2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 2.2 證明不等式的基本方法導(dǎo)學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

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2.2 　證明不等式的基本方法 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1．了解綜合法與分析法證明不等式的思考過(guò)程與特點(diǎn)． 2．會(huì)用綜合法、分析法證明簡(jiǎn)單的不等式． 一、自學(xué)釋疑 根據(jù)線上提交的自學(xué)檢測(cè)，生生、師生交流討論，糾正共性問(wèn)題。 二、合作探究 探究1　如何理解分析法尋找的是充分條件？ 探究2　綜合法與分析法有何異同點(diǎn)？ 1.綜合法證明不等式 (1)用綜合法證明不等式需要把“從已知出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證不等式得證”的全過(guò)程寫(xiě)出來(lái)，其特點(diǎn)可描述為“由因?qū)Ч保蓤D示為??…?.圖中P表示已知或已有的定義、定理、性質(zhì)等，Q為要證的結(jié)論． (2)綜合法證明時(shí)常用的不等式：a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取等號(hào))，≥(a，b∈R＋，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取等號(hào))，a2≥0，|a|≥0，(a－b)2≥0，＋≥2(ab>0)． 2．分析法證明不等式 (1)當(dāng)證明題不知從何入手時(shí)，可以用分析法而獲得解決．它從待證的結(jié)論入手，步步尋求結(jié)論成立的充分條件，直至這個(gè)充分條件是顯然成立的． (2)用分析法證“若A則B”這個(gè)命題的模式是： 欲證B成立， 只需證B1成立， 只需證B2成立， …… 只需證A成立，而A已知成立，從而知“若A則B”為真． (3)用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：B?B1?B2…?Bn?A. 3．分析綜合法證明不等式 一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于較復(fù)雜的不等式，直接運(yùn)用綜合法往往不易下手，因而常用分析法尋求解題途徑，然后用綜合法進(jìn)行證明．還有些不等式的證明，需一邊分析一邊綜合，稱(chēng)之為分析綜合法(或兩頭湊法)．分析綜合法充分表明分析與綜合之間互為前提，相互滲透，相互轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系．分析的終點(diǎn)是綜合的起點(diǎn)，綜合的終點(diǎn)又成為進(jìn)一步分析的起點(diǎn). 【例1】　已知a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：≥8. 【變式訓(xùn)練1】　已知a>0，b>0，c>0， 求證：＋＋≥＋＋. 【例2】　已知a>b>0， 求證：<－<. (2)不等式兩邊需平方或開(kāi)方時(shí)，不等式兩邊必須是非負(fù)數(shù)． 【變式訓(xùn)練2】　已知a，b∈R＋，2c>a＋b， 求證：(1)c2>ab； (2)c－0，b>0，且a＋b＝1. 求證： ＋ ≤2. 　  參考答案 探究1 【提示】　用分析法證明，其敘述格式是：要證明A，只需證明B.即說(shuō)明只要有B成立，就一定有A成立．因此分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件．分析法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“正難則反”的原則，也是思維中的逆向思維，逆求(不是逆推)結(jié)論成立的充分條件． 探究2　【提示】　綜合法與分析法的異同點(diǎn) 方法 證明的起始步驟 證法過(guò)程前后邏輯關(guān)系 證題方向 綜合法 已知條件或已學(xué)過(guò)的定義、定理、性質(zhì)等 格式：A?B1?B2?…?Bn?B 由已知條件開(kāi)始推導(dǎo)其成立的必要條件(結(jié)論) 由因?qū)Ч? 分析法 要證明的結(jié)論 格式：B?B1?B2?…?Bn?A 由結(jié)論開(kāi)始探索其成立的充分條件(已知) 執(zhí)果索因 【例1】用綜合法證明如下． 【證明】　∵a，b，c均為正數(shù)，a＋b＋c＝1， ∴－1＝＝＝＋≥2. 同理－1≥2， －1≥2. 由于上面三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得 ≥＝8 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)，取等號(hào)． 【變式訓(xùn)練1】證明　∵a>0，b>0，c>0， ∴＋≥2 ＝. 同理＋≥，＋≥. 以上三個(gè)不等式相加，得 2≥＋＋. ∴＋＋≥＋＋. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，取等號(hào)． 【例2】【證明】　∵a>b>0，要證<－<， 只需證b>0，∴>1,0<<1. ∴ >1, <1成立． ∴<－<成立． 【變式訓(xùn)練2】證明　(1)∵2c>a＋b，a>0，b>0， ∴4c2>(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≥2ab＋2ab＝4ab. ∴c2>ab. (2)要證c－0，∴只需證a＋b<2c. 這是題設(shè)條件，顯然成立，故原不等式成立． 【例3】【證明】　要證(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立， 即證＋＝成立， 即證＋＝3， 即＋＋＋＝3， 即證＋＝1， 又需證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 即c2＋a2＝b2＋ac. 又△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列， 所以B＝， 由余弦定理cosB＝＝， 所以a2＋c2－b2＝ac， 所以原命題成立． 　 　 【變式訓(xùn)練3】證明　要證 ＋ ≤2， 只需證a＋＋b＋＋2≤4， 即證 ≤1， 只需證ab＋(a＋b)＋≤1， 只需證ab≤. ∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴ab≤2＝. ∴原不等式成立．