（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列 課時(shí)分層作業(yè) 三十三 5.5 數(shù)列的綜合應(yīng)用 文.doc

課時(shí)分層作業(yè) 三十三 數(shù)列的綜合應(yīng)用一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知a,b,c是三個(gè)不同的實(shí)數(shù),若a,b,c成等差數(shù)列,且b,a,c成等比數(shù)列,則abc為()A.214B.(-2)14C.124D.1(-2)4【解析】選B.由a,b,c成等差數(shù)列,設(shè)a=m-d,b=m,c=m+d,d0,因?yàn)閎,a,c成等比數(shù)列,所以a2=bc,即(m-d)2=m(m+d),化簡(jiǎn),得d=3m,則a=-2m,b=m,c=4m,所以abc=(-2)14.2.設(shè)y=f(x)是一次函數(shù),若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比數(shù)列,則f(2)+f(4)+f(2n)等于()A.n(2n+3)B.n(n+4)C.2n(2n+3)D.2n(n+4)【解析】選A.由題意可設(shè)f(x)=kx+1(k0),則(4k+1)2=(k+1)(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+f(2n)=(22+1)+(24+1)+(22n+1)=n(2n+3).3.若a,b是函數(shù)f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn),且a,b,-2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,則p+q的值等于()A.6B.7C.8D.9【解析】選D.由題可知a,b是x2-px+q=0的兩根,所以a+b=p>0,ab=q>0,故a,b均為正數(shù).因?yàn)閍,b,-2適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,所以-2是a,b的等比中項(xiàng),所以ab=4,所以q=4.又a,b,-2適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,所以-2是第一項(xiàng)或第三項(xiàng),不妨設(shè)a<b,則-2,a,b成遞增的等差數(shù)列,所以2a=b-2,聯(lián)立消去b得a2+a-2=0,解得a=1或a=-2,又因?yàn)閍>0,所以a=1,此時(shí)b=4,所以p=a+b=5,所以p+q=9.當(dāng)b<a時(shí),同樣求得p+q=9.【變式備選】如圖,在等腰直角三角形ABC中,斜邊BC=2,過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線,垂足為A1,過(guò)點(diǎn)A1作AC的垂線,垂足為A2;過(guò)點(diǎn)A2作A1C的垂線,垂足為A3;,以此類推.設(shè)BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,A5A6=a7,則a7=_.【解析】根據(jù)題意易得a1=2,a2=,a3=1,所以數(shù)列an構(gòu)成以a1=2,q=的等比數(shù)列,所以a7=a1q6=2=.答案:4.已知a,b,c成等比數(shù)列,a,m,b和b,n,c分別成兩個(gè)等差數(shù)列,則+等于()A.4B.3C.2D.1【解析】選C.由題意得b2=ac,2m=a+b,2n=b+c,則+=2.【一題多解】解答本題,還有以下解法:特殊值法:選C.因?yàn)閍,b,c成等比數(shù)列,所以令a=2,b=4,c=8,又a,m,b和b,n,c分別成兩個(gè)等差數(shù)列,則m=3,n=6,因此+=+=2.【變式備選】各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比q1,且a2,a3,a1成等差數(shù)列,則的值為_.【解析】an的公比為q(q>0且q1),由a3=a2+a1,得q2-q-1=0,解得q=,而=.答案:5.(2018宜賓模擬)數(shù)列an的通項(xiàng)an=n(cos2-sin2),其前n項(xiàng)和為Sn,則S40為()A.10B.15C.20D.25【解析】選C.由題意得,an=n(cos2-sin2)=ncos,則a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,于是a2n-1=0,a2n=(-1)n2n,則S40=(a1+a3+a39)+(a2+a4+a6+a40)=-2+4-+40=20.二、填空題(每小題5分,共15分)6.對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n,設(shè)曲線y=xn+2在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn,令an=log2xn,則a1+a2+a3+a62=_.【解析】因?yàn)閥=(n+2)xn+1,當(dāng)x=1時(shí),y=n+2,所以曲線y=xn+2在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y=(n+2)x-(n+1),令y=0,得xn=.所以an=log2xn=log2.所以a1+a2+a3+a62=log2=log2=-5.答案:-57.某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍,則需要的最少天數(shù)n(nN*)等于_.【解析】每天植樹的棵數(shù)構(gòu)成以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和Sn=2n+1-2.由2n+1-2100,得2n+1102,由于26=64,27=128,則n+17,即n6.答案:68.(2018襄陽(yáng)模擬)用g(n)表示自然數(shù)n的所有因數(shù)中最大的那個(gè)奇數(shù),例如:9的因數(shù)有1,3,9,則g(9)=9,10的因數(shù)有1,2,5,10,g(10)=5,那么g(1)+g(2)+g(2n-1)=_.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)37680545【解析】由g(n)的定義易知g(n)=g(2n),且若n為奇數(shù)則g(n)=n,令f(n)=g(1)+g(2)+g(3)+g(2n-1)則f(n+1)=g(1)+g(2)+g(3)+g(-1)=1+3+(-1)+g(2)+g(4)+g(-2)=+g(1)+g(2)+g(2n-1)=4n+f(n),即f(n+1)-f(n)=4n,據(jù)此可得:f(1)=1,f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,f(n)-f(n-1)=4n-1,以上各式相加可得:f(n)=.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2018南寧模擬)某體育場(chǎng)一角的看臺(tái)共有20排,且此看臺(tái)的座位是這樣排列的:第一排有2個(gè)座位,從第二排起每一排比前一排多1個(gè)座位,記an表示第n排的座位數(shù).(1)確定此看臺(tái)共有多少個(gè)座位.(2)求數(shù)列的前20項(xiàng)和S20.【解析】(1)由題可知數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,所以an=2+n-1=n+1(1n20).所以此看臺(tái)的座位數(shù)為=230.(2)因?yàn)?-,所以S20=1-+-+-=1-=.10.已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d.對(duì)任意的nN*,bn是an和an+1的等比中項(xiàng).(1)設(shè)cn=-,nN*,求證:數(shù)列cn是等差數(shù)列.(2)設(shè)a1=d,Tn=(-1)k,nN*,求證:<.【解析】(1)cn=-=an+1an+2-anan+1=2dan+1.cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2為定值.所以數(shù)列是等差數(shù)列.(2)Tn=(-1)k=c1+c3+c2n-1=nc1+4d2=nc1+2d2n(n-1)(*).由已知c1=-=a2a3-a1a2=2da2=2d(a1+d)=4d2,將c1=4d2代入(*)式得Tn=2d2n(n+1),所以=<,得證.【變式備選】已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(n,Sn)(nN*)在二次函數(shù)y=f(x)的圖象上.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)bn=anan+1cos(n+1)(nN*),數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,若Tntn2對(duì)nN*恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【解題指南】(1)由已知可得數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的公式,再利用an= 求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)分n為奇數(shù)與偶數(shù)先求出Tn,Tntn2對(duì)nN*恒成立,通過(guò)分離參數(shù)t轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,即可求得實(shí)數(shù)t的取值范圍.【解析】(1)由題意可知f(x)=(x+1)2-.所以Sn=(n+1)2-=n2+n(nN*).當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+n-=.當(dāng)n=1時(shí)a1=S1=1適合上式,所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=(nN*).(2)因?yàn)閎n=anan+1cos(n+1)(nN*),所以Tn=b1+b2+bn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+(-1)n-1anan+1,由(1)可知,數(shù)列an是以1為首項(xiàng),公差為的等差數(shù)列.當(dāng)n=2m,mN*時(shí),Tn=T2m=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+(-1)2m-1a2ma2m+1=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+a2m(a2m-1-a2m+1)=-(a2+a4+a2m)=-m=-(8m2+12m)=-(2n2+6n).當(dāng)n=2m-1,mN*時(shí),Tn=T2m-1=T2m+(-1)2ma2ma2m+1=-(8m2+12m)+(16m2+16m+3)=(8m2+4m+3)=(2n2+6n+7).所以Tn= 要使Tntn2對(duì)nN*恒成立,只要使-(2n2+6n)tn2(n為正偶數(shù))恒成立.即使-t對(duì)n為正偶數(shù)恒成立,故實(shí)數(shù)t的取值范圍是.1.(5分)某學(xué)校餐廳每天供應(yīng)500名學(xué)生用餐,每星期一有A,B兩種菜可供選擇.調(diào)查資料表明,凡是在星期一選A種菜的學(xué)生,下星期一會(huì)有20%改選B種菜;而選B種菜的學(xué)生,下星期一會(huì)有30%改選A種菜.用an,bn分別表示在第n個(gè)星期的星期一選A種菜和選B種菜的學(xué)生人數(shù),若a1=300,則an+1與an的關(guān)系可以表示為 ()A.an+1=an+150B.an+1=an+200C.an+1=an+300D.an+1=an+180【解析】選A.由題意得第n+1個(gè)星期的星期一選A種菜的學(xué)生人數(shù)an+1應(yīng)滿足消去bn,得an+1=an+150.2.(5分)(2018鄭州模擬)已知f(x)=2x+m,且f(0)=0,函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A(1,f(1)處的切線的斜率為3,數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,則S2 018的值為()A.B.C.D.【解析】選B.由題意f(1)=2+m=3,所以m=1,所以f(x)=2x+1,又f(0)=0可得f(x)=x2+x,則=-,所以S2 018=1-+-+-=1-=.【變式備選】已知函數(shù)f(x)是定義在(0,+)上的單調(diào)函數(shù),且對(duì)任意的正數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(nN*),則an為()A.2n-1B.nC.2n-1 D.【解析】 選D.由f(Sn+2)=f(an)+f(3)(nN*),得Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n2),兩式相減得,2an=3an-1(n2),即=.當(dāng)n=1時(shí),S1+2=3a1=a1+2,解得a1=1,所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,則an=.3.(5分)已知等比數(shù)列an中,各項(xiàng)都是正數(shù),且a1,a3,2a2成等差數(shù)列,則=_.【解析】因?yàn)?a1,a3,2a2成等差數(shù)列,所以 2a3=a1+2a2,即a3=a1+2a2,設(shè)等比數(shù)列an的公比為q且q>0,則a3=a1q2,a2=a1q,所以 a1q2=a1+2a1q,所以 q2=1+2q,解得q1=1+,q2=1-(舍),=q2=(+1)2=3+2.答案:3+24.(12分)已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=,an+1=,nN*.(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列.(2)記Sn=+,若Sn<100,求最大正整數(shù)n.【解析】(1)由an+1=可得=+,所以-1=-=.又因?yàn)?1=0,所以-10(nN*).所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.(2)由(1)可得-1=,所以=2+1.Sn=+=n+2=n+2=n+1-,若Sn<100,則n+1-<100,所以滿足條件的最大正整數(shù)n為99.5.(13分)已知數(shù)列an是等比數(shù)列,首項(xiàng)a1=1,公比q>0,其前n項(xiàng)和為Sn,且S1+a1,S3+a3,S2+a2成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)若數(shù)列bn滿足an+1=,Tn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和,若Tnm恒成立,求m的最大值.【解析】(1)由題意可知:2(S3+a3)=(S1+a1)+(S2+a2),即2(a1+a2+2a3)=(a1+a1)+(a1+2a2),即4a3=a1,所以q2=,因?yàn)閝>0,所以q=,因?yàn)閍1=1,所以an=,nN*.(2)因?yàn)閍n+1=,所以=,所以bn=n2n-1,所以Tn=11+22+322+n2n-1,所以2Tn=12+222+323+n2n,所以-得-Tn=1+2+22+2n-1-n2n=-n2n=(1-n)2n-1,所以Tn=1+(n-1)2n.因?yàn)門nm恒成立,只需(Tn)minm.因?yàn)門n+1-Tn=n2n+1-(n-1)2n=(n+1)2n>0,所以數(shù)列Tn為遞增數(shù)列,故當(dāng)n=1時(shí),(Tn)min=1,所以m1,所以m的最大值為1.