（浙江專(zhuān)版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線(xiàn)與方程 2.5 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc

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2.5　直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與相應(yīng)方程組的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.能用判別式法研究直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系.3.掌握直線(xiàn)與橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)位置關(guān)系的簡(jiǎn)單問(wèn)題的基本解法.4.掌握直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的綜合問(wèn)題的解決方法． 1．直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系 (1)相離?直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)． (2)相切?直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn)． (3)相交? 2．弦長(zhǎng)公式 當(dāng)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交時(shí)，往往涉及弦的長(zhǎng)度，可利用弦長(zhǎng)公式表示弦長(zhǎng)，從而研究相關(guān)的問(wèn)題，弦長(zhǎng)公式為： 若直線(xiàn)l的斜率為k，與圓錐曲線(xiàn)C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則 |AB|＝|x1－x2|＝＝|y1－y2|＝. 3．直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系的判定 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程聯(lián)立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0. 方程特征 交點(diǎn)個(gè)數(shù) 位置關(guān)系 直線(xiàn)與橢圓 a≠0，Δ>0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ<0 0 相離 直線(xiàn)與雙曲線(xiàn) a＝0 1 直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行且兩者相交 a≠0，Δ>0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ<0 0 相離 直線(xiàn)與拋物線(xiàn) a＝0 1 直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸重合或平行且兩者相交 a≠0，Δ>0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ<0 0 相離 應(yīng)用弦長(zhǎng)公式時(shí)注意的問(wèn)題 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題一定注意直線(xiàn)斜率不存在的情況，同時(shí)，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)x軸上一個(gè)定點(diǎn)(c,0)時(shí)，直線(xiàn)方程設(shè)為x＝my＋c，此種設(shè)法，在拋物線(xiàn)中運(yùn)用，顯得更為方便． (1)橢圓＋＝1上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值是a＋c.(√) (2)過(guò)點(diǎn)(2,4)的直線(xiàn)與橢圓＋y2＝1只有一條切線(xiàn)．() (3)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)為雙曲線(xiàn)－＝1上的任一點(diǎn)，則|x0|≥a.() 類(lèi)型一　直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系 例1　直線(xiàn)y＝mx＋1與橢圓x2＋4y2＝1有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求m2的值． 解　因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，由消去y，得(1＋4m2)x2＋8mx＋3＝0，所以由Δ＝64m2－12(1＋4m2)＝16m2－12＝0，解得m2＝. 引申探究 1．典例中若直線(xiàn)與橢圓相交，弦的中點(diǎn)的軌跡方程是什么？ 解　由得(4m2＋1)x2＋8mx＋3＝0， Δ＝64m2－12(4m2＋1)＝16m2－12>0，即m2>， 設(shè)中點(diǎn)M(x，y)，交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以 消去m，得x2＋4y2－4y＝0. 2．典例中若直線(xiàn)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)． 解　由得(4m2＋1)x2＋8mx＋3＝0， Δ＝64m2－12(4m2＋1)＝16m2－12>0， 即m>或m<－， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 則 因此|AB|＝＝ ＝. 反思與感悟　直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系的判斷方法 跟蹤訓(xùn)練1　已知直線(xiàn)l：y＝2x＋m，橢圓C：＋＝1.試問(wèn)當(dāng)m取何值時(shí)，直線(xiàn)l與橢圓C： (1)有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)； (2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； (3)沒(méi)有公共點(diǎn)． 解　將直線(xiàn)l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立， 得方程組 將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判別式Δ＝64m2－49(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)當(dāng)Δ>0，即－33時(shí)，方程③沒(méi)有實(shí)數(shù)根，可知原方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線(xiàn)l與橢圓C沒(méi)有公共點(diǎn)． 類(lèi)型二　弦長(zhǎng)問(wèn)題 例2　(2017寧波檢測(cè))設(shè)橢圓M：＋＝1(a>b>0)的離心率與雙曲線(xiàn)x2－y2＝1的離心率互為倒數(shù)，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4. (1)求橢圓M的方程； (2)若直線(xiàn)y＝x＋m交橢圓M于A，B兩點(diǎn)，P(1，)為橢圓M上一點(diǎn)，求△PAB面積的最大值． 解　(1)由題意可知，雙曲線(xiàn)的離心率為， 則橢圓的離心率e＝＝. 由得a＝2，c＝，b＝， 故橢圓M的方程為＋＝1. (2)聯(lián)立方程消去y，得4x2＋2mx＋m2－4＝0， 由Δ＝8m2－16(m2－4)>0， 得－2b>0)，直線(xiàn)l1：－＝1被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為2，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)l2被橢圓C截得的弦長(zhǎng)是橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的，求橢圓C的方程． 解　由l1被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為2，得a2＋b2＝8. 設(shè)l2：y＝(x－c)，代入橢圓C的方程并化簡(jiǎn)，得 (b2＋3a2)x2－6a2cx＋a2(3c2－b2)＝0. 設(shè)直線(xiàn)l2與橢圓C交于點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝， x1x2＝， 從而|x1－x2|＝ ＝ ＝， 則由弦長(zhǎng)公式，得|MN|＝＝. 化簡(jiǎn)，得a2＝3b2. 聯(lián)立a2＋b2＝8，a2＝3b2，得a2＝6，b2＝2， 故橢圓C的方程為＋＝1. 類(lèi)型三　圓錐曲線(xiàn)中的綜合問(wèn)題 例3　已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面積為1. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線(xiàn)PA與y軸交于點(diǎn)M，直線(xiàn)PB與x軸交于點(diǎn)N.求證：|AN||BM|為定值． (1)解　由已知＝，ab＝1. 又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝. ∴橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)證明　由(1)知，A(2,0)，B(0,1)． 設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(x0，y0)，則＋y＝1. 當(dāng)x0≠0時(shí)，直線(xiàn)PA的方程為y＝(x－2)， 令x＝0得yM＝. 從而|BM|＝|1－yM|＝. 直線(xiàn)PB的方程為y＝x＋1. 令y＝0得xN＝. ∴|AN|＝|2－xN|＝. ∴|AN||BM|＝ ＝ ＝ ＝＝4. 當(dāng)x0＝0時(shí)，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2， ∴|AN||BM|＝4. 故|AN||BM|為定值． 反思與感悟　定值問(wèn)題類(lèi)型及常見(jiàn)解法 (1)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)型，一般通過(guò)運(yùn)算使直線(xiàn)方程中只含一個(gè)參數(shù)來(lái)求定點(diǎn)． (2)參數(shù)和為定值型，往往把參數(shù)用交點(diǎn)坐標(biāo)表示，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡(jiǎn)為某一常數(shù)． 跟蹤訓(xùn)練3　橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，a＋b＝3. (1)求橢圓C的方程； (2)如圖，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)DP交x軸于點(diǎn)N，直線(xiàn)AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明2m－k為定值． (1)解　因?yàn)閑＝＝，故＝＝1－＝， 所以a＝2b. 再由a＋b＝3，得a＝2，b＝1， 故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)證明　因?yàn)锽(2,0)，P不為橢圓頂點(diǎn)，則可設(shè)BP的方程為y＝k(x－2).① 將①代入＋y2＝1，解得P. 又直線(xiàn)AD的方程為y＝x＋1，② ①與②聯(lián)立解得M. 由D(0,1)，P，N(x,0)三點(diǎn)共線(xiàn)可解得N. 所以MN的斜率為m＝， 則2m－k＝－k＝(定值)． 例4　(2017杭州檢測(cè))已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)l與E相交于P，Q兩點(diǎn)．當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求直線(xiàn)l的方程． 解　(1)設(shè)F(c,0)，由條件知，＝，得c＝. 又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故橢圓E的方程為＋y2＝1. (2)當(dāng)直線(xiàn)l⊥x軸時(shí)不合題意，故設(shè)直線(xiàn)l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 將y＝kx－2代入＋y2＝1得， (1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 當(dāng)Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>時(shí)， x1,2＝. 從而|PQ|＝|x1－x2| ＝. 又點(diǎn)O到直線(xiàn)PQ的距離d＝， 所以△OPQ的面積 S△OPQ＝d|PQ|＝. 設(shè)＝t，則t>0，S△OPQ＝＝. 因?yàn)閠＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2，即k＝時(shí)等號(hào)成立，且滿(mǎn)足Δ>0， 所以當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，直線(xiàn)l的方程為 y＝x－2. 反思與感悟　最值問(wèn)題的兩種常見(jiàn)求法 (1)數(shù)形結(jié)合法：當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義時(shí)，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法求解或構(gòu)造參數(shù)滿(mǎn)足的不等式(如雙曲線(xiàn)的范圍，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交時(shí)Δ>0等)，通過(guò)解不等式(組)求得參數(shù)的取值范圍． (2)目標(biāo)函數(shù)法：當(dāng)題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系時(shí)，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域，最后確定最值． 跟蹤訓(xùn)練4　已知橢圓＋＝1，動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓交于B，C兩點(diǎn)．若點(diǎn)B的坐標(biāo)為，求△OBC面積的最大值． 解　直線(xiàn)OB的方程為y＝x，即3x－2y＝0， 設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且平行于直線(xiàn)OB的直線(xiàn)l′的方程為y＝x＋b， 則當(dāng)l′與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，△OBC的面積最大． 聯(lián)立化為3x2＋3bx＋b2－3＝0， 由Δ＝9b2－12(b2－3)＝0，解得b＝2. 當(dāng)b＝2時(shí)，C； 當(dāng)b＝－2時(shí)，C. 所以△OBC面積的最大值為＝.  1．平面上到定點(diǎn)A(1,0)和到定直線(xiàn)l：x＋2y＋3＝0的距離相等的點(diǎn)的軌跡為(　　) A．直線(xiàn)B．拋物線(xiàn)C．雙曲線(xiàn)D．橢圓 答案　B 2．一條直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩支交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為(　　) A．1B．2C．3D．4 答案　B 3．拋物線(xiàn)與直線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 4．若直線(xiàn)ax－y＋1＝0與拋物線(xiàn)y2＝4x有兩交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________． 答案　(－∞，0)∪(0,1) 5．已知橢圓＋＝1(a>b>0)，F(xiàn)(，0)為其右焦點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝2，則該橢圓的方程為_(kāi)_______，離心率為_(kāi)_______． 答案?。?　 1．解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，主要方法是構(gòu)建一元二次方程，判斷其解的個(gè)數(shù)．確定斜率與直線(xiàn)的傾斜角時(shí)，應(yīng)特別注意斜率為0和斜率不存在的兩種情形，以及在雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)中，直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn)并不一定相切． 2．在探求最值時(shí)，常結(jié)合幾何圖形的直觀性，充分利用平面幾何結(jié)論，借助于函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等使問(wèn)題獲解．同時(shí)，要注意未知數(shù)的取值范圍、最值存在的條件． 一、選擇題 1．(2017金華檢測(cè))直線(xiàn)y＝kx＋2與拋物線(xiàn)y2＝8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的值為(　　) A．1 B．1或3 C．0 D．1或0 答案　D 2．(2017臺(tái)州檢測(cè))已知雙曲線(xiàn)－＝1(a>0，b>0)與直線(xiàn)y＝2x有交點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為(　　) A．(1，) B．(1，] C．(，＋∞) D．[，＋∞) 答案　C 3．過(guò)拋物線(xiàn)y2＝8x的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于C，若|AF|＝6，＝λ，則λ的值為(　　) A.B.C.D．3 答案　D 4．已知雙曲線(xiàn)－＝1 (b>0)，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)相交于A，B，C，D四點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線(xiàn)的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　D 5．已知雙曲線(xiàn)方程為－＝1，過(guò)點(diǎn)(2，0)作直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)A，B，記滿(mǎn)足|AB|＝m的直線(xiàn)l的條數(shù)為f(m)，則f(m)的可能取值為(　　) A．0,2,4 B．1,2,3,4 C．0,1,2,3,4 D．2,4 答案　A 6．(2017金華檢測(cè))過(guò)拋物線(xiàn)x2＝4y的焦點(diǎn)F作直線(xiàn)AB，CD與拋物線(xiàn)交于A，B，C，D四點(diǎn)，且AB⊥CD，則＋的最大值等于(　　) A．－4B．－16C．4D．－8 答案　B 二、填空題 7．若斜率為的直線(xiàn)l與橢圓＋＝1(a>b>0)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率為_(kāi)_______． 答案　 8．拋物線(xiàn)焦點(diǎn)在y軸上，截得直線(xiàn)y＝x＋1的弦長(zhǎng)為5，則拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________，準(zhǔn)線(xiàn)方程為_(kāi)_____________． 答案　x2＝4y或x2＝－20y　y＝－1或y＝5 9．設(shè)直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，與圓(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于點(diǎn)M，且M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．若這樣的直線(xiàn)l恰有4條，則r的取值范圍為_(kāi)_______________． 答案　(2,4) 解析　如圖， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 則 兩式相減得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)． 當(dāng)l的斜率k不存在時(shí)，符合條件的直線(xiàn)l必有兩條． 當(dāng)k存在時(shí)，x1≠x2， 則有＝2， 又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2. 由CM⊥AB，得k＝－1， 即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3， 即M必在直線(xiàn)x＝3上．將x＝3代入y2＝4x， 得y2＝12，則有－24(為保證有4條，在k存在時(shí)，y0≠0)， 所以4b>0)，其中e＝，焦距為2，過(guò)點(diǎn)M(4,0)的直線(xiàn)l與橢圓C交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B在AM之間，又點(diǎn)A，B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且＝λ. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)求實(shí)數(shù)λ的值． 解　(1)由條件可知，c＝1，a＝2，故b2＝a2－c2＝3，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1. (2)由＝λ，可知A，B，M三點(diǎn)共線(xiàn)， 設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，點(diǎn)B(x2，y2)，顯然AB所在直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k(x－4)． 由消去y，得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，① 由①的判別式Δ＝322k4－4(4k2＋3)(64k2－12) ＝144(1－4k2)>0，解得k2<，且 由(x1＋x2)＝＝，可得k2＝， 將k2＝代入方程①，得7x2－8x－8＝0， x1,2＝， 又因?yàn)椋?4－x1，－y1)，＝(x2－4，y2)， ＝λ. 所以λ＝，所以λ＝. 12．(2017溫州檢測(cè))已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，其離心率e＝，點(diǎn)M為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△MAB面積的最大值是2. (1)求橢圓的方程； (2)若過(guò)橢圓C右頂點(diǎn)B的直線(xiàn)l與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為D，線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)P，當(dāng)＝0時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 解　(1)由題意可知 解得a＝2，b＝， 所以橢圓方程是＋＝1. (2)由(1)知B(2,0)，設(shè)直線(xiàn)BD的方程為y＝k(x－2)， D(x1，y1)， 把y＝k(x－2)代入橢圓方程＋＝1. 整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0， 所以2＋x1＝，即x1＝， 則D， 所以BD中點(diǎn)的坐標(biāo)為， 則直線(xiàn)BD的垂直平分線(xiàn)方程為 y－＝－， 得P，又＝0， 即＝0， 化簡(jiǎn)得＝0，即16k4＋7k2－9＝0， 解得k＝. 故P或. 13．(2017紹興檢測(cè))如圖，已知拋物線(xiàn)C1：y＝x2，圓C2：x2＋(y－1)2＝1，過(guò)點(diǎn)P(t,0)(t>0)作不過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)PA，PB分別與拋物線(xiàn)C1和圓C2相切，A，B為切點(diǎn)． (1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)； (2)求△PAB的面積． 解　(1)由題意可知，直線(xiàn)PA的斜率存在，故可設(shè)直線(xiàn)PA的方程為y＝k(x－t)， 由消去y整理得 x2－4kx＋4kt＝0. 因?yàn)橹本€(xiàn)PA與拋物線(xiàn)相切，所以Δ＝16k2－16kt＝0，解得k＝t.所以x＝2t，即點(diǎn)A(2t，t2)． 圓C2的圓心為D(0,1)，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0，y0)，由題意知，點(diǎn)B，O關(guān)于直線(xiàn)PD對(duì)稱(chēng)，故有 解得x0＝，y0＝. 即點(diǎn)B. (2)由(1)知，|AP|＝t， 直線(xiàn)AP的方程為tx－y－t2＝0，所以點(diǎn)B到直線(xiàn)PA的距離為d＝. 所以△PAB的面積為S＝|AP|d＝. 四、探究與拓展 14．已知雙曲線(xiàn)x2－＝1，過(guò)點(diǎn)P(2,1)作一條直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，并使P為AB的中點(diǎn)，則直線(xiàn)AB的斜率為_(kāi)_______，方程為_(kāi)_______________________________． 答案　6　6x－y－11＝0 15．(2017杭州檢測(cè))已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，過(guò)它的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別作直線(xiàn)l1與l2，l1交橢圓于A，B兩點(diǎn)，l2交橢圓于C，D兩點(diǎn)，且l1⊥l2. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)求四邊形ACBD的面積S的取值范圍． 解　(1)由＝，得a＝2c，所以a2＝4c2，b2＝3c2， 將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程得c2＝1，故所求橢圓方程為＋＝1. (2)若l1與l2中有一條直線(xiàn)的斜率不存在，則另一條直線(xiàn)的斜率為0，此時(shí)四邊形的面積S＝6. 若l1與l2的斜率都存在，設(shè)l1的斜率為k，則l2的斜率為－. 不妨設(shè)直線(xiàn)l1的方程為y＝k(x＋1)， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立 消去y整理得，(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0， Δ＝64k4－4(3＋4k2)(4k2－12)＝144k2＋144>0， x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以|x1－x2|＝＝. |AB|＝|x1－x2|＝. 同理可得|CD|＝， 所以S＝|AB||CD|＝， 令k2＝t∈(0，＋∞)， S＝ ＝＝6－ ≥6－＝， 故S∈， 綜上可知，四邊形ACBD面積S的取值范圍是.