1.2.1 函數的概念
【雙向目標】
課程目標
學科素養(yǎng)
A.了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域；了解映射的概念．
B.在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數．
C.了解簡單的分段函數，并能簡單應用(函數分段不超過三段)．
a數學抽象：數學集合概念的理解、描述法表示集合的方法
b邏輯推理：集合的互異性的辨析與應用
c數學運算：集合相等時的參數計算，集合的描述法轉化為列舉法時的運算
d 直觀想象：利用數軸表示數集、集合的圖形表示
e 數學建模：用集合思想對實際生活中的對象進行判斷與歸類
【課標知識】
知識提煉
基礎過關
知識1：函數的概念
一般地，設A，B是兩個非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值,其集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．
知識2:函數的表示方法
(1)解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系的方法．
(2)圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系的方法．
(3)列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系的方法．
知識3：構成函數的三要素
(1)函數的三要素是：定義域、對應關系、值域；
(2)兩個函數相等：如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，則稱這兩個函數相等．
知識4：分段函數
若函數在定義域的不同子集上的對應關系也不同，這種形式的函數叫做分段函數，它是一類重要的函數．
知識5：映射的概念
一般地，設A，B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射．
知識6：復合函數
一般地，對于兩個函數y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數，記作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做復合函數y＝f(g(x))的外層函數，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的內層函數．
1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”)
(1)對于函數f：A→B，其值域是集合B.( )
(2)函數y＝()2與y＝是同一個函數．( )
(3)定義域與值域均相同的兩個函數是相等函數．( )
(4)分段函數不是一個函數，而是多個函數．( )
(5)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其對應是從A到B的映射．( )
2.函數f(x)＝ln＋x的定義域為 ( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0，1) D．(0，1)∪(1，＋∞)
3.設f(x)＝則f(f(－2))等于( )
A．－1 B.
C.D.
4.(2015全國卷Ⅱ)設函數
f(x)＝
則f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
5.(2015全國卷Ⅱ)已知函數f(x)＝ax3－2x的圖象過點(－1，4)，則a＝________.
6.設函數f(x)＝x3＋3x2＋1.已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，
則實數a＝________，b＝________.
基礎過關參考答案：
1. 【解析】 (1)錯誤．值域是集合B的子集．
【答案】B
3.【解析】因為－2<0，所以f(－2)＝2－2＝>0，所以f(f(－2))＝f＝1－＝1－＝.
故選C.
【答案】C
4.【解析】解：由條件得f(－2)＝1＋log24＝3，因為log212>1，所以f(log212)＝2(log212)－1＝2log26＝6，故f(－2)＋f(log212)＝9.故選C.
【答案】C
5.【解析】由題意知點(－1，4)在函數f(x)＝ax3－2x的圖象上，所以4＝－a＋2，則a＝－2.故填－2.
【答案】－2．
6.【解析】因為f(x)－f(a)＝x3＋3x2－a3－3a2，(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2)＝
x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b，
所以
解得a＝－2，b＝1.
【答案】－2；1.
【能力素養(yǎng)】
探究一 求函數的定義域
函數定義域即自變量的取值范圍，是研究函數的首要考慮因素。
例1．函數f(x)＝＋lg的定義域為( )
A．(2，3) B．(2，4]
C．(2，3)∪(3，4] D．(－1，3)∪(3，6]
【分析】確定函數的定義域首先根據所給的函數解析式特點（即包含的運算）來建立不等式，求解；
【答案】 C
【點評】求函數定義域的原則：用列表法表示的函數的定義域，是指表格中實數x的集合；用圖象法表示的函數的定義域，是指圖象在x軸上的投影所對應的實數的集合；當函數y＝f(x)用解析法表示時，函數的定義域是指使解析式有意義的實數x的集合，一般通過列不等式(組)求其解集．常見的條件有：分式的分母不等于0，對數的真數大于0，偶次根式下的被開方數大于或等于0等．若已知函數y＝f(x)的定義域為[a，b]，則函數y＝f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出．
【變式訓練】
1．函數f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定義域是( )
A．[－3,1] B．(－3,1)
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【解析】 要使函數有意義，只需x2＋2x－3>0，即(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1.故函數的定義域為(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
【答案】 D
2.若函數f(x)＝的定義域為R，則a的取值范圍為________．
【解析】因為函數f(x)的定義域為R，所以2x2+2ax - a－1≥0對x∈R恒成立，則x2＋2ax－a≥0恒成立．
因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.故填[－1，0]．
【答案】[－1，0]
3.若函數y＝f(x)的定義域是[1，2 019]，則函數g(x)＝的定義域是________．
【解析】因為y＝f(x)的定義域為[1，2 019]，所以g(x)有意義，應滿足
所以0≤x≤2 018，且x≠1.因此g(x)的定義域為{x|0≤x≤2 018，且x≠1}．故填{x|0≤x≤2 018，且x≠1}．
【答案】{x|0≤x≤2 018，且x≠1}．
探究二 求函數的值域
求函數的值域是個較復雜的問題，它比求函數的定義域難度要大，而單調性法，即根據函數在定義域內的單調性求函數的值域是較為簡單且常用的方法，應重點掌握．
例2：求下列函數的值域：
(1)y＝； (2)y＝2x＋； (3)y＝2x＋；
(4)y＝； (5)若x，y滿足3x2＋2y2＝6x，求函數z＝x2＋y2的值域；
(6)f(x)＝－.
(2)(代數換元法) 令t＝(t≥0)，所以x＝1－t2，
所以y＝2(1－t2)＋t＝－2t2＋t＋2＝－2＋.
因為t≥0，所以y≤，故函數的值域為.
(3)(三角換元法) 令x＝cost(0≤t≤π)，所以y＝2cost＋sint＝sin(t＋φ).
因為0≤t≤π，所以φ≤t＋φ≤π＋φ，所以sin(π＋φ)≤sin(t＋φ)≤1,故函數的值域為[－2，]．
(4)解法一：(不等式法) 因為y＝＝＝(x－1)＋，
又因為x＞1時，x－1＞0，x＜1時，x－1＜0，
所以當x>1時，y＝(x－1)＋≥2＝4，且當x＝3，等號成立；
當x<1時，y＝－≤－4，且當x＝－1，等號成立．
所以函數的值域為(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
解法二：(判別式法) 因為y＝，所以x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0，
所以當x＝0時，z有最小值0，當x＝2時，z有最大值4，
故所求函數的值域為[0，4]．
(6)(圖象法) f(x)＝
作出其圖象，可知函數f(x)的值域是.
【點評】求函數值域的常用方法：①單調性法，如(5)；②配方法，如(2)；③分離常數法，如(1)；④數形結合法；⑤換元法(包括代數換元與三角換元)，如(2)，(3)；⑥判別式法，如(4)；⑦不等式法，如(4)，(5)；⑧導數法，主要是針對在某區(qū)間內可導的函數；⑨圖象法，求分段函數的值域通常先作出函數的圖象，然后由函數的圖象寫出函數的值域，如(6)；對于二元函數的值域問題，如(5)，其解法要針對具體題目的條件而定，有些題目可以將二元函數化為一元函數求值域，有些題目也可用不等式法求值域．
【變式訓練】
1.函數y＝的值域為________．
【解析】y＝＝＝1－，因為≠0，且可取除0外的一切實數，所以1－≠1，
且可取除1外的一切實數．故函數的值域是{y|y∈R且y≠1}．故填{y|y∈R且y≠1}．
【答案】{y|y∈R且y≠1}
2.函數f(x)＝x＋的值域為________．
【解析】(代數換元法)函數的定義域為，
令t＝(t≥0)，則x＝.
所以y＝＋t＝－(t－1)2＋1(t≥0)，
故當t＝1(即x＝0)時，y有最大值1，故函數f(x)的值域為(－∞，1]．故填(－∞，1]．
【答案】(－∞，1]．
3.函數y＝的值域是________．
【答案】[1，5]．
探究三 求函數解析式
求函數解析式是根據條件求解函數的對應關系，方法眾多，技巧性強，體現較強的方程思想。
例3：(1)已知f＝lg x，則f(x)＝________.
(2)已知函數f(x)是二次函數，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，則f(x)＝________.
(3)已知函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f(x)＝2f－1，則f(x)＝________.
【解析】 (1)令＋1＝t，得x＝，代入得f(t)＝lg ，又x>0，所以t>1.
(3)在f(x)＝2f－1中，用代替x，得f＝2f(x)－1，
由得f(x)＝＋.
【答案】 (1)lg(x>1) (2)x2＋x(x∈R) (3)＋
【點評】求函數解析式的四種常見方法
1．待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)，可用待定系數法．
2．換元法：已知復合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍．
3．配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的
解析式．
4.消去法：已知f(x)與f或f(－x)之間的關系式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．
【變式訓練】
1．已知f(＋1)＝x＋2，則f(x)＝________.
【解析】(換元法)令＋1＝t，則x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
所以f(x)＝x2－1(x≥1)．故填x2－1(x≥1)．
【答案】x2－1(x≥1)
2.已知f(x)是一次函數，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(x)＝________.
【解析】(待定系數法)設f(x)＝ax＋b(a≠0)，則3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋5a＋b，所以ax＋5a＋b＝2x＋17對任意實數x都成立，所以 解得 所以f(x)＝2x＋7.故填2x＋7.
【答案】2x＋7.
3.已知f＝x2＋，則f(x)＝________.
【解析】(配湊法)f＝x2＋＝－2＝－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2)．
故填x2－2(|x|≥2)．
【答案】x2－2(|x|≥2)．
4．已知f(x)滿足2f(x)＋f＝3x，則f(x)＝________.
【解析】 以代替x得2f＋f(x)＝，由得f(x)＝2x－(x≠0)．
【答案】 2x－(x≠0)
探究四 分段函數
分段函數是高考的熱點，考查方向主要是：（1）．根據分段函數的解析式求函數值；（2）．已知函數值(或函數值的范圍)求自變量的值(或范圍)。
例4：（1）(2015全國卷Ⅱ)設函數f(x)＝則f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
【答案】 C
（2）設函數f(x)＝若f＝4，則b＝( )
A．1 B.
C. D.
【解析】 f＝3－b＝－b，若－b<1，即b>，則3－b＝－4b＝4，解得b＝，
不符合題意，舍去；若－b≥1，即b≤，則2－b＝4，解得b＝.
【答案】 D
【點評】(1)求分段函數的函數值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現形如f(f(x0))的求值問題時，應從內到外依次求值．(2)求某條件下自變量的值，先假設所求的值在分段函數定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍．
【變式訓練】
1.設f(x)＝則f(f(－2))＝( )
A．－1 B. C. D.
【解析】 因為－2<0，所以f(－2)＝2－2＝>0，所以f＝1－＝1－＝.
【答案】 C
2．設函數f(x)＝若f(f(a))＝2，則a＝________.
【解析】 若a＞0，則f(a)＝－a2＜0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝.
若a≤0，則f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1＞0，f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程無解．
【答案】
3．(2014全國卷Ⅰ)設函數f(x)＝則使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是________．
【答案】 (－∞，8]
4．設函數f(x)＝若f(f(a))≤2，則實數a的取值范圍是________．
【解析】 f(x)的圖象如圖，由圖象知，滿足f(f(a))≤2時，得f(a)≥－2，而滿足f(a)≥－2時，得a≤.
【答案】 (－∞，]
【課時作業(yè)】
課標 素養(yǎng)
數學
抽象
邏輯
推理
數學
運算
直觀
想象
數學
建模
數據
分析
A
2,6
1,2,3,4,
2,4
3
B
7,8,9,10
5,6,7,8
5,6,7,8,13
10,
9,13
C
11,14,15,
16
10,12,14,
15,16
10,11,12,14,
15,16
一、選擇題
1．(2016全國卷Ⅱ)下列函數中，其定義域和值域分別與函數y＝10lgx的定義域和值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lgx C．y＝2x D．y＝
【解析】函數y＝10lgx的定義域、值域均為(0，＋∞)，而y＝x，y＝2x的定義域均為R，排除A，C；y＝lgx的值域為R，排除B.故選D.
【答案】D
2．有以下判斷：
①f(x)＝與g(x)＝表示同一函數； ②函數y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點最多有1個；
③f(x)＝x2－2x＋1與g(t)＝t2－2t＋1是同一函數； ④若f(x)＝|x－1|－|x|，則f＝0.
其中正確的有( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
系均相同，所以是同一函數，③正確；對于④，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1，④錯誤．
綜上可知，正確的判斷是②③.故選B.
【答案】B
3．設M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函數y＝f(x)的定義域為M，值域為N，則y＝f(x)的圖象可以是( )
【解析】A項定義域為[－2，0]，D項值域不是[0，2]，C項對定義域中除2以外的任一x均有兩個y與之對應，故A，C，D均不符合條件．故選B.
【答案】B
4．函數y＝的定義域為( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
【解析】 由題意知即故C正確．
【答案】 C
5．設全集為R，函數f(x)＝ln 的定義域為M，則?RM＝( )
A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,1]
【答案】 C
6．已知函數f(x)＝－x＋log2＋1，則f＋f的值為( )
A．2 B．－2 C．0 D．2log2
【解析】 f＝＋log2，f＝＋log23，所以f＋f＝2.
【答案】 A
7．已知函數f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，則實數a的值等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【解析】 因為f(1)＝21＝2，且f(a)＋f(1)＝0，所以f(a)＝－2.因為x>0時，f(x)>1，
所以a≤0，所以f(a)＝a＋1＝－2，解得a＝－3.
【答案】 A
8.已知函數f(x)＝ 若f(a)＝5，則a的取值集合為( )
A．{－2，3，5} B．{－2，3} C．{－2，5} D．{3，5}
【解析】令3＋log2(a－1)＝5，得a＝5，令a2－a－1＝5，得a＝3(舍)或a＝－2，故a∈{－2，5}．或由f(－2)＝(－2)2－(－2)－1＝5，f(3)＝3＋log22＝4，f(5)＝3＋log24＝5，所以排除A，B，D.故選C.
【答案】 C
9．根據統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)＝(A，c為常數)．已知該工人組裝第4件產品用時30分鐘，組裝第A件產品用時15分鐘，那么c和A的值分別是( )
A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16
【解析】 因為組裝第A件產品用時15分鐘，所以＝15， ① 所以必有4
0時，由題意得－(x－1)2≥－1，解得0
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