2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 拋物線的幾何性質(zhì)(第2課時(shí))拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)案(含解析)新人教B版選修1 -1.docx
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第2課時(shí) 拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握拋物線的幾何特性.2.學(xué)會(huì)解決直線與拋物線相關(guān)的綜合問(wèn)題. 知識(shí)點(diǎn) 直線與拋物線的位置關(guān)系 1.直線與拋物線的位置關(guān)系與公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 位置關(guān)系 公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 相交 有兩個(gè)或一個(gè)公共點(diǎn) 相切 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 相離 無(wú)公共點(diǎn) 2.直線y=kx+b與拋物線y2=2px(p>0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于x的方程k2x2+2(kb-p)x+b2=0的解的個(gè)數(shù).當(dāng)k≠0時(shí),若Δ>0,則直線與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn);當(dāng)Δ=0時(shí),直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)Δ<0時(shí),直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn).當(dāng)k=0時(shí),直線與 拋物線的對(duì)稱軸平行或重合,此時(shí)直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn). 1.若直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則直線與拋物線必相切.( ) 2.直線與拋物線相交弦的弦長(zhǎng)公式是|AB|=|x1-x2|=x1+x2+p.( ) 3.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑,那么拋物線x2=-2ay(a>0)的通徑長(zhǎng)為2a.( √ ) 題型一 直線與拋物線的位置關(guān)系 例1 已知直線l:y=k(x+1)與拋物線C:y2=4x,問(wèn):k為何值時(shí),直線l與拋物線C有兩個(gè)交點(diǎn),一個(gè)交點(diǎn),無(wú)交點(diǎn)? 解 由方程組 消去y,得k2x2+(2k2-4)x+k2=0, Δ=(2k2-4)2-4k4=16(1-k2). (1)若直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn), 則k2≠0且Δ>0, 即k2≠0且16(1-k2)>0, 解得k∈(-1,0)∪(0,1). 所以當(dāng)k∈(-1,0)∪(0,1)時(shí), 直線l和拋物線C有兩個(gè)交點(diǎn). (2)若直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn), 則k2=0或當(dāng)k2≠0時(shí),Δ=0, 解得k=0或k=1. 所以當(dāng)k=0或k=1時(shí),直線l和拋物線C有一個(gè)交點(diǎn). (3)若直線與拋物線無(wú)交點(diǎn), 則k2≠0且Δ<0. 解得k>1或k<-1. 所以當(dāng)k>1或k<-1時(shí), 直線l和拋物線C無(wú)交點(diǎn). 反思感悟 直線與拋物線交點(diǎn)的個(gè)數(shù),等價(jià)于直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到的方程組解的個(gè)數(shù).注意直線斜率不存在和得到的方程二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況. 跟蹤訓(xùn)練1 平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)F(0,1)和到定直線y=-1的距離相等,設(shè)M的軌跡是曲線C. (1)求曲線C的方程; (2)在曲線C上找一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到直線y=x-2的距離最短,求出P點(diǎn)的坐標(biāo); (3)設(shè)直線l:y=x+m,問(wèn)當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí),直線l與曲線C有交點(diǎn)? 解 (1)x2=4y. (2)設(shè)點(diǎn)P,點(diǎn)P到直線y=x-2的距離為 ==, 當(dāng)x0=2時(shí),取得最小值,此時(shí)P(2,1). (3)由得x2-4x-4m=0, Δ=42-4(-4m)≥0,m≥-1. 所以當(dāng)m≥-1時(shí),直線l和曲線C有交點(diǎn). 題型二 與弦長(zhǎng)中點(diǎn)弦有關(guān)的問(wèn)題 例2 已知A,B為拋物線E上不同的兩點(diǎn),若拋物線E的焦點(diǎn)為(1,0),線段AB恰被M(2,1)所平分. (1)求拋物線E的方程; (2)求直線AB的方程. 解 (1)由于拋物線的焦點(diǎn)為(1,0),所以=1,p=2, 所以拋物線的方程為y2=4x. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則y=4x1,① y=4x2,② 且x1+x2=4,y1+y2=2. 由②-①得,(y1+y2)(y2-y1)=4(x2-x1), 所以=2. 所以所求直線AB的方程為y-1=2(x-2), 即2x-y-3=0. 反思感悟 中點(diǎn)弦問(wèn)題有兩種解法: (1)點(diǎn)差法:將兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程,作差,由k=求斜率,再由點(diǎn)斜式求解. (2)傳統(tǒng)法:設(shè)直線方程,并與拋物線的方程聯(lián)立,消去x(或y)得關(guān)于y(或x)的一元二次方程,由根與系數(shù)的關(guān)系,得兩根之和即為中點(diǎn)縱(或橫)坐標(biāo)的2倍,從而求斜率. 跟蹤訓(xùn)練2 已知拋物線y2=6x,過(guò)點(diǎn)P(4,1)引一條弦P1P2使它恰好被點(diǎn)P平分,求這條弦所在的直線方程及|P1P2|. 解 方法一 由題意易知直線方程的斜率存在,設(shè)所求方程為y-1=k(x-4).由 得ky2-6y-24k+6=0. 當(dāng)k=0時(shí),y=1,顯然不成立. 當(dāng)k≠0時(shí),Δ=62-4k(-24k+6)>0.① 設(shè)弦的兩端點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2), ∴y1+y2=,y1y2=. ∵P1P2的中點(diǎn)為(4,1), ∴=2,∴k=3,適合①式. ∴所求直線方程為y-1=3(x-4), 即3x-y-11=0, ∴y1+y2=2,y1y2=-22, ∴|P1P2|= ==. 方法二 設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2). 則y=6x1,y=6x2, ∴y-y=6(x1-x2),又y1+y2=2, ∴==3, ∴所求直線的斜率k=3, 所求直線方程為y-1=3(x-4), 即3x-y-11=0. 由得y2-2y-22=0, ∴y1+y2=2,y1y2=-22, ∴|P1P2|= ==. 題型三 拋物線性質(zhì)的綜合應(yīng)用 命題角度1 拋物線中的定點(diǎn)(定值)問(wèn)題 例3 已知點(diǎn)A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn),且OA⊥OB. (1)求兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積; (2)求證:直線AB過(guò)定點(diǎn). (1)解 設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2), 則有kOA=,kOB=. 因?yàn)镺A⊥OB,所以kOAkOB=-1, 所以x1x2+y1y2=0. 因?yàn)閥=2px1,y=2px2, 所以+y1y2=0. 因?yàn)閥1≠0,y2≠0, 所以y1y2=-4p2, 所以x1x2=4p2. (2)證明 因?yàn)閥=2px1,y=2px2, 所以(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2), 所以=, 所以kAB=, 故直線AB的方程為y-y1=(x-x1), 所以y=+y1-, 即y=+. 因?yàn)閥=2px1,y1y2=-4p2, 所以y=+, 所以y=(x-2p), 即直線AB過(guò)定點(diǎn)(2p,0). 反思感悟 在直線和拋物線的綜合題中,經(jīng)常遇到求定值、過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,解決這類問(wèn)題的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等,解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化. 跟蹤訓(xùn)練3 如圖,過(guò)拋物線y2=x上一點(diǎn)A(4,2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AB,AC交拋物線于B,C兩點(diǎn),求證:直線BC的斜率是定值. 證明 方法一 設(shè)AB的斜率為k,則AC的斜率為-k. 把直線AB的方程y-2=k(x-4)與y2=x聯(lián)立得 y-2=k(y2-4),即ky2-y-4k+2=0. ∵y=2是此方程的一個(gè)解, ∴2yB=,∴yB=, ∴xB=y(tǒng)=, ∴B. ∵kAC=-k, ∴以-k代替k代入B點(diǎn)坐標(biāo)得C. ∴kBC==-,為定值. 方法二 設(shè)B(y,y1),C(y,y2),則kBC==. ∵kAB==,kAC==, 由題意得kAB=-kAC, ∴=-,則y1+y2=-4, 則kBC=-,為定值. 命題角度2 對(duì)稱問(wèn)題 例4 在拋物線y2=4x上恒有兩點(diǎn)A,B關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱,求k的取值范圍. 解 因?yàn)锳,B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱, 所以可設(shè)直線AB的方程為x=-ky+m. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 把直線AB的方程代入拋物線方程,得y2+4ky-4m=0, 設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(x0,y0), 則y0==-2k,x0=2k2+m. 因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)在直線y=kx+3上, 所以-2k=k(2k2+m)+3,即m=-. 因?yàn)橹本€AB與拋物線y2=4x交于A,B兩點(diǎn), 所以Δ=16k2+16m>0, 把m=-代入, 化簡(jiǎn),得<0, 所以<0. 因?yàn)閗2-k+3=2+>0,所以<0, 解得-1- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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