新編金版教程高考數學文二輪復習講義：第三編 考前沖刺攻略 第一步 考前必看八大提分筆記 Word版含解析

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1、 第一步 考前必看　八大提分筆記 一、集合與常用邏輯用語 1描述法表示集合時，一定要理解好集合的含義，抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函數的定義域；{y|y＝lg x}——函數的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函數圖象上的點集． 2集合的元素具有確定性、無序性和互異性，在解決有關集合的問題時，尤其要注意元素的互異性． 3遇到A∩B＝?時，你是否注意到“極端”情況：A＝?或B＝?；同樣在應用條件A∪B＝B?A∩B＝A?A?B時，不要忽略A＝?的情況． 4對于含有n個元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為2n,2

2、n－1,2n－1,2n－2. 5注重數形結合在集合問題中的應用，列舉法常借助Venn圖解題，描述法常借助數軸來運算，求解時要特別注意端點值的取舍． 6“否命題”是對原命題“若p，則q”既否定其條件，又否定其結論；而“命題p的否定”即：非p，只是否定命題p的結論．在否定條件或求結論時，應把“且”改成“或”，“或”改成“且”． 7要弄清先后順序：“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，且B不能推出A. 8要注意全稱命題的否定是特稱命題(存在性命題)，特稱命題(存在性命題)的否定是全稱命題．如對“a，b都是偶數”的否定應該是“a

3、，b不都是偶數”，而不應該是“a，b都是奇數”． 忽視互異性致誤 　　已知1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，求實數a的值． [錯解]　由題意，得a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1，∴a＝－1或a＝－2或a＝0. [錯因分析]　當a＝－2時，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1，不符合集合元素的互異性；同理a＝－1時，也不符合要求． [正解]　由題意得a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1.解得a＝－1或a＝－2或a＝0. 又當a＝－2時，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1不符合集合中元素互異性這一特點．故a≠－2，同理a≠－1，故只有a＝0.

4、 [防范措施]　上述解法造成本題失分的主要原因是忽視了集合元素具有互異性的特征.在解此類問題時注意代入檢驗是防范失分的一個重要措施. 補救訓練1　若A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}，且A∪B＝{1,3，x}，則這樣的x為________． 答案　±或0 解析　由已知得B?A，∴x2∈A且x2≠1. ①x2＝3，得x＝±，都符合． ②x2＝x，得x＝0或x＝1，而x≠1， ∴x＝0. 綜合①②，共有3個值. 忽視空集致誤 　　已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A.求實數m的取值范圍． [錯解]　∵x2－3x－10≤0

5、，∴－2≤x≤5. ∴A＝{x|－2≤x≤5}． 由A∪B＝A知B?A， ∴即－3≤m≤3. ∴m的取值范圍是－3≤m≤3. [錯因分析]　B?A，B可以為非空集合，B也可以是空集．漏掉對B＝?的討論，是本題的一個失分點． [正解]　∵A∪B＝A，∴B?A. ∵A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}． ①若B＝?，則m＋1>2m－1， 即m<2，故m<2時，A∪B＝A； ②若B≠?， 則m＋1≤2m－1，即m≥2. 由B?A，如圖所示，得 解得－3≤m≤3. 又∵m≥2，∴2≤m≤3. 由①②知，當m≤3時，A∪B＝A. [防范措施]　造

6、成本題失分的根本原因是忽視了“空集是任何集合的子集”這一性質．當題目中出現(xiàn)A?B，A∩B＝A，A∪B＝B時，注意對A進行分類討論，即分為A＝?和A≠?兩種情況討論． 補救訓練2　已知集合A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，p∈R}，若A∩R＋＝?，則實數p的取值范圍為________． 答案　(－4，＋∞) 解析　由于A∩R＋＝?，先求A∩R＋≠?的情況有 即解得p≤－4. 故當A∩R＋＝?時，p的取值范圍是(－4，＋∞). 忽視集合運算中的邊界點致誤 　　記f(x)＝的定義域為A，g(x)＝lg [(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定義域為B.若B?A，求實數a

7、的取值范圍． [錯解1]　f(x)的定義域為A，則A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． g(x)的定義域為B，則B＝(a＋1,2a)． ∵B?A，∴a＋1≥1或2a≤－1. ∴a≥0或a≤－. [錯解2]　由2－≥0，得x<－1或x≥1. ∴A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． 由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0. 且a<1，∴2a1或 a＋1<－1，∴a>或a<－2. ∴a∈∪(－∞，－2)． [錯因分析]　錯解1忽視對條件a<1的考慮；錯解2忽視了界點，事實上：2a≥1或a＋1≤

8、－1. [正解]　∵2－≥0，∴≥0. ∴x<－1或x≥1，即A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． ∵(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0. ∵a<1，∴a＋1>2a，∴B＝(2a，a＋1)． ∵B?A，∴2a≥1或a＋1≤－1， 即a≥或a≤－2，而a<1，∴≤a<1或a≤－2. 故當B?A時，實數a的取值范圍是(－∞，－2]∪. [防范措施]　對于錯解1，解一元二次不等式時一定要將考慮拋物線的開口和含參數的討論形成習慣.對于錯解2，對于含參數的交、并、補集問題的運算，一定要注意界點. 補救訓練3　[2015·太原一模]已知全集U＝R，集合M＝{x

9、|(x－1)(x＋3)<0}，N＝{x||x|≤1}，則陰影部分表示的集合是(　　) A．[－1,1) B.(－3,1] C.(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D.(－3，－1) 答案　D 解析　由題意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴陰影部分表示的集合為M∩(?UN)＝(－3，－1). 對命題的否定不當致誤 已知M是不等式≤0的解集且5?M，則a的取值范圍是________． [錯解]　(－∞，－2)∪(5，＋∞) [錯因分析]　5?M，把x＝5代入不等式，原不等式不成立，有兩種情況：①>0；②5a－25＝0，答案中漏掉了第②種情況． [正解]　解法一

10、：∵5?M，∴>0或5a－25＝0. ∴a<－2或a>5或a＝5，故填a≥5或a<－2. 解法二：若5∈M，則≤0， ∴(a＋2)(a－5)≤0且a≠5，∴－2≤a<5. ∴5?M時，a<－2或a≥5. [答案]　(－∞，－2)∪[5，＋∞) [防范措施]　本題失分率高達56%，實質上當x＝5時，≤0不成立，即是對命題≤0的否定．失分的原因就在于對命題的否定不當．對于這類形式的命題的否定，一定要注意其否定為>0或ax－25＝0.當然，就本題而言，也可以先求出5∈M時的a的范圍，再求其補集． 補救訓練4　已知集合M＝，若2?M，則實數a的取值范圍是________． 答案　 解

11、析　若2∈M，則<0， 即(2a－1)(2a2＋1)<0，∴a<. ∴當2?M時，a的取值范圍為a≥. 錯誤理解簡易邏輯中的概念致誤 x2＝x＋2是x＝x2的________條件． [錯解1]　由x2＝x＋2?x＝?x2＝x得出x2＝x＋2是x＝x2的充分條件． [錯解2]　由x＝x2?＝x?x＋2＝x2 得出x2＝x＋2是x＝x2的必要條件． [錯因分析]　錯解1中，事實上x2＝x＋2x＝；錯解2中，x＝x2＝x. [正解]　方程x2＝x＋2的解集為{－1,2}，x＝x2的解集為{0,2}，但是{－1,2}?{0,2}，且{0,2}?{－1,2}，所以x2＝x＋2是x

12、＝x2的既不充分也不必要條件． [答案] 　 既不充分也不必要 [防范措施]　①因為在錯解1的推理過程中，當x＝－1時“?”左邊成立，而右邊不成立，所以這里“?”不成立．②因為在錯解2的推理過程中，當x＝0時“?”左邊成立，而右邊不成立，所以這里“?”不成立．事實上，在推理過程中錯誤地進行了開方，方程兩邊同時相消，無理方程中忽略了被開方數的范圍等等．這是應該注意防范的． 補救訓練5　[2016·江西八校高三聯(lián)考]在△ABC中，“·＝·”是“||＝||”的(　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案　C 解析　·＝·?b

13、ccosA＝accosB?bcosA＝acosB?sinBcosA＝sinAcosB?tanA＝tanB?A＝B?a＝b，故·＝·是||＝||的充要條件. 二、函數與導數 1函數是數集到數集的映射，作為一個映射，就必須滿足映射的條件，只能一對一或者多對一，不能一對多． 2求函數的定義域，關鍵是依據含自變量x的代數式有意義來列出相應的不等式(組)求解，如開偶次方根，被開方數一定是非負數；對數式中的真數是正數；列不等式時，應列出所有的不等式，不應遺漏． 3用換元法求解析式時，要注意新元的取值范圍，即函數的定義域問題． 4分段函數是在其定義域的不同子集上，分別用不同的式子來表示對應關系

14、的函數，它是一個函數，而不是幾個函數． 5判斷函數的奇偶性，要注意定義域必須關于原點對稱，有時還要對函數式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響． 6弄清函數奇偶性的性質 (1)奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性完全相同；偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性恰恰相反． (2)若f(x)為偶函數，則f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函數f(x)的定義域中含有0，則必有f(0)＝0. “f(0)＝0”是“f(x)為奇函數”的既不充分也不必要條件． 7求函數單調區(qū)間時，多個單調區(qū)間之間不能用符號“∪”和“或”連接，可用“及”連接，或用“，”隔開

15、．單調區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替． 8函數圖象的幾種常見變換 (1)平移變換：左右平移——“左加右減”(注意是針對x而言)；上下平移——“上加下減”． (2)翻折變換：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)． (3)對稱變換：①證明函數圖象的對稱性，即證圖象上任意點關于對稱中心(軸)的對稱點仍在圖象上； ②函數y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關于原點成中心對稱； ③函數y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關于直線x＝0(y軸)對稱；函數y＝f(x)與函數y＝－f(x)的圖象關于直線y＝0(x軸)對稱． 9求函數最值(值域)常用的方法 (1)單調性法：

16、適合于已知或能判斷單調性的函數． (2)圖象法：適合于己知或易作出圖象的函數． (3)基本不等式法：特別適合于分式結構或兩元的函數． (4)導數法：適合于可導函數． (5)換元法(特別注意新元的范圍)． (6)分離常數法：適用于一次分式． (7)有界函數法：適用于含有指、對數函數或正、余弦函數的式子．無論用什么方法求最值，都要考查“等號”是否成立，特別是基本不等式法，并且要優(yōu)先考慮定義域． 10二次函數問題 (1)處理二次函數的問題勿忘數形結合．二次函數在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向，二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系． (2)若原題中沒有指出是“二

17、次”方程、函數或不等式，要考慮到二次項系數可能為零的情形． 11有關函數周期的幾種情況必須熟記：(1)f(x)＝f(x＋a)(a>0)，則f(x)的周期T＝a；(2)f(x＋a)＝(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)的周期T＝2a. 12(1)指數運算性質：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)． (2)對數運算性質 已知a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0. 則loga(MN)＝logaM＋logaN， loga＝logaM－logaN， logaMn＝nlogaM， 對數換底公式：logaN＝.

18、 推論：logamNn＝logaN；logab＝. (3)指數函數與對數函數的圖象與性質 可從定義域、值域、單調性、函數值的變化情況考慮，特別注意底數的取值對有關性質的影響，另外，指數函數y＝ax(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(0,1)，對數函數y＝logax的圖象恒過定點(1,0)． 13冪函數y＝xα(α∈R) (1)①若α＝1，則y＝x，圖象是直線． ②當α＝0時，y＝x0＝1(x≠0)圖象是除點(0,1)外的直線． ③當0<α<1時，圖象過(0,0)與(1,1)兩點，在第一象限內是上凸的． ④當α>1時，在第一象限內，圖象是下凸的． (2)增減性：①當α>0時，在區(qū)

19、間(0，＋∞)上，函數y＝xα是增函數；②當α<0時，在區(qū)間(0，＋∞)上，函數y＝xα是減函數． 14函數與方程 (1)對于函數y＝f(x)，使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)的零點．事實上，函數y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數根． (2)如果函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)曲線，且有f(a)f(b)<0，那么函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此時這個c就是方程f(x)＝0的根．反之不成立． 15求導數的方法 (1)基本導數公式：c′＝0(c為常數)；(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；(sinx)

20、′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a；(ln x)′＝；(logax)′＝(a>0且a≠1)． (2)導數的四則運算：(u±v)′＝u′±v′； (uv)′＝u′v＋uv′；′＝(v≠0)． (3)復合函數的導數：yx′＝y(tǒng)u′·ux′. 如求f(ax＋b)的導數，令u＝ax＋b，則 (f(ax＋b))′＝f′(u)·a. 16函數y＝f(x)在點x0處的導數的幾何意義：函數y＝f(x)在點x0處的導數是曲線y＝f(x)在P(x0，f(x0))處的切線的斜率f′(x0)，相應的切線方程是y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． 注意：

21、過某點的切線不一定只有一條． 17利用導數判斷函數的單調性：設函數y＝f(x)在某個區(qū)間內可導，如果f′(x)>0，那么f(x)在該區(qū)間內為增函數；如果f′(x)<0，那么f(x)在該區(qū)間內為減函數；如果在某個區(qū)間內恒有f′(x)＝0，那么f(x)在該區(qū)間內為常函數． 注意：如果已知f(x)為減函數求字母取值范圍，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要驗證f′(x)是否恒等于0.增函數亦如此． 18導數為零的點并不一定是極值點，如：函數f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是極值點． 函數概念不清致誤 　　已知函數f(x2－3)＝lg ，求f(x)的定義域． [錯解]　

22、由>0，得x>2或x<－2. ∴函數f(x)的定義域為{x|x>2或x<－2}． [錯因分析]　錯把lg 的定義域當成了f(x)的定義域． [正解]　由f(x2－3)＝lg ，設x2－3＝t，則x2＝t＋3，因此f(t)＝lg . ∵>0，即x2>4，∴t＋3>4，即t>1. ∴f(x)的定義域為{x|x>1}． [防范措施]　失分的原因是將f(x2－3)的定義域與f(x)的定義域等同起來了．事實上，f(x2－3)＝lg與f(x)是兩個不同的函數，它們有不同的法則和定義域，造成錯誤的原因在于未弄清函數的概念．求函數定義域，首先應弄清函數的特征或解析式，可避免出錯． 補救訓練1　[

23、2016·河南鄭州一模]若函數y＝f(x)的定義域為[0,2]，則函數g(x)＝的定義域是________． 答案　[0,1) 解析　∵0≤2x≤2，∴0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1， ∴0≤x<1，即函數g(x)的定義域是[0,1). 分段函數的意義理解不準確致誤 　　函數f(x)＝在(－∞，＋∞)上單調，則a的取值范圍是________． [錯解1]　若f(x)在R上單調遞減，則有 解得a<－1；若f(x)在R上單調遞增，則有解得a>1. [錯解2]　∵f(x)在R上單調，所以有 解得a≤－. [錯解3]　∵f(x)在R上單調， 所以有解得1

24、分析]　對分段函數的意義理解不準確或情況考慮不全致誤． [正解]　若函數在R上單調遞減，則有 解之得a≤－；若函數在R上單調遞增，則有解得1

25、8時，2ex－8≤3恒成立，故x<8.綜上，x∈(－∞，27]. 忽視函數的定義域致誤 　　函數y＝log (x2－5x＋6)的單調遞增區(qū)間為________． [錯解]　 [錯因分析]　忽略了x2－5x＋6>0，即函數的定義域． [正解]　由x2－5x＋6>0知{x|x>3或x<2}．令u＝x2－5x＋6，則u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是減函數，∴y＝log (x2－5x＋6)的單調增區(qū)間為(－∞，2)． [答案]　(－∞，2) [防范措施]　本題失分的原因就在于忽略了函數的定義域這一隱含條件.在研究函數問題時，不論什么情況，首先研究函數的定義域，這是研究函數

26、的一條最基本原則. 補救訓練3　[2016·遼寧沈陽質檢]已知偶函數f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調遞增，則滿足f(2x－1)

27、切點． [正解]　設P(x0，y0)為切點，則切線的斜率為 y′＝3x－2. ∴切線方程為y－y0＝(3x－2)(x－x0)， 即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)． 又知切線過點(1，－1)，把它代入上述方程，得 －1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)， 整理，得(x0－1)2(2x0＋1)＝0， 解得x0＝1或x0＝－. 故所求切線方程為y－(1－2)＝(3－2)(x－1)， 或y－＝， 即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0. [防范措施]　過曲線上的點(1，－1)的切線與曲線的切點可能是(1，－1)，也可能不是(1，－1).本題錯誤的根本原因就

28、是把(1，－1)當成了切點.解決這類題目時，一定要注意區(qū)分“過點A的切線方程”與“在點A處的切線方程”的不同.雖只有一字之差，意義完全不同，“在”說明這點就是切點，“過”只說明切線過這個點，這個點不一定是切點. 補救訓練4　已知函數f(x)＝aln x－2ax＋b，函數y＝f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程是y＝2x＋1，則a＋b的值是________． 答案?。? 解析　因為f′(x)＝－2a，函數y＝f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線的斜率為2，所以f′(1)＝－a＝2，所以a＝－2，f(x)＝－2ln x＋4x＋b，由切線方程可得f(1)＝3，所以f(1)＝4＋

29、b＝3，可得b＝－1.所以a＋b＝－3. 極值的概念不清致誤 　　已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值為10，則a＋b＝________. [錯解]　由已知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，則 解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3， 故a＋b＝－7或a＋b＝0. [錯因分析]　x＝1是f(x)的極值點?f′(1)＝0； 忽視了“f′(1)＝0x＝1是f(x)的極值點”的情況． [正解]　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1時，函數取得極值10， 得 聯(lián)立①②得或 當a＝4，b＝－11時，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在

30、x＝1兩側的符號相反，符合題意． 當a＝－3，b＝3時，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1兩側的符號相同，所以a＝－3，b＝3不符合題意，舍去． 綜上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7. [答案]?。? [防范措施]　“函數y＝f(x)在x＝x0處的導數值為0”是“函數y＝f(x)在點x＝x0處取極值”的必要條件，而非充分條件，但解題中卻把“可導函數f(x)在x＝x0處取極值”的必要條件誤作充要條件. 對于可導函數f(x)：x0是極值點的充要條件是x0點兩側導數異號，即f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0的左右的符號：“左正右負”?f(x)在x0處取極大值；“左負右正”?f(x

31、)在x0處取極小值，而不僅是f′(x0)＝0.f′(x0)＝0是x0為極值點的必要而不充分條件.對于給出函數極大(小)值的條件，一定要既考慮f′(x0)＝0，又考慮檢驗“左正右負”(“左負右正”)的轉化，否則易產生增根. 補救訓練5　[2016·蘭州質檢]函數f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有極大值又有極小值，則a的取值范圍是________． 答案　(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析　f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，因為f(x)既有極大值又有極小值，所以Δ>0，即36a2－4×3×3(a＋2)>0，解得a>2或a<－1.即a的取值范圍是(－∞，－1)∪(2，＋

32、∞). 函數零點求解討論不全致誤 　　函數f(x)＝mx2－2x＋1有且僅有一個正實數零點，則實數m的取值范圍是(　　) A.(－∞，1] B．(－∞，0]∪{1} C.(－∞，0)∪{1} D．(－∞，1) [錯解]　若Δ＝0，解得m＝1；若Δ>0，則x1·x2＝<0，解得m<0，故選C. [錯因分析]　沒有對m是否為零進行討論． [正解]　當m＝0時，x＝為函數的零點；當m≠0時，若Δ＝0，即m＝1時，x＝1是函數唯一的零點，若Δ≠0，顯然x＝0不是函數的零點，這樣函數有且僅有一個正實數零點等價于方程f(x)＝mx2－2x＋1＝0有一個正根一個負根，即mf(0)<

33、0，即m<0.故選B. [答案]　B [防范措施]　解決此類問題的關鍵是對參數的討論要全面，對函數零點的定理使用要正確，如本題錯解中忽略了對m＝0的討論. 補救訓練6　[2016·東三省聯(lián)考]已知在區(qū)間[－4,4]上f(x)＝g(x)＝－x2－x＋2(－4≤x≤4)，給出下列四個命題： ①函數y＝f[g(x)]有三個零點； ②函數y＝g[f(x)]有三個零點； ③函數y＝f[f(x)]有六個零點； ④函數y＝g[g(x)]有且只有一個零點． 其中正確命題的個數是(　　) A.1 B．2 C.3 D．4 答案　D 解析　如圖，畫出f(x)，g(x)的草圖．

34、 ①設t＝g(x)，則由f[g(x)]＝0，得f(t)＝0，則t＝g(x)有三個不同值，由于y＝g(x)是減函數，所以f[g(x)]＝0有3個解，所以①正確； ②設m＝f(x)，若g[f(x)]＝0，即g(m)＝0，則m＝x0∈(1,2)，所以f(x)＝x0∈(1,2)，由圖象知對應f(x)＝x0∈(1,2)的解有3個，所以②正確； ③設n＝f(x)，若f[f(x)]＝0，即f(n)＝0，n＝x1∈(－3，－2)或n＝0或n＝x2＝2，而f(x)＝x1∈(－3，－2)有1個解，f(x)＝0對應有3個解，f(x)＝x2＝2對應有2個解，所以f[f(x)]＝0共有6個解，所以③正確；

35、④設s＝g(x)，若g[g(x)]＝0，即g(s)＝0，所以s＝x3∈(1,2)，則g(x)＝x3，因為y＝g(x)是減函數，所以方程g(x)＝x3只有1個解，所以④正確. 導數與單調性的關系理解不準致誤 　 函數f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函數，則a的取值范圍是________． [錯解]　由f(x)＝ax3－x2＋x－5得f′(x)＝3ax2－2x＋1，由f′(x)>0，得解得a>. [錯因分析]　f(x)在R上是增函數等價于f′(x)≥0在R上恒成立．漏掉了f′(x)＝0的情況． [正解]　f(x)＝ax3－x2＋x－5的導數f′(x)＝3ax2－2x＋1，由f

36、′(x)≥0，得解得a≥. [答案]　a≥ [防范措施]　f′(x)>0(<0)(x∈(a，b))是f(x)在(a，b)上單調遞增(遞減)的充分不必要條件.實際上，對可導函數f(x)而言，f(x)在(a，b)上為單調增(減)函數的充要條件為：對于任意x∈(a，b)，有f′(x)≥0(≤0)且f′(x)在(a，b)的任何子區(qū)間上都不恒為零.在解題時，若求單調區(qū)間，一般用充分條件即可.若由單調性求參數，一般用充要條件即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，否則容易漏解. 補救訓練7　已知函數f(x)＝x2＋2ax－ln x在區(qū)間上是增函數，則實數a的取值范圍為(　　) A. B. C.

37、 D. 答案　D 解析　因為函數f(x)在區(qū)間上是增函數，所以f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立，易知y＝－x＋在上單調遞減，所以max＝，所以2a≥，解得a≥.選D. 三、三角函數、解三角形、平面向量 1α終邊與θ終邊相同(α的終邊在θ終邊所在的射線上)?α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等． 任意角的三角函數的定義：設α是任意一個角，P(x，y)是α的終邊上的任意一點(異于原點)，它與原點的距離是r＝>0，那么sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)，三角函數值只與角的大小有關，而與終邊上點P的

38、位置無關． 2同角三角函數的基本關系式及誘導公式 (1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商數關系：tanα＝. (3)誘導公式記憶口訣：奇變偶不變、符號看象限 角 －α π－α π＋α 2π－α －α 正弦 －sinα sinα －sinα －sinα cosα 余弦 cosα －cosα －cosα cosα sinα 3三角函數的圖象與性質 (1)五點法作圖； (2)對稱軸：y＝sinx，x＝kπ＋，k∈Z；y＝cosx，x＝kπ，k∈Z； 對稱中心：y＝sinx，(kπ，0)，k∈Z；y＝cosx，，k∈Z；y＝tanx，

39、，k∈Z. (3)單調區(qū)間： y＝sinx的增區(qū)間：(k∈Z)， 減區(qū)間：(k∈Z)； y＝cosx的增區(qū)間：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)， 減區(qū)間：[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)； y＝tanx的增區(qū)間：(k∈Z)． (4)周期性與奇偶性： y＝sinx的最小正周期為2π，為奇函數；y＝cosx的最小正周期為2π，為偶函數；y＝tanx的最小正周期為π，為奇函數． 易錯警示：求y＝Asin(ωx＋φ)的單調區(qū)間時，容易出現(xiàn)以下錯誤： (1)不注意ω的符號，把單調性弄反，或把區(qū)間左右的值弄反； (2)忘掉寫＋2kπ，或＋kπ等，忘掉寫k∈Z； (3)書寫單調區(qū)間

40、時，錯把弧度和角度混在一起．如[0,90°]應寫為. 4兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ. cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ. tan(α±β)＝. sin2α＝2sinαcosα. cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝. 在三角的恒等變形中，注意常見的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝[(α＋β)＋(α－β)]． α＋＝(α＋β)－，α＝－. 5三角變換基本方法：化切為弦、降冪升冪、用三角公式轉化出特殊角、異角化同角、異名化同名． 6解三

41、角形 (1)正弦定理：＝＝＝2R(R為三角形外接圓的半徑)．注意：①正弦定理的一些變式：(ⅰ)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(ⅱ)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(ⅲ)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②已知三角形兩邊及一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解，要結合具體情況進行取舍．在△ABC中A>B?sinA>sinB. (2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝等，常選用余弦定理判定三角形的形狀． 7解三角形的實際應用問題注意區(qū)分俯角和仰角，方位角和方向角的不同． 8數0與零向量有區(qū)別，0的模為數0，它不是沒

42、有方向，而是方向不定.0可以看成與任意向量平行，但與任意向量都不垂直，特別在書寫時要注意，否則有質的不同． 9平面向量的基本概念及線性運算 (1)加、減法的平行四邊形與三角形法則：＋＝；－＝. (2)向量滿足三角形不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. (3)實數λ與向量a的積是一個向量，記為λa，其長度和方向規(guī)定如下： ①|λa|＝|λ||a|；②λ>0，λa與a同向；λ<0，λa與a反向；λ＝0或a＝0，λa＝0. (4)平面向量的兩個重要定理 ①向量共線定理：向量a(a≠0)與b共線當且僅當存在唯一一個實數λ，使b＝λa. ②平面向量基本定理：如果e1，

43、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底． 10向量的平行與垂直 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，則a∥b?b＝λa?x1y2－x2y1＝0. a⊥b(a≠0)?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 0看成與任意向量平行，特別在書寫時要注意，否則有質的不同． 11當a·b＝0時，不一定得到a⊥b，當a⊥b時，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)c與a(b·c)不一定相等，(a·b)c與c平行，而a(b·c)與a平行． 12向量的數

44、量積 |a|2＝a2＝a·a， a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2， cosθ＝＝， a在b上的投影＝|a|cos〈a，b〉＝＝. 注意：〈a，b〉為銳角?a·b>0且a、b不同向； 〈a，b〉為直角?a·b＝0且a、b≠0； 〈a，b〉為鈍角?a·b<0且a、b不反向． 13兩向量夾角的范圍為[0，π]，向量的夾角為銳角與向量的數量積大于0不等價． 14向量a在向量b上的投影|a|cosθ是一個實數，可以是正數，可以是負數，也可以是零． 15幾個向量常用結論 (1)＋＋＝0?P為△ABC的重心； (2)·＝·＝·?P為△ABC的垂心； (3)向量λ(λ

45、≠0)所在直線過△ABC的內心； (4)||＝||＝||?P為△ABC的外心． 忽視角的范圍致誤 　　已知sinα＝，sinβ＝，且α，β為銳角，則α＋β＝________. [錯解]　∵α、β為銳角， ∴cosα＝＝，cosβ＝＝. ∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ＝×＋×＝. 又0<α＋β<π.∴α＋β＝或α＋β＝π. [錯因分析]　錯解中沒有注意到0<α＋β<π，對于正弦值可能會有兩個解，而利用余弦求解，利用正負關系即可判斷． [正解]　因為α，β為銳角， 所以cosα＝＝， cosβ＝＝. 所以cos(α＋β)＝cosαco

46、sβ－sinαsinβ ＝×－×＝. 又因為0<α＋β<π，所以α＋β＝. [答案]　 [防范措施]　對三角函數的求值問題，不僅要看已知條件中角的范圍，還要挖掘隱含條件，根據三角函數值縮小角的范圍；本題中(0，π)中角和余弦值一一對應，最好在求角時選擇計算cos(α＋β)來避免增解. 補救訓練1　[2016·嘉興測試]已知α為鈍角，sin＝，則sin＝________. 答案　－ 解析　cos＝sin＝?cos－α＝，因為α為鈍角，即<α<π?－<－α<－，所以sin<0， 則sin＝－＝－. 三角函數圖象平移致誤 　函數y＝3sin的圖象可由函數y＝3sin2x的圖象

47、(　　) A.向左平移個單位長度得到 B.向右平移個單位長度得到 C.向左平移個單位長度得到 D.向右平移個單位長度得到 [錯解]　A [錯因分析]　在三角函數圖象變換時，對于先進行伸縮變換再進行平移變換的平移量搞錯． [正解]　y＝3sin＝3sin， ∴只需將y＝3sin2x的x換成x＋即可． ∴y＝3sin2x的圖象向左平移個單位長度， 得到y(tǒng)＝3sin的圖象． [答案]　C [防范措施]　三角函數圖象變換時，由f(x)→f(x±a)(a>0)是左加右減，即x＋a是f(x)向左平移a個單位，x－a是f(x)向右平移a個單位．我們所說的平移多少是對x說的，即“對x說

48、話”．解決此類問題的辦法一般是先平移后伸縮．在平移時，如x有系數ω，則先寫成ω(x＋φ)的形式． 補救訓練2　將函數h(x)＝2sin的圖象向右平移個單位，再向上平移2個單位，得到函數f(x)的圖象，則函數f(x)的圖象與函數h(x)的圖象(　　) A.關于直線x＝0對稱 B.關于直線x＝1對稱 C.關于(1,0)點對稱 D.關于(0,1)點對稱 答案　D 解析　依題意，將h(x)＝2sin的圖象向右平移個單位，再向上平移2個單位后得y＝2sin2x－＋＋2，即f(x)＝2sin＋2的圖象，又∵h(－x)＋f(x)＝2，∴函數f(x)的圖象與函數h(x)的圖象關于點(0,1)對稱

49、. 三角函數的單調性判斷致誤 　函數y＝sin的單調區(qū)間是________． [錯解]　函數y＝sin的單調遞增區(qū)間為2kπ－≤－x≤2kπ＋，解得3kπ＋≤x≤3kπ＋π；單調遞減區(qū)間為2kπ＋≤－≤2kπ＋，解得3kπ－π≤x≤3kπ－，其中k∈Z. [錯因分析]　受思維定勢，按函數y＝sin的單調區(qū)間的判斷方法求解． [正解]　原函數變形為y＝－sin，令u＝－，則只需求y＝sinu的單調區(qū)間即可，所以y＝sinu在2kπ－≤－≤2kπ＋(k∈Z)，即3kπ－≤x≤3kπ＋(k∈Z)上單調遞增；y＝sinu在2kπ＋≤－≤2kπ＋(k∈Z)，即3kπ＋≤x≤3kπ＋π(k∈

50、Z)上單調遞減． 故y＝sin＝－sinu的單調遞減區(qū)間為(k∈Z)，單調遞增區(qū)間為，(k∈Z)． [答案]　單調增區(qū)間為(k∈Z)，單調減區(qū)間為(k∈Z) [防范措施]　當題目涉及f(x)＝Asin(ωx＋φ)的性質時，要將ωx＋φ視為整體，再與y＝sinx的相關性質對應，同時注意ω與零的大小. 補救訓練3　[2016·?？谡{研]已知函數f(x)＝sin2(ωx)－(ω>0)的最小正周期為，若將其圖象沿x軸向右平移a個單位(a>0)，所得圖象關于原點對稱，則實數a的最小值為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　依題意得f(x)＝－＝－cos2ωx，最小正周期

51、T＝＝，ω＝2，f(x)＝－cos4x，將f(x)＝－cos4x的圖象向右平移a個單位后得到的是函數g(x)＝－cos[4(x－a)]的圖象. 又函數g(x)的圖象關于原點對稱，因此有g(0)＝－cos4a＝0,4a＝kπ＋，k∈Z，即a＝＋，k∈Z，因此正實數a的最小值是，選D. 解三角形多解、漏解致誤 　　在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c且a＝1，c＝. (1)若C＝，求A； (2)若A＝，求b. [錯解]　(1)在△ABC中，＝， ∴sinA＝＝，∴A＝或. (2)由＝，得sinC＝＝. ∴C＝，由C＝知B＝， ∴b＝＝2. [錯因分析]　在用正

52、弦定理解三角形時，易出現(xiàn)丟解或多解的錯誤，如第(1)問中沒有考慮c邊比a邊大，在求得sinA＝＝后，得出角A＝或；在第(2)問中又因為沒有考慮角C有兩解，由sinC＝＝，只得出角C＝，所以角B＝，解得b＝2.這樣就出現(xiàn)丟解的錯誤． [正解]　(1)由正弦定理得＝， 即sinA＝＝. 又a

53、時，還應判斷各角之和與180°的關系；二是兩邊的大小關系. 補救訓練4　[2016·鄭州質檢]在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足cos2C－cos2A＝2sinsin. (1)求角A的值； (2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范圍． 解　(1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2， 化簡得sinA＝，故A＝或. (2)由正弦定理＝＝＝2，得b＝2sinB，c＝2sinC， 故2b－c＝4sinB－2sinC＝4sinB－2sin＝ 3sinB－cosB＝2sin. 因為b≥a，所以≤B<，≤B－<. 所以2b－c＝2sin∈[，2). 向量

54、夾角定義不明致誤 　已知等邊△ABC的邊長為1，則·＋·＋·＝________. [錯解]　∵△ABC為等邊三角形，∴||＝||＝||＝1，向量、、間的夾角均為60°. ∴·＝·＝·＝. ∴·＋·＋·＝. [錯因分析]　數量積的定義a·b＝|a|·|b|·cosθ，這里θ是a與b的夾角，本題中與夾角不是∠C.兩向量的夾角應為平面上同一起點表示向量的兩條有向線段間的夾角，如圖與的夾角應是∠ACD. [正解]　如圖與的夾角應是∠ACB的補角∠ACD， 即180°－∠ACB＝120°. 又||＝||＝||＝1， 所以·＝||||cos120°＝－.同理得·＝·＝－. 故·＋·

55、＋·＝－. [答案]?。? [防范措施]　在判斷兩向量的夾角時，要注意把兩向量平移到共起點，這樣才不至于判斷錯誤.平面向量與三角函數的結合，主要是指題設條件設置在向量背景下，一旦脫去向量的“外衣”，實質變成純三角問題. 補救訓練5　[2016·南昌一模]已知△ABC中，AB＝AC，BC＝4，∠BAC＝90°，＝3，若P是BC邊上的動點，則·的取值范圍是________． 答案　[2,6] 解析　因為AB＝AC，BC＝4，∠BAC＝90°，所以∠ABC＝45°，AB＝2.又因為＝3，所以＝，設＝t，則0≤t≤1，＝＋＝＋t，＝＋＝＋，所以·＝(＋t)·＝2＋t·＋·＋t2＝8＋t×4×2

56、cos135°＋×4×2cos135°＋t×42＝2＋4t.因為0≤t≤1，所以2≤2＋4t≤6，即·的取值范圍是[2,6]. 忽略向量共線致誤 　已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a與b的夾角為θ.若θ為銳角，則λ的取值范圍是________． 　　[錯解]　∵cosθ＝＝， 因θ為銳角，有cosθ>0，∴>0?2λ＋1>0， 得λ>－，λ的取值范圍是. [錯因分析]　當向量a，b同向時，θ＝0，cosθ＝1滿足cosθ>0，但不是銳角． [正解]　因θ為銳角，有0

57、 [防范措施]　在解決兩向量夾角問題時，一般地，向量a，b為非零向量，a與b的夾角為θ，則：①θ為銳角?a·b>0且a，b不同向；②θ為直角?a·b＝0；③θ為鈍角?a·b<0且a，b不反向. 補救訓練6　設兩個向量e1，e2，滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1與e2的夾角為.若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，求實數t的范圍． 解　∵2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角， ∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0 且2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ<0)． 由(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0得2t2＋15t＋7<0， ∴－7

58、 若2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ<0)，∴(2t－λ)e1＋(7－tλ)e2＝0. ∴即t＝－. ∴t的取值范圍為－7

59、 (3)等差數列的前n項和：Sn＝，Sn＝na1＋d. (4)等差中項：若a，A，b成等差數列，則A叫做a與b的等差中項，且A＝. 3等差數列的性質 (1)當公差d≠0時，等差數列的通項公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是關于n的一次函數，且斜率為公差d；前n項和Sn＝na1＋d＝n2＋n是關于n的二次函數且常數項為0. (2)若公差d>0，則為遞增等差數列；若公差d<0，則為遞減等差數列；若公差d＝0，則為常數列． (3)當m＋n＝p＋q時，則有am＋an＝ap＋aq，特別地，當m＋n＝2p時，則有am＋an＝2ap. 4等比數列的有關概念 (1)等比數列的判斷方法：

60、定義法＝q(q為常數)，其中q≠0，an≠0或＝(n≥2)． (2)等比數列的通項：an＝a1qn－1或an＝amqn－m. (3)等比數列的前n項和：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝＝. 易錯警示：由于等比數列前n項和公式有兩種形式，為此在求等比數列前n項和時，首先要判斷公比q是否為1，再由q的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比q是否為1時，要分q＝1和q≠1兩種情形討論求解． (4)等比中項：若a，A，b成等比數列，那么A叫做a與b的等比中項．值得注意的是，不是任何兩數都有等比中項，只有同號兩數才存在等比中項，且有兩個，即為±. 5等比數列的性質 當m＋n＝p＋

61、q時，則有am·an＝ap·aq，特別地，當m＋n＝2p時，則有am·an＝a. 6數列求和的方法 (1)公式法：等差數列、等比數列求和公式；(2)分組求和法；(3)倒序相加法；(4)錯位相減法；(5)裂項相消法． 如：＝－；＝. 7在求不等式的解集、定義域及值域時，其結果一定要用集合或區(qū)間表示，不能直接用不等式表示． 8不等式兩端同時乘以一個數或同時除以一個數，不討論這個數的正負，從而出錯． 9兩個不等式相乘時，必須注意同向同正時才能進行． 10含參數不等式求解的通法是“定義域是前提，函數增減性是基礎，分類討論是關鍵”．注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是……”．注

62、意：按參數討論，最后應按參數取值分別說明其解集；但若按未知數討論，最后應求并集． 11利用基本不等式a＋b≥2以及變式ab≤2等求函數的最值時，務必注意a，b∈R＋(或a，b非負)，ab或a＋b應是定值，特別要注意等號成立的條件． 12解線性規(guī)劃問題，要注意邊界的虛實；注意目標函數中y的系數的正負；注意最優(yōu)整數解． 數列an與Sn的關系不清致誤 　　已知數列{an}的前n項之和為Sn＝n2＋n＋1，則數列{an}的通項公式為________． [錯解]　an＝2n [錯因分析]　若an＝2n，則a1＝2，事實上a1＝S1＝3. [正解]　當n＝1時，a1＝S1＝3； 當n≥

63、2時，an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n， ∴an＝ [答案]　an＝ [防范措施]　本題的失分原因是沒有注意到an＝Sn－Sn－1是在n≥2的條件下才能成立．這是由于對數列概念理解不透徹所致．在解關于由Sn求an的題目時，按兩步進行討論，可避免出錯．①當n＝1時，a1＝S1；②當n≥2時，an＝Sn－Sn－1.檢驗a1是否適合由②求得的解析式，若符合，則統(tǒng)一，若不符合，則用分段函數： an＝來表達． 補救訓練1　已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝. (1)求證：是等差數列； (2)求數列{an}的通

64、項公式． 解　(1)證明：由an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)， 得Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0， 所以－＝2(n≥2，n∈N*)，故是等差數列． (2)由(1)知，＝2n，故Sn＝，an＝Sn－Sn－1＝－＝－(n≥2，n∈N*)， 所以an＝ 忽視等比數列中q的分類討論致誤 　　設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S3＋S6＝S9，則數列的公比q是________． [錯解]　由S3＋S6＝S9得 ＋＝ ∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q6－1)(q3－1)＝0 ∵q≠1，∴q6＝1，q＝－1. [錯因分析]　當q＝1時，符合要求．很多考生在做

65、本題時都想當然地認為q≠1. [正解]?、佼攓＝1時，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1， ∴S3＋S6＝S9成立． ②當q≠1時，由S3＋S6＝S9， 得＋＝. ∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0. ∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1. [答案]　1或－1 [防范措施]　在表示等比數列{an}的前n項和時，考生只想到Sn＝，把q＝1的情況不自覺地排除在外，這是對前n項和公式理解不透徹所致．解等比數列的問題，一定要注意對公比的分類討論，這是防止出錯的一個很好方法． 補救訓練2　[2016·湖北八校聯(lián)考]在等比數列{an}中，a3＝，S3＝.

66、 (1)求數列{an}的通項公式； (2)設bn＝log2，且{bn}為遞增數列，若cn＝，求證：c1＋c2＋c3＋…＋cn<. 解　(1)設等比數列{an}的公比為q， 則由題意得S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋＝， 解得q＝1或q＝－， 當q＝1時，an＝； 當q≠1時，a1＝＝6，∴an＝6·n－1. (2)證明：∵{bn}為遞增數列，∴an＝6·n－1， ∴a2n＋1＝6·n，∴bn＝2n， ∴cn＝＝＝， ∴c1＋c2＋c3＋…＋cn＝<. 數列求最值忽略n的限制條件致誤 　　已知數列{an}的通項公式為an＝(n＋2)·n(n∈N*)，則數列{an}的最大項是(　　) A．第6項或第7項 B．第7項或第8項 C．第8項或第9項 D．第7項 [錯解]　因為an＋1－an＝(n＋3)n＋1－(n＋2)·n＝n·，當n<7時，an＋1－an>0，即an＋1>an；當n＝7時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an，當n>7時，an＋1－an<0，即an＋1