（浙江專用）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第九章 解析幾何 考點規(guī)范練48 拋物線.docx

考點規(guī)范練48拋物線基礎鞏固組1.拋物線y=-4x2上的一點M到焦點的距離為1,則點M的縱坐標是()A.-1716B.-1516C.1716D.1516答案B解析拋物線方程可化為x2=-y4,其準線方程為y=116.設M(x0,y0),則由拋物線的定義,可知116-y0=1y0=-1516.2.如果點M(5,3)到拋物線y=ax2(a0)的準線的距離為6,那么拋物線的方程是()A.y=12x2B.y=12x2或y=-36x2C.y=-36x2D.y=112x2或y=-136x2答案D解析分兩類a>0,a<0,可得所求方程為y=112x2或y=-136x2.3.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦AB的兩端點坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y2x1x2的值一定等于()A.-4B.4C.p2D.-p2答案A解析若焦點弦ABx軸,則x1=x2=p2,則x1x2=p24,y1y2=-p2,則y1y2x1x2=-4;若焦點弦AB不垂直于x軸,可設AB:y=kx-p2,聯(lián)立y2=2px得k2x2-(k2p+2p)x+p2k24=0,則x1x2=p24.又y12=2px1,y22=2px2,y12y22=4p2x1x2=p4,又y1y2<0,y1y2=-p2.故y1y2x1x2=-4.4.(2018浙江嘉興地區(qū)聯(lián)考)已知拋物線C:x2=2py(p>0),若直線y=2x被拋物線C所截弦長為45,則拋物線C的方程為()A.x2=8yB.x2=4yC.x2=2yD.x2=y答案C解析由x2=2py,y=2x,得x=0,y=0或x=4p,y=8p,即兩交點坐標為(0,0)和(4p,8p),則4p2+8p2=45,得p=1(舍去負值).故拋物線C的方程為x2=2y.5.已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,準線與x軸的交點為K,點A在C上,且|AK|=2|AF|,則AFK的面積為()A.4B.8C.16D.32答案B解析拋物線C:y2=8x的焦點為F(2,0),準線為x=-2,K(-2,0).設A(x0,y0),過點A向準線作垂線AB垂足為B,則B(-2,y0).|AK|=2|AF|,又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,由|BK|2=|AK|2-|AB|2,得y02=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,解得A(2,4).故AFK的面積為12|KF|y0|=1244=8.6.拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,其準線與雙曲線y2-x2=1相交于A,B兩點,若ABF為等邊三角形,則p=.答案23解析y2=2px的準線為x=-p2.由于ABF為等邊三角形.因此不妨設A-p2,p3,B-p2,-p3.又點A,B在雙曲線y2-x2=1上,從而p23-p24=1,所以p=23.7.已知F1,F2分別是雙曲線3x2-y2=3a2(a>0)的左、右焦點,P是拋物線y2=8ax與雙曲線的一個交點,若|PF1|+|PF2|=12,則拋物線的準線方程為.答案x=-2解析將雙曲線方程化為標準方程得x2a2-y23a2=1,拋物線的準線為x=-2a,聯(lián)立x2a2-y23a2=1,y2=8axx=3a,即點P的橫坐標為3a.而由|PF1|+|PF2|=12,|PF1|-|PF2|=2a|PF2|=6-a,|PF2|=3a+2a=6-a,得a=1,拋物線的準線方程為x=-2.8.若拋物線y=2x2上兩點A(x1,y1),B(x2,y2)關于直線y=x+m對稱,且x1x2=-12,則實數(shù)m的值是.答案32解析由于A(x1,y1),B(x2,y2)關于直線y=x+m對稱,故可設直線AB方程為y=-x+n,代入拋物線方程y=2x2得2x2+x-n=0,由x1x2=-12得n=1,設A,B中點為P(x0,y0),則x0=x1+x22=-14,y0=-x0+1=54,點(x0,y0)在直線y=x+m上,代入得m=32.能力提升組9.(2018浙江臺州二模)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,A是拋物線上一點,若A到F的距離是A到y(tǒng)軸距離的兩倍,且OAF的面積為1,O為坐標原點,則p的值為()A.1B.2C.3D.4答案B解析不妨設點A(x0,y0)在第一象限,由題意可知x0+p2=2x0,SOAF=12p2y0=1,即x0=p2,y0=4p,Ap2,4p.又點A在拋物線y2=2px上,16p2=2pp2,即p4=16.又p>0,p=2.故選B.10.過點(0,-2)的直線交拋物線y2=16x于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,且y12-y22=1,則OAB(O為坐標原點)的面積為()A.12B.14C.18D.116答案D解析由題意得,y12=16x1,y22=16x2,y12-y22=16(x1-x2)y1-y2x1-x2=16y1+y2,AB:y=16y1+y2x-2,令y=0,x=y1+y28,S=12y1+y28|y1-y2|=116|y12-y22|=116,故選D.11.(2018浙江嘉興一模)過拋物線C:x2=2y的焦點F的直線l交拋物線C于A,B兩點,若拋物線C在點B處的切線的斜率為1,則|AF|等于()A.1B.2C.3D.4答案A解析設點B的坐標為(x1,y1),因為y=12x2,所以y=x.所以y|x=x1=x1=1,則B1,12.因為F0,12,所以直線l的方程為y=12.故|AF|=|BF|=1.12.(2018浙江嘉興調研)已知拋物線C的頂點是原點O,焦點F在x軸的正半軸上,經過點F的直線與拋物線C交于A,B兩點,若OAOB=-12,則拋物線C的方程為()A.x2=8yB.x2=4yC.y2=8xD.y2=4x答案C解析由題意,設拋物線方程為y2=2px(p>0),直線方程為x=my+p2,聯(lián)立y2=2px,x=my+p2,消去x得y2-2pmy-p2=0,顯然方程有兩個不相等的實根.設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2pm,y1y2=-p2,得OAOB=x1x2+y1y2=my1+p2my2+p2+y1y2=m2y1y2+pm2(y1+y2)+p24+y1y2=-34p2=-12,解得p=4(舍負).故拋物線C的方程為y2=8x.13.已知拋物線y2=4x的焦點F,若A,B是該拋物線上的點,AFB=90,線段AB中點M在拋物線的準線上的射影為N,則|MN|AB|的最大值為()A.2B.1C.22D.12答案C解析設|AF|=a,|BF|=b,點A,B在準線上的射影點分別為Q,P,連接AQ,BQ,如圖.由拋物線定義,得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|.在梯形ABPQ中,根據(jù)中位線定理,得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由勾股定理得|AB|2=a2+b2,配方得|AB|2=(a+b)2-2ab,aba+b22,(a+b)2-2ab(a+b)2-2a+b22=12(a+b)2.得到|AB|22(a+b).所以|MN|AB|12(a+b)22(a+b)=22,即|MN|AB|的最大值為22.故選C.14.已知點F為拋物線x2=4y的焦點,O為坐標原點,點M是拋物線準線上一動點,A在拋物線上,且|AF|=2,則|OA|=;|MA|+|MO|的最小值是.答案513解析易知F(0,1).設A(x,y),由|AF|=2,得y+1=2,則y=1,代入x2=4y得x=2,所以A(2,1),則|OA|=5.設B(0,-2),因點M在拋物線準線上,則|MO|=|MB|,從而|MA|+|MO|的最小值就是|MA|+|MB|的最小值.因為A,B為定點,所以|MA|+|MB|的最小值即為|AB|=13,故|MA|+|MO|的最小值是13.15.已知P為拋物線C:y2=4x上的一點,F為拋物線C的焦點,其準線與x軸交于點N,直線NP與拋物線交于另一點Q,且|PF|=3|QF|,則點P坐標為.答案(3,23)解析y2=4x,焦點坐標F(1,0),準線方程x=-1.過P,Q分別作準線的射影分別為A,B,則由拋物線的定義可知:|PA|=|PF|,|QF|=|BQ|.|PF|=3|QF|,|AP|=3|QB|,即|AN|=3|BN|,P,Q的縱坐標滿足yP=3yQ,設Py24,y,y0,則Qy236,y3.N,Q,P三點共線,yy24+1=y3y236+1,解得y2=12,y=23,此時x=y24=124=3,即點P坐標為(3,23).16.已知直線l經過拋物線x2=4y的焦點,且與拋物線交于A,B兩點,點O為坐標原點.(1)求拋物線準線方程;(2)若AOB的面積為4,求直線l的方程.解(1)由拋物線x2=4y的方程可得焦點F(0,1),準線方程為y=-1.(2)設A(x1,y1),B(x2,y2).設直線l的方程為y=kx+1.聯(lián)立拋物線方程,化為x2-4kx-4=0.x1+x2=4k,x1x2=-4.|AB|=1+k216k2+16=4(1+k2).點O到直線l的距離d=11+k2.SOAB=12|AB|d=124(1+k2)11+k2=4,解得k2=3,k=3.直線l的方程為y=3x+1.17.(2018浙江衢州模擬)已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,斜率為22的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點,且|AB|=9.(1)求該拋物線的方程;(2)O為坐標原點,C為拋物線上一點,若OC=OA+OB,求的值.解(1)直線AB的方程是y=22x-p2,與y2=2px聯(lián)立,從而有4x2-5px+p2=0.由題意知,方程必有兩個不相等的實根.所以x1+x2=5p4,由拋物線定義得|AB|=x1+x2+p=5p4+p=9,所以p=4,從而拋物線方程為y2=8x.(2)由于p=4,則4x2-5px+p2=0,即x2-5x+4=0,從而x1=1,x2=4,于是y1=-22,y2=42,從而A(1,-22),B(4,42).設C(x3,y3),則OC=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=(4+1,42-22).又y32=8x3,即22(2-1)2=8(4+1),整理得(2-1)2=4+1,解得=0或=2.