2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何與空間向量 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法 第二課時練習(xí) 理 新人教A版.doc

第七章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法 第二課時 基礎(chǔ)訓(xùn)練組1(導(dǎo)學(xué)號14577717)已知四棱錐SABCD的底面為平行四邊形，SD底面ABCD，SD1，AB2，AD1，DAB60，M、N分別為SB、SC中點，過MN作平面MNPQ分別與線段CD、AB相交于點P、Q.若，求二面角MPQB的平面角大小()A60B30C45 D75解析：A在ABCD中，設(shè)AB2AD4，DCB60，所以由余弦定理求得BD，有AB2AD2BD2，所以ADBD，6分以D為原點，直線DA為x軸，直線DB為y軸，直線DS為z軸建立空間直角坐標系，且A(1,0,0)，B(0，0)，S(0,0,1)，M，又，則Q.設(shè)平面MNPQ的法向量為n(x，y，z)，由，得n(0，1), 易知平面ABCD的法向量為m(0,0,1)，則cosm，n，所以二面角MPQB為60.2(導(dǎo)學(xué)號14577718)(2018秦皇島市模擬)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E為AA1的中點，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為()A. B.C. D.解析：C以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖，設(shè)AA12AB2，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，E(1,0,1)，D1(0,0,2)所以(0，1,1)，(0，1,2)，所以cos，.3(導(dǎo)學(xué)號14577719)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AC2，BC，D，E分別是AC1和BB1的中點，則直線DE與平面BB1C1C所成的角為()A. B.C. D.解析：AAB1，AC2，BC，AC2BC2AB2，ABBC.三棱柱為直三棱柱，BB1平面ABC.以B為原點，BC，BA，BB1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Bxyz，則A(0,1,0)，C(，0,0)設(shè)B1(0,0，a)，則C1(，0，a)，D，E，平面BB1C1C的法向量(0,1,0)設(shè)直線DE與平面BB1C1C所成的角為，則sin |cos，|，.4(導(dǎo)學(xué)號14577720)如圖，在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，且BC平面PAB，PAAB，M為PB的中點，PAAD2.若AB1，則二面角BACM的余弦值為()A. B.C. D.解析：ABC平面PAB，ADBC，AD平面PAB，PAAD，又PAAB，且ADABA，PA平面ABCD.以點A為坐標原點，分別以AD，AB，AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz.則A(0,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，B(0,1,0)，M，(2,1,0)，求得平面AMC的一個法向量為n(1，2,1)，又平面ABC的一個法向量(0,0,2)，cosn，.二面角BACM的余弦值為.5(導(dǎo)學(xué)號14577721)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2.若二面角B1DCC1的大小為60，則AD的長為()A. B.C2 D.解析：A如圖，以C為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)設(shè)ADa，則D點坐標為(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)設(shè)平面B1CD的法向量為m(x，y，z)由，得，令z1，則m(a,1，1)又平面C1DC的一個法向量為n(0,1,0)，則由 cos 60，得，解得a，所以AD.故選A.6(導(dǎo)學(xué)號14577722)(2018鄭州市模擬)在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為_.解析：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，則A1(1,0,1)，C1(0,2,1)，(1,2,0)，(0,2，1)，(1,2,0)設(shè)n(x，y，z)為平面A1BC1的法向量，則即令z2，則y1，x2，于是n(2,1,2)，(0,2,0)，設(shè)所求線面角為，則sin |cosn，|.答案：7(導(dǎo)學(xué)號14577723)如圖，在正四棱錐SABCD中，O為頂點在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點，且SOOD，則直線BC與平面PAC所成角為_.解析：如圖所示，以O(shè)為原點建立空間直角坐標系Oxyz.設(shè)ODSOOAOBOCa，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0，)則(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)設(shè)平面PAC的法向量為n，可求得n(0,1,1)，則cos，n.，n60，直線BC與平面PAC的夾角為906030.答案：308(導(dǎo)學(xué)號14577724)設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則點D1到平面A1BD的距離是_.解析：如圖建立空間直角坐標系，則D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0) .設(shè)平面A1BD的一個法向量n(x，y，z)，則.令x1，則n(1，1，1)，點D1到平面A1BD的距離d.答案：9(導(dǎo)學(xué)號14577725)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，BCD135，側(cè)面PAB底面ABCD，BAP90，ABACPA2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，點M在線段PD上(1)求證：EF平面PAC；(2)如果直線ME與平面PBC所成的角和直線ME與平面ABCD所成的角相等，求的值解：(1)證明：在平行四邊形ABCD中，因為ABAC，BCD135，所以ABAC.由E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，得EFAB, 所以EFAC.2分因為側(cè)面PAB底面ABCD，且BAP90，所以PA底面ABCD.又因為EF底面ABCD，所以PAEF.4分又因為PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以EF平面PAC.5分(2)因為PA底面ABCD，ABAC，所以AP，AB，AC兩兩垂直，故以AB，AC，AP分別為x軸、y軸和z軸，如圖建立空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，D(2,2,0)，E(1,1,0)，7分所以(2,0，2)，(2,2，2)，(2,2,0)，設(shè)(0,1)，則(2，2，2)，所以M(2，2，22)，(12，12，22)，易得平面ABCD的法向量m(0,0,1)設(shè)平面PBC的法向量為n(x，y，z)，9分由得令x1，得n(1,1,1)10分因為直線ME與平面PBC所成的角和直線ME與平面ABCD所成的角相等，所以|cos，m|cos，n|，即，所以|22|，解得，或(舍)綜上所得：12分10(導(dǎo)學(xué)號14577726)(2018濟寧市一模)如圖甲：O的直徑AB2，圓上兩點C，D在直徑AB的兩側(cè)，使CAB，DAB，沿直徑AB折起，使兩個半圓所在的平面互相垂直(如圖乙)，F(xiàn)為BC的中點，根據(jù)圖乙解答下列各題：(1)若點G是的中點，證明：FG平面ACD；(2)求平面ACD與平面BCD所成的銳二面角的余弦值解：(1)證明：連接OF，F(xiàn)G，OG，F(xiàn)，O是BC，AB的中點，F(xiàn)OAC，F(xiàn)O平面ACD，AC平面ACD，F(xiàn)O平面ACD，DAB，且G是BD弧的中點，BOG，則ADOG，OG平面ACD，AD平面ACD，OG平面ACD，F(xiàn)OOGO，F(xiàn)O，OG平面FOG，平面FOG平面ACD，又FG平面FOG，F(xiàn)G平面ACD(2)如圖，設(shè)H為弧DG的中點，建立以O(shè)為坐標原點，OH，OB，OC分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖；則A(0，1,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，D(，0)，G(，0)，設(shè)平面ACD的法向量為m(x，y，z)，則(0,1,1)，(，0)，則由myz0，mxy0，得，令y，則m(1，)，同理可得平面BCD的法向量為n(，1,1)，則cosm，n，即平面ACD與平面BCD所成的銳二面角的余弦值是.能力提升組11(導(dǎo)學(xué)號14577727)在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABAA14，點D是AA1的中點，則點A1到平面DBC1的距離是()A. B.C. D.解析：過點A作AC的垂線為x軸，以AC為y，軸以AA1為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABAA14，點D是AA1的中點，B(2，2,0)，C1(0,4,4)，D(0,0,2)，A1(0,0,4)，(2，2，2)，(0,4,2)，(0,0,2)，設(shè)平面BDC1的法向量為n(x，y，z)，n0，n0，n(，1,2)，點A1到平面DBC1的距離d.故選A.12(導(dǎo)學(xué)號14577728)已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.解析：A如圖，以A1C1中點E為原點建立空間直角坐標系Exyz，設(shè)棱長為1，則A，B1.設(shè)AB1與平面ACC1A1所成的角為，EB1為平面ACC1A1的法向量則sin |cos，|，故選A.13(導(dǎo)學(xué)號14577729)如圖，已知點E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值為_.解析：如圖，建立空間直角坐標系Dxyz，設(shè)DA1，由已知條件得，A(1,0,0)，E，F(xiàn)，.設(shè)平面AEF的法向量為n(x，y，z)，平面AEF與平面ABC所成的二面角為，由，得.令y1，則n(1,1，3)又平面ABC的一個法向量為m(0,0，1)，則cos |cos n，m|，所以tan .答案：14(導(dǎo)學(xué)號14577730)(2018汕頭市二模)如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1B12，AA1h，E為BB1的中點(1)若h2，請畫出該正三棱柱的正(主)視圖與側(cè)(左)視圖(2)求證：平面A1EC平面AA1C1C；(3)當平面A1EC與平面A1B1C1所成的銳二面角為45時，求該正三棱柱外接球的體積解：(1)ABC是邊長為2的正三角形，ABC的高為，又h2，正視圖為邊長為2的正方形，左視圖為邊長為2和的矩形，作出正(主)視圖與側(cè)：(左)視圖如下：(2)證明：連接AC1交A1C于F，取A1C1的中點M，連接EF，F(xiàn)M，MB1.四邊形ACC1A1是矩形，F(xiàn)是AC1的中點EFMB1.A1B1C1是正三角形，MB1A1C1.AA1平面A1B1C1，MB1平面A1B1C1，AA1MB1，又AA1A1C1A1，MB1平面ACC1A1，又MB1EF，EF平面ACC1A1，又EF平面A1EC，平面A1EC平面AA1C1C.(3)以M為原點，以MC1，MB1，MF所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系Mxyz，如圖所示，則A1(1,0,0)，E(0，)，C(1,0，h)，(1，)，(2,0，h)設(shè)平面A1EC的法向量為n(x，y，z)，則，令z1得n(，0,1)又AA1平面A1B1C1，m(0,0,1)是平面A1B1C1的一個法向量平面A1EC與平面A1B1C1所成的銳二面角為45，|cosm，n|，h2，設(shè)A1B1C1的中心為N，則N(0，0)，正三棱柱外接球的球心為P(0，1)，外接球的半徑rPA1，外接球的體積Vr3.