（浙江專版）2018年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.2 第二課時 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則學(xué)案 新人教A版選修2-2.doc

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第二課時　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 　預(yù)習(xí)課本P15～18，思考并完成下列問題 (1)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則是什么？在使用運(yùn)算法則時的前提條件是什么？ 　 (2)復(fù)合函數(shù)的定義是什么，它的求導(dǎo)法則又是什么？ 　 　 　　　 1．導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 (1)條件：f(x)，g(x)是可導(dǎo)的． (2)結(jié)論：①[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)． ②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． ③′＝(g(x)≠0)． [點睛]　應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式的注意事項 (1)兩個導(dǎo)數(shù)的和差運(yùn)算只可推廣到有限個函數(shù)的和差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算． (2)兩個函數(shù)可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商(商的分母不為零)必可導(dǎo)． (3)若兩個函數(shù)不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)． (4)對于較復(fù)雜的函數(shù)式，應(yīng)先進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕喿冃?，化為較簡單的函數(shù)式后再求導(dǎo)，可簡化求導(dǎo)過程． 2．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式 (1)復(fù)合函數(shù)的定義：①一般形式是y＝f(g(x))． ②可分解為y＝f(u)與u＝g(x)，其中u稱為中間變量． (2)求導(dǎo)法則：復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為：yx′＝y(tǒng)u′ux′. 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)f′(x)＝2x，則f(x)＝x2.(　　) (2)函數(shù)f(x)＝xex的導(dǎo)數(shù)是f′(x)＝ex(x＋1)．(　　) (3)函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝cos x．(　　) 答案：(1)　(2)√　(3) 2．函數(shù)y＝sin xcos x的導(dǎo)數(shù)是(　　) A．y′＝cos 2x＋sin 2x　　 　B．y′＝cos 2x C．y′＝2cos xsin x D．y′＝cos xsin x 答案：B 3．函數(shù)y＝xcos x－sin x的導(dǎo)數(shù)為________． 答案：－xsin x 4．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，則a＝________. 答案：1 利用導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則求導(dǎo) [典例]　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3ex；(3)y＝. [解]　 (1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′ ＝2x＋. (2)y′＝(x3ex)′＝(x3)′ex＋x3(ex)′ ＝3x2ex＋x3ex＝ex(x3＋3x2)． (3)y′＝′＝ ＝＝－. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的策略 (1)先區(qū)分函數(shù)的運(yùn)算特點，即函數(shù)的和、差、積、商，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)． (2)對于三個以上函數(shù)的積、商的導(dǎo)數(shù)，依次轉(zhuǎn)化為“兩個”函數(shù)的積、商的導(dǎo)數(shù)計算．　　　　　　 [活學(xué)活用] 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝sin x－2x2；(2)y＝cos xln x；(3)y＝. 解：(1)y′＝(sin x－2x2)′＝(sin x)′－(2x2)′＝cos x－4x. (2)y′＝(cos xln x)′＝(cos x)′ln x＋cos x(ln x)′ ＝－sin xln x＋. (3)y′＝′＝ ＝＝. 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算 [典例]　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝；(2)y＝esin(ax＋b)； (3)y＝sin2；(4)y＝5log2(2x＋1)． [解]　(1)設(shè)y＝u，u＝1－2x2， 則y′＝(u)′(1－2x2)′＝(－4x) ＝－(1－2x2) (－4x)＝2x(1－2x2) . (2)設(shè)y＝eu，u＝sin v，v＝ax＋b， 則yx′＝y(tǒng)u′uv′vx′＝eucos va ＝acos(ax＋b)esin(ax＋b)． (3)設(shè)y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋， 則yx′＝y(tǒng)u′uv′vx′＝2ucos v2 ＝4sin vcos v＝2sin 2v＝2sin. (4)設(shè)y＝5log2u，u＝2x＋1， 則y′＝5(log2u)′(2x＋1)′ ＝＝. 1．求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟 2．求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的注意點 (1)內(nèi)、外層函數(shù)通常為基本初等函數(shù)． (2)求每層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時注意分清是對哪個變量求導(dǎo)，這是求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)時的易錯點．　　　　　　 [活學(xué)活用] 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝(3x－2)2；　(2)y＝ln(6x＋4)； (3)y＝e2x＋1；　(4)y＝； (5)y＝sin；(6)y＝cos2x. 解：(1)y′＝2(3x－2)(3x－2)′＝18x－12； (2)y′＝(6x＋4)′＝； (3)y′＝e2x＋1(2x＋1)′＝2e2x＋1； (4)y′＝(2x－1)′＝ . (5)y′＝cos′＝3cos. (6)y′＝2cos x(cos x)′＝－2cos xsin x＝－sin 2x. 與切線有關(guān)的綜合問題 [典例]　(1)函數(shù)y＝2cos2x在x＝處的切線斜率為________． (2)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋ln x的導(dǎo)數(shù)為f′(x)， ①求f(1)＋f′(1)． ②若曲線y＝f(x)存在垂直于y軸的切線，求實數(shù)a的取值范圍． [解析]　(1)由函數(shù)y＝2cos2x＝1＋cos 2x，得y′＝(1＋cos 2x)′＝－2sin 2x，所以函數(shù)在x＝處的切線斜率為－2sin＝－1. 答案：－1 (2)解：①由題意，函數(shù)的定義域為(0，＋∞)， 由f(x)＝ax2＋ln x，得f′(x)＝2ax＋， 所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1. ②因為曲線y＝f(x)存在垂直于y軸的切線，故此時切線斜率為0，問題轉(zhuǎn)化為在x∈(0，＋∞)內(nèi)導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2ax＋存在零點， 即f′(x)＝0?2ax＋＝0有正實數(shù)解， 即2ax2＝－1有正實數(shù)解，故有a<0，所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，0)． 關(guān)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及其解決方法 (1)應(yīng)用：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用主要有：求在某點處的切線方程，已知切線的方程或斜率求切點，以及涉及切線問題的綜合應(yīng)用． (2)方法：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若已知切點則求出切線斜率、切線方程﹔若切點未知，則先設(shè)出切點，用切點表示切線斜率，再根據(jù)條件求切點坐標(biāo)．總之，切點在解決此類問題時起著至關(guān)重要的作用．　　　　　　 [活學(xué)活用] 若存在過點(1,0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，則a的值為(　　) A．－1或－　　　　　 　B．－1或 C．－或－ D．－或7 解析：選A　設(shè)過點(1,0)的直線與曲線y＝x3相切于點(x0，x)， 則切線方程為y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x. 又點(1,0)在切線上，代入以上方程得x0＝0或x0＝. 當(dāng)x0＝0時，直線方程為y＝0. 由y＝0與y＝ax2＋x－9相切可得a＝－. 當(dāng)x0＝時，直線方程為y＝x－. 由y＝x－與y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1. 層級一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，則a的值為(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B. C．－1 D．0 解析：選A　∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax， 又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1. 2．函數(shù)y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選D　y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4. 3．曲線f(x)＝xln x在點x＝1處的切線方程為(　　) A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2 C．y＝x－1 D．y＝x＋1 解析：選C　∵f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴在點x＝1處曲線f(x)的切線方程為y＝x－1. 4. 已知物體的運(yùn)動方程為s＝t2＋(t是時間，s是位移)，則物體在時刻t＝2時的速度為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　∵s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝. 5．設(shè)曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(0,0)處的切線方程為y＝2x，則a＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選D　y′＝a－，由題意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3. 6．曲線y＝x3－x＋3在點(1,3)處的切線方程為________． 解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝312－1＝2. ∴切線方程為y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0 7．已知曲線y1＝2－與y2＝x3－x2＋2x在x＝x0處切線的斜率的乘積為3，則x0＝________. 解析：由題知y′1＝，y′2＝3x2－2x＋2，所以兩曲線在x＝x0處切線的斜率分別為，3x－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1. 答案：1 8．已知函數(shù)f(x)＝f′cos x＋sin x，則f的值為________． 解析：∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x， ∴f′＝－f′＋， 得f′＝－1. ∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x. ∴f＝1. 答案：1 9．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝xsin2x；(2)y＝； (3)y＝；(4)y＝cos xsin 3x. 解：(1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′ ＝sin2x＋x2sin x(sin x)′＝sin2x＋xsin 2x. (2)y′＝ ＝ . (3)y′＝ ＝ ＝. (4)y′＝(cos xsin 3x)′ ＝(cos x)′sin 3x＋cos x(sin 3x)′ ＝－sin xsin 3x＋3cos xcos 3x ＝3cos xcos 3x－sin xsin 3x. 10．偶函數(shù)f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的圖象過點P(0,1)，且在x＝1處的切線方程為y＝x－2，求f(x)的解析式． 解：∵f(x)的圖象過點P(0,1)，∴e＝1. 又∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)． 故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e. ∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1. ∵函數(shù)f(x)在x＝1處的切線方程為y＝x－2， ∴切點為(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1. ∵f′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1. ∴a＝，c＝－. ∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x4－x2＋1. 層級二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1．若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)等于(　　) A．－1　　　　　　　　　 　B．－2 C．2 D．0 解析：選B　∵f′(x)＝4ax3＋2bx為奇函數(shù)，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2. 2．曲線y＝xex－1在點(1,1)處切線的斜率等于(　　) A．2e B．e C．2 D．1 解析：選C　函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝ex－1＋xex－1＝(1＋x)ex－1， 當(dāng)x＝1時，f′(1)＝2，即曲線y＝xex－1在點(1,1)處切線的斜率k＝f′(1)＝2，故選C. 3．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，則f′(e)＝(　　) A．e－1 B．－1 C．－e－1 D．－e 解析：選C　∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x， ∴f′(x)＝2f′(e)＋， ∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，故選C. 4．若曲線f(x)＝x4－x在點P處的切線平行于直線3x－y＝0，則點P的坐標(biāo)為(　　) A．(－1,2) B．(1，－3) C．(1,0) D．(1,5) 解析：選C　設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，因為f′(x)＝4x3－1，所以f′(x0)＝4x－1＝3，即x0＝1，把x0＝1代入函數(shù)f(x)＝x4－x得y0＝0，所以點P的坐標(biāo)為(1,0)． 5．已知直線y＝2x－1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為________________． 解析：∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝，設(shè)切點為(x0，y0)， 則y0＝2x0－1，y0＝ln(x0＋a)，且＝2， 解之得a＝ln 2. 答案：ln 2 6．曲線y＝在點(1,1)處的切線為l，則l上的點到圓x2＋y2＋4x＋3＝0上的點的最近距離是____________． 解析：y′＝－，則y′＝－1，∴切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圓心(－2,0)到直線的距離d＝2，圓的半徑r＝1，∴所求最近距離為2－1. 答案：2－1 7．已知曲線f(x)＝x3＋ax＋b在點P(2，－6)處的切線方程是13x－y－32＝0. (1)求a，b的值； (2)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線l：y＝－x＋3垂直，求切點坐標(biāo)與切線的方程． 解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝3x2＋a， 由題意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6， 解得a＝1，b＝－16. (2)∵切線與直線y＝－x＋3垂直， ∴切線的斜率k＝4. 設(shè)切點的坐標(biāo)為(x0，y0)， 則f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝1. 由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14， 或y0＝－1－1－16＝－18. 則切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14. 8．設(shè)fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2. (1)求fn′(2)； (2)證明：fn(x)在內(nèi)有且僅有一個零點(記為an)，且0＜an－＜. 解：(1)由題設(shè)fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1. 所以fn′(2)＝1＋22＋…＋(n－1)2n－2＋n2n－1，① 則2fn′(2)＝2＋222＋…＋(n－1)2n－1＋n2n，② ①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n2n ＝－n2n＝(1－n)2n－1， 所以fn′(2)＝(n－1)2n＋1. (2)因為f(0)＝－1＜0， fn＝－1＝1－2n≥1－22＞0， 因為x≥0，n≥2. 所以fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1為增函數(shù)， 所以fn(x)在內(nèi)單調(diào)遞增， 因此fn(x)在內(nèi)有且僅有一個零點an. 由于fn(x)＝－1， 所以0＝fn(an)＝－1， 由此可得an＝＋a＞， 故＜an＜. 所以0＜an－＝a＜n＋1＝.