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第一部分 專題七 第二講 概率及其應用
A組
1．小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 根據(jù)題意可以知道，所輸入密碼所有可能發(fā)生的情況如下：M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5共15種情況，而正確的情況只有其中一種，所以輸入一次密碼能夠成功開機的概率是.故選C．
2．在某次全國青運會火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為1,2,3,4,5的5名火炬手．若從中任選2人，則選出的火炬手的編號相連的概率為( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由題意得從5人中選出2人，有10種不同的選法，其中滿足2人編號相連的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4種不同的選法，所以所求概率為＝.
故選D．
3．(2018江西宜春中學3月模擬)已知在數(shù)軸上0和3之間任取一個實數(shù)x，則使“l(fā)og2x<1”的概率為( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由log2x<1，得0
0.又a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，即a>b，而a，b的取法共有33＝9種，其中滿足a>b的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6種，所以所求的概率為＝.
9.(2018鄭州模擬)折紙已經(jīng)成為開發(fā)少年兒童智力的一大重要工具和手段．已知在折疊“愛心”的過程中會產(chǎn)生如圖所示的幾何圖形，其中四邊形ABCD為正方形，G為線段BC的中點，四邊形AEFG與四邊形DGHI也為正方形，連接EB，CI，則向多邊形AEFGHID中投擲一點，該點落在陰影部分內的概率為.
[解析] 設正方形ABCD的邊長為2，則由題意，多邊形AEFGHID的面積為SAGFE＋SDGHI＋S△ADG＝()2＋()2＋22＝12，
陰影部分的面積為222＝4，
所以向多邊形AEFGHID中投擲一點，該點落在陰影部分內的概率為＝.
10．(2018永州三模)我國為確保貧困人口到2020年如期脫貧，把2017年列為“精準扶貧”攻堅年，2017年1月1日某貧困縣隨機抽取100戶貧困家庭的每戶人均收入數(shù)據(jù)做為樣本，以考核該縣2016年的“精準扶貧”成效(2016年貧困家庭脫貧的標準為人均收入不小于3000元)．根據(jù)所得數(shù)據(jù)將人均收入(單位：千元)分成五個組：[1,2)，[2,3)，[3,4)，[4,5)，[5,6]，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中a的值．
(2)如果被抽取的100戶貧困家庭有80%脫貧，則認為該縣“精準扶貧”的成效是理想的．請從統(tǒng)計學的角度說明該縣的“精準扶貧”效果是理想還是不理想？
(3)從戶人均收入小于3千元的貧困家庭中隨機抽取2戶，求至少有1戶人均收入在區(qū)間[1,2)上的概率．
[解析] (1)由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1，得：0.02＋0.03＋0.45＋a＋0.2＝1，解得a＝0.3.
(2)由頻率分布直方圖得人均收入超過3000元的頻率為：
1－0.02－0.03＝0.95＝95%>80%，
所以從統(tǒng)計學的角度來說該縣的“精準扶貧”效果理想．
(3)戶人均收入小于3千元的貧困家庭中有(0.02＋0.03)100＝5(戶)，其中人均收入在區(qū)間[1,2)上有0.02100＝2(戶)，人均收入在區(qū)間[2,3)上有0.03100＝3(戶)，從戶人均收入小于3千元的貧困家庭中隨機抽取2戶，基本事件總數(shù)n＝10，至少有1戶人均收入在區(qū)間[1,2)上的對立事件是兩戶人均收入都在區(qū)間[2,3)上，
所以至少有1戶人均收入在區(qū)間[1,2)上的概率：P＝1－＝.
B組
1．已知P是△ABC所在平面內一點，＋＋2＝0，現(xiàn)將一粒黃豆隨機撒在△ABC內，則黃豆落在△PBC內的概率是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 如圖所示，取邊BC上的中點D，由＋＋2＝0，得＋＝2.又＋＝2，故＝，即P為AD的中點，則S△ABC＝2S△PBC，根據(jù)幾何概率的概率公式知，所求概率P＝＝，故選C．
2．(2018濟南模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax3－bx2＋x，連續(xù)拋擲兩顆骰子得到的點數(shù)分別是a，b，則函數(shù)f ′(x)在x＝1處取得最值的概率是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由題意得f ′(x)＝ax2－bx＋1，因為f ′(x)在x＝1處取得最值，所以＝1，符合的點數(shù)(a，b)有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3種情況．又因為拋擲兩顆骰子得到的點數(shù)(a，b)共有36種情況，所以所求概率為＝，故選C．
3．在區(qū)間[0,1]上隨機取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≥”的概率，p2為事件“|x－y|≤”的概率，p3為事件“xy≤”的概率，則( B )
A．p1n，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15種情況，因此P(A)＝＝.
7．將一顆質地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是.
[解析] 將骰子先后拋擲2次的點數(shù)記為(x，y)，則共有36個等可能基本事件，其中點數(shù)之和大于或等于10的基本事件有6種：(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．所以所求概率為＝.
8．(2018湖北武漢二月調考)如圖所示，莖葉圖記錄了甲、乙兩組5名工人制造某種零件的個數(shù).
甲
乙
9 9
0
8 9 9
2 0 0
1
0 1
(1)求甲組工人制造零件的平均數(shù)和方差；
(2)分別從甲、乙兩組中隨機選取一名工人，求這兩名工人制造的零件總數(shù)不超過20的概率．
[解析] (1)甲組工人制造零件數(shù)為9,9,10,10,12，故甲組工人制造零件的平均數(shù)＝(9＋9＋10＋10＋12)＝10，
方差為s2＝[(9－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2]＝.
(2)由題意，得甲、乙兩組工人制造零件的個數(shù)分別是：
甲：9,9,10,10,12；乙：8,9,9,10,11，
甲組中5名工人分別記為a，b，c，d，e，乙組中5名工人分別記為A，B，C，D，E，
分別從甲、乙兩組中隨機選取1名工人，共有25種方法，
制造零件總數(shù)超過20的有：
eB，eC，eD，eE，dE，cE，共6種，
故這兩名工人制造的零件總數(shù)不超過20的概率P＝1－＝.
9．(2018天津卷，15)已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學去某敬老院參加獻愛心活動．
(Ⅰ)應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人？
(Ⅱ)設抽出的7名同學分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機抽取2名同學承擔敬老院的衛(wèi)生工作．
(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；
(ii)設M為事件“抽取的2名同學來自同一年級”，求事件M發(fā)生的概率．
[解析] (Ⅰ)由已知，甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學，因此應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．
(Ⅱ)(i)從抽出的7名同學中隨機抽取2名同學的所有可能結果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．
(ii)由(Ⅰ)，不妨設抽出的7名同學中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學中隨機抽取的2名同學來自同一年級的所有可能結果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．
所以，事件M發(fā)生的概率為P(M)＝.
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