′＝2－.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此時長為＝32(米)，可使L最短．]
2．將8分為兩個非負(fù)數(shù)之和，使兩個非負(fù)數(shù)的立方和最小，則應(yīng)分為
( )
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不對
B [設(shè)一個數(shù)為x，則另一個數(shù)為8－x，則其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.當(dāng)0≤x<4時，y′<0；當(dāng)4
0.所以當(dāng)x＝4時，y最?。甝
3．要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20 cm，要使其體積最大，則高為
( ) 【導(dǎo)學(xué)號：31062075】
A． cm B． cm
C． cm D． cm
D [設(shè)圓錐的高為x cm，則底面半徑為 cm.其體積為V＝πx(202－x2)(0＜x＜20)，V′＝π(400－3x2)．令V′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．當(dāng)0＜x＜時，V′＞0；當(dāng)＜x＜20時，V′＜0.所以當(dāng)x＝時，V取最大值．]
4．內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長最大的矩形的邊長為( )
A．和R B．R和R
C．R和R D．以上都不對
B [設(shè)矩形與半圓直徑垂直的一邊的長為x，則另一邊長為2，則l＝2x＋4(0＜x＜R)，l′＝2－.令l′＝0，解得x1＝R，x2＝－R(舍去)．當(dāng)0＜x＜R時，l′＞0；當(dāng)R＜x＜R時，l′＜0.所以當(dāng)x＝R時，l取最大值，即周長最大的矩形的相鄰兩邊長分別為R， R．]
5．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總營業(yè)收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝則總利潤最大時，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是( )
A．100 B．150
C．200 D．300
D [由題意，得總成本函數(shù)為
C(x)＝20 000＋100x，總利潤P(x)＝R(x)－C(x)＝
所以P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300時，
總利潤P(x)最大．]
二、填空題
6．某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)：y1＝17x2(x＞0)，生產(chǎn)成本y2(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)：y2＝2x3－x2(x＞0)，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)________千臺.
【導(dǎo)學(xué)號：31062076】
[解析] 設(shè)利潤為y，則y＝y(tǒng)1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．
令y′＝0，解得x＝0或x＝6，經(jīng)檢驗知x＝6既是函數(shù)的極大值點又是函數(shù)的最大值點．
[答案] 6
7．電動自行車的耗電量y與速度x之間的關(guān)系為y＝x3－x2－40x(x＞0)，為使耗電量最小，則其速度應(yīng)定為________．
[解析] 由題設(shè)知y′＝x2－39x－40，
令y′＞0，解得x＞40或x＜－1，
故函數(shù)y＝x3－x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上遞增，在(0,40]上遞減．∴當(dāng)x＝40時，y取得最小值．
由此得為使耗電量最小，則其速度應(yīng)定為40.
[答案] 40
8．用總長14.8 m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5 m，那么高為________時容器的容積最大．
[解析] 設(shè)容器底面短邊長為x m，則另一邊長為(x＋0.5)m，高為[14.8－4x－4(x＋0.5)]＝(3.2－2x)m.由3.2－2x＞0及x＞0，得0＜x＜1.6.設(shè)容器容積為y，則有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)，y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.由y′＝0及0＜x＜1.6，解得x＝1.在定義域(0,1.6)內(nèi)，只有x＝1使y′＝0.由題意，若x過小(接近于0)或過大(接近于1.6)，y的值都很小(接近于0)．因此當(dāng)x＝1時，y取最大值，且ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，這時高為1.2 m.
[答案] 1.2 m
三、解答題
9．一艘輪船在航行中燃料費和它的速度的立方成正比．已知速度為每小時10千米時，燃料費是每小時6元，而其他與速度無關(guān)的費用是每小時96元，問輪船的速度是多少時，航行1千米所需的費用總和最少？ 【導(dǎo)學(xué)號：31062077】
[解] 設(shè)速度為每小時v千米時，燃料費是每小時p元，那么由題設(shè)知p＝kv3，
因為v＝10，p＝6，所以k＝＝0.006.
于是有p＝0.006v3.
又設(shè)船的速度為每小時v千米時，行駛1千米所需的總費用為q元，那么每小時所需的總費用是(0.006v3＋96)元，而行駛1千米所用時間為小時，所以行駛1千米的總費用為q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋.
q′＝0.012v－＝(v3－8 000)，
令q′＝0，解得v＝20.
當(dāng)v＜20時，q′＜0；
當(dāng)v＞20時，q′＞0，
所以當(dāng)v＝20時，q取得最小值．
即當(dāng)速度為20千米/小時時，航行1千米所需的費用總和最少．
10．某商店經(jīng)銷一種商品，每件產(chǎn)品的成本為30元，并且每賣出一件產(chǎn)品需向稅務(wù)部門上交a元(a為常數(shù)，2≤a≤5)的稅收．設(shè)每件產(chǎn)品的售價為x元(35≤x≤41)，根據(jù)市場調(diào)查，日銷售量與ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))成反比例．已知每件產(chǎn)品的日售價為40元時，日銷售量為10件．
(1)求該商店的日利潤L(x)元與每件產(chǎn)品的日售價x元的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的日售價為多少元時，該商品的日利潤L(x)最大，并求出L(x)的最大值．
[解] (1)設(shè)日銷售量為，則＝10，
∴k＝10e40，則日售量為件．
則日利潤L(x)＝(x－30－a)＝10e40；
答：該商店的日利潤L(x)元與每件產(chǎn)品的日售價x元的函數(shù)關(guān)系式為L(x)＝10e40.
(2)L′(x)＝10e40.
①當(dāng)2≤a≤4時，33≤a＋31≤35，
當(dāng)35＜x＜41時，L′(x)＜0.
∴當(dāng)x＝35時，L(x)取最大值為10(5－a)e5；
②當(dāng)4＜a≤5時，35≤a＋31≤36，
令L′(x)＝0，得x＝a＋31，易知當(dāng)x＝a＋31時，L(x)取最大值為10e9－a.
綜合上得L(x)max＝.
答：當(dāng)2≤a≤4時，當(dāng)每件產(chǎn)品的日售價35元時，為L(x)取最大值為10(5－a)e5；當(dāng)4＜a≤5時，每件產(chǎn)品的日售價為a＋31元時，該商品的日利潤 L(x)最大，最大值為10e9－a.
[能力提升練]
1．如果圓柱軸截面的周長l為定值，則體積的最大值為( )
A.3π B.3π
C.3π D.3π
A [設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，體積為V，則4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3.
則V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝，而r＞0，
∴r＝是其唯一的極值點．
∴當(dāng)r＝時，V取得最大值，最大值為3π.]
2．用長為90 cm，寬為48 cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個大小相同的小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90角，再焊接而成(如圖142)，當(dāng)容器的體積最大時，該容器的高為( )
圖142
A．8 cm B．9 cm
C．10 cm D．12 cm
C [設(shè)容器的高為x cm，容器的體積為V(x)cm3，
則V(x)＝(90－2x)(48－2x)x
＝4x3－276x2＋4 320x(00，當(dāng)100，
∴當(dāng)v＝20時，y最?。?
[答案] 20 n mile/h
4．如圖143，內(nèi)接于拋物線y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在拋物線上運動，C，D在x軸上運動，則此矩形的面積的最大值是__________．
圖143
[解析] 設(shè)CD＝x，則點C的坐標(biāo)為，
點B的坐標(biāo)為
，
∴矩形ABCD的面積
S＝f(x)＝x＝－＋x，x∈(0,2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，x∈時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，
故當(dāng)x＝時，f(x)取最大值.
[答案]
5．如圖144所示，有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線海岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在海的同側(cè)，乙廠位于離海岸40 km的B處，乙廠到海岸的垂足D與A相距50 km.兩廠要在此岸邊A，D之間合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，則供水站C建在何處才能使水管費用最??？
【導(dǎo)學(xué)號：31062079】
圖144
[解] 設(shè)C點距D點x km，則AC＝50－x(km)，
所以BC＝＝(km)．
又設(shè)總的水管費用為y元，
依題意，得y＝3a(50－x)＋5a(0
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