2019版中考數(shù)學(xué) 第一部分 基礎(chǔ)知識過關(guān) 第四章 圖形的初步認(rèn)識與三角形 第16講 等腰三角形與證明課件.ppt

第16講等腰三角形與證明 總綱目錄 泰安考情分析 基礎(chǔ)知識過關(guān) 知識點(diǎn)一等腰三角形1 等腰三角形的性質(zhì) 1 等腰三角形的兩個底角相等 簡稱為 等邊對等角 2 等腰三角形的 頂角平分線 底邊上的中線 底邊上的高互相重合 簡稱為 三線合一 3 等腰三角形是軸對稱圖形 有一條對稱軸 頂角的平分線 或底邊上的高 底邊上的中線 所在的直線是它的對稱軸 溫馨提示 1 若題目已知中沒有明確邊是底邊還是腰 角沒有明確是頂角還是底角 就需要分類討論 2 等腰三角形中 三線合一 是等腰三角形中常見輔助線的作法之一 一般是過頂點(diǎn)作底邊上的高 2 等腰三角形的判定 1 有 兩條邊相等的三角形是等腰三角形 2 有 兩個角相等的三角形是等腰三角形 簡稱為 等角對等邊 溫馨提示等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù) 是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù) 知識點(diǎn)二等邊三角形1 等邊三角形的性質(zhì) 1 等邊三角形具備等腰三角形的所有性質(zhì) 2 等邊三角形的三個內(nèi)角都相等 并且每個角都等于60 2 等邊三角形的判定 1 三個角都相等的三角形是等邊三角形 2 有一個角是 60 的等腰三角形是等邊三角形 知識點(diǎn)三命題 定理與證明1 命題 判斷一件事情的語句 1 命題由 題設(shè)和 結(jié)論兩部分組成 2 命題的分類 正確的命題稱為 真命題 錯誤的命題稱為 假命題 3 反例 符合命題的條件 但不滿足命題的結(jié)論的實(shí)例 叫做反例 舉反例是判斷假命題的一種方法 只要找到一種情況不符合命題的結(jié)論 就可以證明該命題是假命題 4 互逆命題 在兩個命題中 如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論 而第一個命題的結(jié)論是第二個命題的題設(shè) 那么這兩個命題稱為互逆命題 每個命題都有互逆命題 2 定理 經(jīng)過證明的真命題叫做定理 因?yàn)槎ɡ淼哪婷}不一定都是真命題 所以不是所有的定理都有逆定理 推論 推論是由公理或定理推出的正確結(jié)論 它是真命題 3 證明 1 證明的定義 根據(jù)題設(shè) 定義 公理或定理 經(jīng)過邏輯推理來判斷一個命題是否正確 這一推理過程稱為證明 2 證明的一般步驟 審題 找出命題的已知和結(jié)論 由題意畫出圖形 要有一般性 用數(shù)學(xué)語言寫出已知和求證 分析證明的思路 寫出證明過程 推理要嚴(yán)密 3 反證法 從原命題結(jié)論的反面出發(fā) 通過正確的邏輯推理過程 導(dǎo)致矛盾的結(jié)果 從而肯定原命題結(jié)論正確的證明方法 泰安考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定例1 2017泰安 如圖 四邊形ABCD是平行四邊形 點(diǎn)E是邊CD上一點(diǎn) 且BC EC CF BE交AB于點(diǎn)F P是EB延長線上一點(diǎn) 下列結(jié)論 BE平分 CBF CF平分 DCB BC FB PF PC 其中正確結(jié)論的個數(shù)為 D A 1B 2C 3D 4 解析 BC EC CEB CBE 四邊形ABCD是平行四邊形 DC AB CEB EBF CBE EBF BE平分 CBF正確 BC EC CF BE ECF BCF CF平分 DCB正確 DC AB DCF CFB ECF BCF CFB BCF BF BC 正確 FB BC CF BE B點(diǎn)一定在FC的垂直平分線上 即PB垂直平分FC PF PC 正確 故選D 變式1 1如圖 在 ABC中 A 36 AB AC BD是 ABC的角平分線 若在邊AB上截取BE BC 連接DE 則圖中等腰三角形共有 D A 2個B 3個C 4個D 5個 解析 AB AC ABC是等腰三角形 AB AC A 36 ABC C 72 BD是 ABC的角平分線 ABD DBC ABC 36 A ABD 36 BD AD ABD是等腰三角形 在 BCD中 BDC 180 DBC C 180 36 72 72 C BDC 72 BD BC BCD是等腰三角形 BE BC BD BE BDE是等腰三角形 BED 180 36 2 72 ADE BED A 72 36 36 A ADE DE AE ADE是等腰三角形 圖中的等腰三角形有5個 故選D 考點(diǎn)二等邊三角形的性質(zhì)和判定中考解題指導(dǎo)等邊三角形是特殊的三角形 三條邊相等 三個角都等于60 在遇到等邊三角形的問題時 注意從邊和角兩個方面分析并進(jìn)行解答 例2如圖 已知 ABC和 ECD都是等邊三角形 B C D在一條直線上 1 求證 BE AD 2 求證 CF CH 3 求證 FCH是等邊三角形 4 求證 FH BD 5 求 EMD的度數(shù) 解析 1 證明 ABC和 ECD都是等邊三角形 BCA DCE 60 BCE ACD 又 ABC和 ECD都是等邊三角形 BC AC CE CD BCE ACD BE AD 2 證明 由 1 知 BCE ACD BEC ADC 易知 DCE ECF 60 CD CE DCH ECF CF CH 3 證明 由 2 知 CF CH 點(diǎn)B C D在一條直線上 ECF 60 FCH是等邊三角形 4 證明 由 3 知 FCH是等邊三角形 FHC 60 HCD FH BD 5 由 1 知 BCE ACD MEC CDH 在 BMD中 MBD MDB 60 EMD 60 變式2 1 ABC是等邊三角形 點(diǎn)D是BC上的一個動點(diǎn) 點(diǎn)D不與點(diǎn)B C重合 ADE是等邊三角形 過點(diǎn)E作BC的平行線 分別交AB AC于點(diǎn)F G 連接BE 如圖所示 當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時 求證 AEB ADC 證明 ABC和 ADE都是等邊三角形 AE AD AB AC EAD BAC 60 又 EAB EAD BAD DAC BAC BAD EAB DAC 在 AEB和 ADC中 AE AD EAB DAC AB AC AEB ADC SAS 考點(diǎn)三命題 推理與證明例3 2017新泰模擬 下列命題中 正確的是 C A 任意三點(diǎn)可以確定一個圓B 菱形的對角線相等C 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半D 平行四邊形的四條邊相等 解析A 在同一直線上的三點(diǎn)不能確定一個圓 故錯誤 B 菱形的對角線垂直但不一定相等 故錯誤 C 正確 D 平行四邊形的四條邊不一定相等 故錯誤 變式3 1下列命題中 是真命題的為 A A 若a b 則c ay2D 甲 乙兩名射擊運(yùn)動員分別射擊10次 他們射擊成績的方差分別為 4 9 乙的發(fā)揮比甲穩(wěn)定 一 選擇題1 下列命題中 是真命題的為 B A 兩條對角線相等的四邊形是矩形B 兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形C 兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形D 兩條對角線相等的四邊形是等腰梯形 隨堂鞏固訓(xùn)練 2 等腰三角形的兩邊長分別為4cm和8cm 則它的周長為 C A 16cmB 17cmC 20cmD 16cm或20cm3 已知等腰三角形三邊長分別為a b 2 且a b正好是關(guān)于x的一元二次方程x2 6x n 1 0的兩根 則n的值為 C A 9B 10C 9或10D 8或10 4 如圖 在 ABC中 AC 4cm 線段AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)N BCN的周長是7cm 則BC的長為 C A 1cmB 2cmC 3cmD 4cm 二 填空題5 如圖 已知 ABC是等邊三角形 點(diǎn)B C D E在同一直線上 且CG CD DF DE 則 E 15 解析由DE DF CG CD 可知 ACB 4 E 60 所以 E 15 6 若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20 則頂角的度數(shù)是110 或70 解析根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和 即可求得頂角是90 20 110 當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時 腰上的高在其內(nèi)部 故頂角是90 20 70 三 解答題7 以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作兩個等腰直角三角形 ABC ADE 如圖所示放置 使得一直角邊重合 連接BD CE 1 求證 BD CE 2 延長BD 交CE于點(diǎn)F 求 BFC的度數(shù) 解析 1 證明 在 ABD和 ACE中 AD AE DAB EAC AB AC ABD ACE BD CE 2 ABD ACE ABD ACE 又 ADB CDF ABD ADB ACE CDF 90 BFC 90