（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題3 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第24練 高考大題突破練—導(dǎo)數(shù)與方程練習(xí)（含解析）.docx

第24練 高考大題突破練導(dǎo)數(shù)與方程基礎(chǔ)保分練1.已知函數(shù)f(x)lnxexaa(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)當(dāng)a0時(shí)，求證：f(x)<2.(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.2.(2019蕭山中學(xué)模擬)設(shè)函數(shù)f(x)x2aln(x2)，g(x)xex，且f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，其中x1<x2.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求g(x1x2)的最小值；(3)證明不等式：f(x1)x2>0.3.(2019紹興一中模擬)已知函數(shù)f(x)x22lnx2ax(aR).(1)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；(2)當(dāng)x(1，)時(shí)，試討論關(guān)于x的方程f(x)ax20實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).能力提升練4.(2019浙江省學(xué)軍中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)exax22ax1.(1)當(dāng)a時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)，討論g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；若存在零點(diǎn)，請(qǐng)求出所有的零點(diǎn)或給出每個(gè)零點(diǎn)所在的有窮區(qū)間，并說明理由.(注：有窮區(qū)間指區(qū)間的端點(diǎn)不含有和的區(qū)間)答案精析基礎(chǔ)保分練1.(1)證明當(dāng)a0時(shí)，f(x)lnxex，f(x)ex(x>0)，則f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，又f2e>0，f(1)1e<0，所以存在x0，使得f(x0)0，即，兩邊取對(duì)數(shù)得x0lnx0，當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(x0，)時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.所以f(x)maxf(x0)lnx0x0<2.原不等式得證.(2)解f(x)exa，故原問題等價(jià)于f(x)在(0，)上有唯一極大值點(diǎn)x1，且f(x1)>0，因?yàn)閒(x1)0ex1aln x1x1a，得ax1ln x1，故f(x1)2ln x1x1，令h(x)2ln xx，h(1)0，因?yàn)閔(x)1>0，所以當(dāng)x>1時(shí)，h(x)>0，則x1>1，又因?yàn)閥xln x在(0，)上單調(diào)遞增，由x1>1，得ax1ln x1>1.綜上，a>1.2.(1)解由題意知f(x)2x(x>2)，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，其中x1<x2.關(guān)于x的方程2x0，即2x24xa0在(2，)上有兩個(gè)不等實(shí)根.令S(x)2x24x(x>2)，T(x)a，由圖象知當(dāng)函數(shù)S(x)與T(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，2<a<0，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,0).(2)解由(1)知x1x2x1(2x1)2x12，2<x1x2<0，由g(x)xex得g(x)(x1)ex，當(dāng)x(2，1)時(shí)，g(x)<0，即g(x)在(2，1)上單調(diào)遞減.當(dāng)x(1,0)時(shí)，g(x)>0，即g(x)在(1,0)上單調(diào)遞增.g(x1x2)ming(1).(3)證明由(1)知x22(x22)ln(x2)4，令x2x，則0<x<1，且x2(x2)ln x4，令F(x)x2(x2)ln x4(0<x<1)，F(xiàn)(x)12ln x2ln x1(0<x<1)，令G(x)2ln x1(0<x<1)，則G(x)，0<x<1，G(x)<0，G(x)在(0,1)上是減函數(shù)，即F(x)在(0,1)上是減函數(shù)，F(xiàn)(x)>F(1)1>0，F(xiàn)(x)在(0,1)上是增函數(shù)，F(xiàn)(x)<F(1)1，即<1，即f(x1)x2>0.3.解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，當(dāng)a0時(shí)，f(x)x22ln x，f(x)2x0，解得x1或x1(舍去)，所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)的極小值為f(1)1，無極大值.(2)設(shè)F(x)f(x)ax2(a1)x22ax2ln x，F(xiàn)(x)2(a1)x2a.當(dāng)a10，即a1時(shí)，F(xiàn)(x)2x2ln x，F(xiàn)(x)>0(x(1，)，故函數(shù)F(x)在(1，)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)>F(1)2>0，所以方程f(x)ax20在(1，)上無實(shí)根.當(dāng)a1>0，即a>1時(shí)，令F(x)0，解得x1或x(舍去)，對(duì)任意x(1，)，都有F(x)>0，故函數(shù)F(x)在(1，)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)>F(1)1a；當(dāng)1a0，即1<a1時(shí)，F(xiàn)(1)0，所以函數(shù)F(x)>0，該函數(shù)無零點(diǎn)，即方程無實(shí)根；當(dāng)1a<0，即a>1時(shí)，F(xiàn)(1)1a<0，F(xiàn)(e)(a1)e22ae2a(e22e)e22>0，此時(shí)函數(shù)F(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程有且只有一個(gè)實(shí)根.當(dāng)a1<0，即a<1時(shí)，令F(x)0，解得x1或x.若1，即a2，則函數(shù)F(x)在(1，)上單調(diào)遞減，此時(shí)F(x)<F(1)1a>0.令g(x)(a1)x22ax，則F(x)g(x)2ln x，且函數(shù)g(x)的零點(diǎn)分別為x10，x2，因?yàn)閍2，所以x2>1.故F(x2)g(x2)2ln x22ln x2<0，所以函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，即原方程有一個(gè)實(shí)根，若1<，即2<a<1，則函數(shù)F(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因?yàn)镕(1)1a>0，所以F(x)在上沒有零點(diǎn)，方程無解.因?yàn)楫?dāng)2<a<1時(shí)，>0，所以x2>>1，所以F>F(1)1a>0，F(xiàn)(x2)g(x2)2ln x22ln x2<0，所以函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程有且只有一個(gè)實(shí)根.綜上，當(dāng)1a1時(shí)，方程無實(shí)根，當(dāng)a>1或a<1時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)根.能力提升練4.解(1)當(dāng)a時(shí)，f(x)exx1，易知f(x)在R上單調(diào)遞增，且f(0)0，因此，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，故f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增.(2)由條件可得g(x)ex2ax2a，g(x)ex2a.(i)當(dāng)a0時(shí)，g(x)ex>0，g(x)無零點(diǎn).(ii)當(dāng)a>0時(shí)，g(x)>0，g(x)在R上單調(diào)遞增，g(0)12a，g(1)e>0.若12a<0，即a>時(shí)，g(0)12a<0，g(x)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn)；若12a0，即a時(shí)，g(0)0，g(x)有一個(gè)零點(diǎn)x0；若12a>0，即0<a<時(shí)，ge1<0，g(x)在上有一個(gè)零點(diǎn).(iii)當(dāng)a<0時(shí)，令g(x)>0，得x>ln(2a)；令g(x)<0，得x<ln(2a)，所以g(x)在(，ln(2a)上單調(diào)遞減，在(ln(2a)，)上單調(diào)遞增，g(x)ming(ln(2a)2aln(2a)2.若ln(2a)2<0，即<a<0時(shí)，g(x)>0，g(x)無零點(diǎn)；若ln(2a)20，即a時(shí)，g(2)0，g(x)有一個(gè)零點(diǎn)x2；若ln(2a)2>0，即a<時(shí)，g(1)e>0，g(ln(2a)<0，g(x)在(1，ln(2a)上有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)h(x)exx2(x1)，則h(x)ex2x，設(shè)u(x)ex2x，則u(x)ex2，當(dāng)x1時(shí)，u(x)ex2e2>0，所以u(píng)(x)h(x)在1，)上單調(diào)遞增，h(x)h(1)e2>0，所以h(x)在1，)上單調(diào)遞增，h(x)h(1)e1>0，即x>1時(shí)，ex>x2，故g(x)>x22ax2a.設(shè)k(x)lnxx(x1)，則k(x)10，所以k(x)在1，)上單調(diào)遞減，k(x)k(1)1<0，即x>1時(shí)，lnx<x.因?yàn)閍<時(shí)，2a>e2>1，所以ln(2a)<2a，又g(2a)>(2a)22a(2a)2a2a>0，g(x)在(ln(2a)，2a)上有一個(gè)零點(diǎn)，故g(x)有兩個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)a<時(shí)，g(x)在(1，ln(2a)和(ln(2a)，2a)上各有一個(gè)零點(diǎn)，共有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a時(shí)，g(x)有一個(gè)零點(diǎn)x2；當(dāng)<a0時(shí)，g(x)無零點(diǎn)；當(dāng)0<a<時(shí)，g(x)在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a時(shí)，g(x)有一個(gè)零點(diǎn)x0；當(dāng)a>時(shí)，g(x)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn).