2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何與空間向量 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法 第二課時練習(xí) 理 新人教A版.doc

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第七章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法 第二課時 [基礎(chǔ)訓(xùn)練組] 1．(導(dǎo)學(xué)號14577717)已知四棱錐S－ABCD的底面為平行四邊形，SD⊥底面ABCD，SD＝1，AB＝2，AD＝1，∠DAB＝60，M、N分別為SB、SC中點，過MN作平面MNPQ分別與線段CD、AB相交于點P、Q.若＝，求二面角M－PQ－B的平面角大小．(　　) A．60　　　　　　　　 B．30 C．45 D．75 解析：A　[在△ABCD中，設(shè)AB＝2AD＝4，∠DCB＝60，所以由余弦定理求得BD＝，有AB2＝AD2＋BD2，所以AD⊥BD，　6分 以D為原點，直線DA為x軸，直線DB為y軸，直線DS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，且A(1,0,0)，B(0，，0)，S(0,0,1)，M， 又＝，則Q. 設(shè)平面MNPQ的法向量為n＝(x，y，z)， 由，得n＝(0，－，1), 易知平面ABCD的法向量為m＝(0,0,1)， 則cos〈m，n〉＝＝， 所以二面角M－PQ－B為60.] 2．(導(dǎo)學(xué)號14577718)(2018秦皇島市模擬)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1的中點，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：C　[以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖， 設(shè)AA1＝2AB＝2，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，E(1,0,1)，D1(0,0,2)． 所以＝(0，－1,1)，＝(0，－1,2)， 所以cos〈，〉＝＝＝.] 3．(導(dǎo)學(xué)號14577719)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分別是AC1和BB1的中點，則直線DE與平面BB1C1C所成的角為(　　) A. B. C. D. 解析：A　[∵AB＝1，AC＝2，BC＝， AC2＝BC2＋AB2，∴AB⊥BC. ∵三棱柱為直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC. 以B為原點，BC，BA，BB1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B－xyz，則A(0,1,0)，C(，0,0)．設(shè)B1(0,0，a)，則C1(，0，a)， ∴D，E，∴＝，平面BB1C1C的法向量＝(0,1,0)．設(shè)直線DE與平面BB1C1C所成的角為α，則sin α＝|cos〈，〉|＝， ∴α＝.] 4．(導(dǎo)學(xué)號14577720)如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M為PB的中點，PA＝AD＝2.若AB＝1，則二面角B－AC－M的余弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：A　[∵BC⊥平面PAB，AD∥BC，∴AD⊥平面PAB，PA⊥AD，又PA⊥AB，且AD∩AB＝A，∴PA⊥平面ABCD. 以點A為坐標(biāo)原點，分別以AD，AB，AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz. 則A(0,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，B(0,1,0)， M， ∴＝(2,1,0)，＝， 求得平面AMC的一個法向量為n＝(1，－2,1)， 又平面ABC的一個法向量＝(0,0,2)， ∴cos〈n，〉＝＝＝. ∴二面角B－AC－M的余弦值為.] 5．(導(dǎo)學(xué)號14577721)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1－DC－C1的大小為60，則AD的長為(　　) A. B. C．2 D. 解析：A　[如圖，以C為坐標(biāo)原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)．設(shè)AD＝a，則D點坐標(biāo)為(1,0，a)，＝(1,0，a)，＝(0,2,2)．設(shè)平面B1CD的法向量為m＝(x，y，z)． 由， 得，令z＝－1，則m＝(a,1，－1)． 又平面C1DC的一個法向量為n＝(0,1,0)， 則由 cos 60＝，得＝，解得a＝， 所以AD＝.故選A.]  6．(導(dǎo)學(xué)號14577722)(2018鄭州市模擬)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為　________　. 解析：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(1,0,1)，C1(0,2,1)，(1,2,0)，∴＝(0,2，－1)，＝(－1,2,0) 設(shè)n＝(x，y，z)為平面A1BC1的法向量，則即 令z＝2，則y＝1，x＝2，于是n＝(2,1,2)，＝(0,2,0)， 設(shè)所求線面角為α，則sin α＝|cos〈n，〉|＝. 答案： 7．(導(dǎo)學(xué)號14577723)如圖，在正四棱錐S－ABCD中，O為頂點在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC所成角為　________　. 解析：如圖所示，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.設(shè)OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a， 則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P(0，－，)． 則＝(2a,0,0)，＝(－a，－，)，＝(a，a,0)． 設(shè)平面PAC的法向量為n，可求得n＝(0,1,1)， 則cos〈，n〉＝＝＝. ∴〈，n〉＝60， ∴直線BC與平面PAC的夾角為90－60＝30. 答案：30 8．(導(dǎo)學(xué)號14577724)設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則點D1到平面A1BD的距離是　________　. 解析：如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 則D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)， ∴＝(2,0,0)，＝(2,0,2)，＝(2,2,0) . 設(shè)平面A1BD的一個法向量n＝(x，y，z)， 則. 令x＝1，則n＝(1，－1，－1)， ∴點D1到平面A1BD的距離d＝＝＝. 答案： 9．(導(dǎo)學(xué)號14577725)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD＝135，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∠BAP＝90，AB＝AC＝PA＝2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，點M在線段PD上． (1)求證：EF⊥平面PAC； (2)如果直線ME與平面PBC所成的角和直線ME與平面ABCD所成的角相等，求的值． 解：(1)證明：在平行四邊形ABCD中，因為AB＝AC，∠BCD＝135，所以AB⊥AC. 由E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，得EF∥AB, 所以EF⊥AC.　2分 因為側(cè)面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP＝90， 所以PA⊥底面ABCD. 又因為EF?底面ABCD， 所以PA⊥EF.　4分 又因為PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以EF⊥平面PAC.　5分 (2)因為PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以AP，AB，AC兩兩垂直，故以AB，AC，AP分別為x軸、y軸和z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)， D(－2,2,0)，E(1,1,0)，　7分 所以＝(2,0，－2)，＝(－2,2，－2)， ＝(－2,2,0)， 設(shè)＝λ(λ∈[0,1])，則＝(－2λ，2λ，－2λ)， 所以M(－2λ，2λ，2－2λ)，＝(1＋2λ，1－2λ，2λ－2)， 易得平面ABCD的法向量m＝(0,0,1)． 設(shè)平面PBC的法向量為n＝(x，y，z)，　9分 由得 令x＝1，得n＝(1,1,1)．　10分 因為直線ME與平面PBC所成的角和直線ME與平面ABCD所成的角相等， 所以|cos〈，m〉|＝|cos〈，n〉|，即＝， 所以|2λ－2|＝， 解得λ＝，或λ＝(舍)． 綜上所得：＝　12分  10．(導(dǎo)學(xué)號14577726)(2018濟寧市一模)如圖甲：⊙O的直徑AB＝2，圓上兩點C，D在直徑AB的兩側(cè)，使∠CAB＝，∠DAB＝，沿直徑AB折起，使兩個半圓所在的平面互相垂直(如圖乙)，F(xiàn)為BC的中點，根據(jù)圖乙解答下列各題： (1)若點G是的中點，證明：FG∥平面ACD； (2)求平面ACD與平面BCD所成的銳二面角的余弦值． 解：(1)證明：連接OF，F(xiàn)G，OG， ∵F，O是BC，AB的中點， ∴FO∥AC， ∵FO?平面ACD，AC?平面ACD， ∴FO∥平面ACD， ∵∠DAB＝，且G是BD弧的中點， ∴∠BOG＝，則AD∥OG， ∵OG?平面ACD，AD?平面ACD， ∴OG∥平面ACD， ∵FO∩OG＝O，F(xiàn)O，OG?平面FOG， ∴平面FOG∥平面ACD， 又FG?平面FOG， ∴FG∥平面ACD  (2)如圖，設(shè)H為弧DG的中點，建立以O(shè)為坐標(biāo)原點，OH，OB，OC分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖； 則A(0，－1,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，D(，－，0)， G(，，0)， 設(shè)平面ACD的法向量為m＝(x，y，z)，則＝(0,1,1)，＝(，，0)， 則由m＝y(tǒng)＋z＝0，m＝x＋y＝0，得， 令y＝－，則m＝(1，－，)， 同理可得平面BCD的法向量為n＝(，1,1)， 則cos〈m，n〉＝＝＝， 即平面ACD與平面BCD所成的銳二面角的余弦值是. [能力提升組] 11．(導(dǎo)學(xué)號14577727)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝AA1＝4，點D是AA1的中點，則點A1到平面DBC1的距離是(　　) A. B. C. D. 解析：[過點A作AC的垂線為x軸，以AC為y，軸以AA1為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， ∵正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝AA1＝4，點D是AA1的中點， ∴B(2，2,0)，C1(0,4,4)， D(0,0,2)，A1(0,0,4)， ∴＝(2，2，－2)，＝(0,4,2)，＝(0,0,2)， 設(shè)平面BDC1的法向量為n＝(x，y，z)， ∵n＝0，n＝0， ∴∴n＝(，－1,2)， ∴點A1到平面DBC1的距離d＝＝＝.故選A.] 12．(導(dǎo)學(xué)號14577728)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于(　　) A. B. C. D. 解析：A　[如圖，以A1C1中點E為原點建立空間直角坐標(biāo)系E－xyz，設(shè)棱長為1，則A，B1. 設(shè)AB1與平面ACC1A1所成的角為θ，EB1為平面ACC1A1的法向量． 則sin θ＝|cos〈，〉|＝ ＝，故選A. 13．(導(dǎo)學(xué)號14577729)如圖，已知點E、F分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值為　________　. 解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，設(shè)DA＝1，由已知條件得，A(1,0,0)，E，F(xiàn)， ＝，＝.設(shè)平面AEF的法向量為n＝(x，y，z)，平面AEF與平面ABC所成的二面角為θ， 由，得. 令y＝1，則n＝(－1,1，－3)． 又平面ABC的一個法向量為m＝(0,0，－1)， 則cos θ＝|cos 〈n，m〉|＝，所以tan θ＝. 答案： 14．(導(dǎo)學(xué)號14577730)(2018汕頭市二模)如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝2，AA1＝h，E為BB1的中點． (1)若h＝2，請畫出該正三棱柱的正(主)視圖與側(cè)(左)視圖． (2)求證：平面A1EC⊥平面AA1C1C； (3)當(dāng)平面A1EC與平面A1B1C1所成的銳二面角為45時，求該正三棱柱外接球的體積． 解：(1)∵△ABC是邊長為2的正三角形，∴△ABC的高為， 又h＝2，∴正視圖為邊長為2的正方形，左視圖為邊長為2和的矩形， 作出正(主)視圖與側(cè)：(左)視圖如下： (2)證明：連接AC1交A1C于F，取A1C1的中點M，連接EF，F(xiàn)M，MB1. ∵四邊形ACC1A1是矩形，∴F是AC1的中點． ∴EF∥MB1. ∵△A1B1C1是正三角形，∴MB1⊥A1C1. ∵AA1⊥平面A1B1C1，MB1?平面A1B1C1， ∴AA1⊥MB1，又AA1∩A1C1＝A1， ∴MB1⊥平面ACC1A1，又MB1∥EF， ∴EF⊥平面ACC1A1，又EF?平面A1EC， ∴平面A1EC⊥平面AA1C1C. (3)以M為原點，以MC1，MB1，MF所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系M－xyz，如圖所示，則A1(－1,0,0)，E(0，，)，C(1,0，h)， ∴＝(1，，)，＝(2,0，h)． 設(shè)平面A1EC的法向量為n＝(x，y，z)，則， 令z＝1得n＝(－，0,1)． 又AA1⊥平面A1B1C1，∴m＝(0,0,1)是平面A1B1C1的一個法向量． ∵平面A1EC與平面A1B1C1所成的銳二面角為45， ∴|cos〈m，n〉|＝＝＝，∴h＝2， 設(shè)△A1B1C1的中心為N，則N(0，，0)， ∴正三棱柱外接球的球心為P(0，，1)， ∴外接球的半徑r＝PA1＝＝， ∴外接球的體積V＝πr3＝π.