陜西省藍田縣高中數學 第二章 解析幾何初步 2.1.1 橢圓的定義和標準方程的教案 北師大版必修2.doc

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橢圓的定義和標準方程 一、教學內容分析 本課選自《普通高中課程標準實驗教科書（選修2-1）數學》（北師大版），第三章第一節(jié)。本節(jié)教材的主要內容是使學生了解橢圓的實際背景，感受橢圓刻畫現(xiàn)實世界和在實際問題中的作用，使學生經歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程；掌握橢圓的定義，標準方程的推導過程及步驟，標準方程中a、b、c的代數意義，標準方程及其軌跡。本節(jié)對橢圓的定義及其軌跡的研究，使學生在學習了圓及其方程后，又一次探究了定義的本質，通過探究使學生從感性認識上升到了理性認識，形成了對橢圓定義的深刻理解，培養(yǎng)了學生研究軌跡的能力，從而進一步讓學生體驗“用方程研究曲線”這一基本思想，體現(xiàn)了數學的美，也符合認知的漸進原則。 二、學生學習情況分析 我校是普通高級中學，有很好的多媒體設備，但是學生數學基礎比較薄弱，所以在這節(jié)課之前，我?guī)ьI了學生進行了對圓及其軌跡方程的復習，尤其是推導過程，使學生有很想研究其他曲線的欲望。 三、設計思想 為了讓學生“學會”知識，而且“會學”知識，并體現(xiàn)新課程的理念，首先為了激發(fā)學生的學習積極性，我做了很好的情景創(chuàng)設；其次圍繞教材的重難點（橢圓概念的形成、標準方程及其推導），設置活動環(huán)節(jié)，設置由淺入深環(huán)環(huán)相扣的問題，在教學中我適時的引導和學生間、師生間的互動，讓學生經歷了分析、發(fā)現(xiàn)、探究及反思的過程，使學生真正成為學習的主人并提高獲取知識的能力，嘗試合作的樂趣，體驗成功的喜悅。 四、教學目標 1.使學生了解橢圓的實際背景，感受橢圓刻畫現(xiàn)實世界和實際問題的作用。 2.掌握橢圓的定義，標準方程的推導及步驟，標準方程中a、b、c的代數和幾何意義，標準方程及其軌跡。 3.掌握直接法求曲線方程，培養(yǎng)學生數形結合的數學思想，提高分析問題的能力。 4.營造親切、和諧的氛圍，以“趣”激學，引導學生用運動變化的觀點發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，體會數學的簡潔美、和諧美，培養(yǎng)合作學習的意識，體會成功帶來的喜悅，發(fā)現(xiàn)數學的應用意識，體會數學的應用價值。 五、教學的重點和難點 教學重點：橢圓的定義和標準方程的推導，學生的自主建立坐標系以及方程中a、b、c的理解． 教學難點：橢圓概念的形成，． 六、教 具：多媒體、實物投影儀 ． 七、教學過程： （一）情境引入 （借助多媒體）以圖片展示開始引入，讓學生有一個對橢圓的感官認識，并知道在現(xiàn)實生活中隨處可以見到橢圓。 情境預設：學生對圖片感興趣，通過老師的引導，激發(fā)學生對橢圓的探究的熱情。 （二）探求新知. 1.拋出問題：“如何精確地設計、制作、建造出現(xiàn)實生活中這些橢圓形的物件呢？”，讓學生探討后，給出橢圓的畫法。 情境預設：學生畫橢圓的方法可能都比較含混，不夠精確，比如把圓壓扁的思想方法描繪等。 2.老師用一根繩子，把它的兩端固定在畫板的F1和F2處，要求繩長大于兩點的距離，用鉛筆把繩子拉緊，使筆尖在畫板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓。 設計意圖：知道橢圓的畫法，并從畫法中感受繩長和兩定點間距離的關系,知道繩長大于兩定點間的距離.這么做主要是為了讓學生更深的理解橢圓的定義中，“動點M到兩定點F1 F2的距離和是一定值”，為學生得出橢圓的定義打下了基礎。 3.橢圓的定義 畫出橢圓后，讓學生試著描述橢圓的定義，最后讓學生讀課本，得出橢圓的規(guī)范定義：平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數（大于）的點的軌跡叫作橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距 ． 設計意圖：一方面是培養(yǎng)學生的分析歸納能力，一方面是出于對學生的數學基礎較弱的考慮。 老師對定義進行分析并強調三點:①“在平面內”; ②動點到兩定點間的距離和是一個定值（設為2a）; ③兩定點間的距離（設為2c）小于2a. 4.橢圓的方程 ①復習用坐標法求動點軌跡方程的一般步驟: （1）建立適當的坐標系，用有序實數對（x,y）表示曲線上任意一點的坐標； （2）寫出適合條件 P（M） ; （3）用坐標表示條件P（M），列出方程 ; （4）化方程為最簡形式; （5）證明已化簡后的方程為所求方程(可以省略不寫,如有特殊情況，可以適當予以說明) 引入求橢圓的方程的推導。 設置問題：怎么叫“建立適當的坐標系”呢？ ②研究建立坐標系的問題，從而得出建立坐標系的一般原則： 情境預設：將坐標系建在橢圓上不同的位置，讓學生觀察，并寫出端點坐標，在這個過程中，學生會發(fā)現(xiàn)和想起建系的規(guī)律。 ⑴盡可能使方程的形式簡單、運算簡單； ⑵利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸. ③得出坐標系后，設出動點和兩定點的坐標，根據定義“動點到兩定點的距離的和等于定值（即），列出方程并化簡，從而得出橢圓的方程： (強調,焦點坐標為,焦點在軸，中心在坐標原點) 如圖示： 0 F1 F2 M 提出問題：根據建系原則，是否還有其他的坐標系呢？ 情境預設：學生根據建系原則，仔細思考，會發(fā)現(xiàn)將焦點放在y軸上。 ④再調換坐標軸得出焦點在y軸上的橢圓方程。 ⑤根據圖形及方程分析方程中的a、b、c的幾何和代數意義，讓學生更深入的體會橢圓方程中的a、b、c，從而理解橢圓方程。 下來例題中設計相關對橢圓方程的認識的例子，比如對a>0,b>0,c>0的考察，焦點位置的判斷，a>b的應用問題等。 例1.判斷下列哪些是橢圓方程？若是，則判斷焦點在那個坐標軸？并指出a2、b2和焦點坐標 例2.求適合下列條件的橢圓的標準方程 ⑴ ，焦點在軸上； ⑵焦點為,,且； ⑶兩個焦點分別為,,且過點; ⑷經過點和. 例3已知方程表示焦點在軸上得橢圓，求的取值范圍。 八、小結概括 提出問題：本節(jié)課你都學習了哪些內容？ 預設情境： 學生回答： 如何畫橢圓、橢圓的定義、橢圓的標準方程 老師進行總結： 定義 平面內與兩定點F1、F2距離的和等于常數（大于）的點的軌跡。 標準方程 圖形 x F1 M o y A O x y M F1 F2 A B 焦點坐標 ， ， 之間的關系 的幾何意義 如上圖中的： ,, 提出問題：除了知識方面的以外，還有哪些思想方法是我們必須掌握的？ 預設情境：學生回答：數形結合法；觀察歸納法。 老師補充：類比的方法。 最后老師總結：今天學習的內容不是很多，但是我們從知識、能力、思想與應用等方面都理解和體驗了數學的奧秘，如果我們做生活的有心人，就會發(fā)現(xiàn)數學與生活是密切聯(lián)系的。 九、作業(yè)布置 課本68頁習題3—1，第1、4題； 十、板書設計 橢圓及其標準方程 1. 橢圓的定義 2. 橢圓的標準方程 3. 橢圓方程的應用 4. 小結 橢圓標準方程的推導 例題 十一、教學反思 在教學設計中，應注意充分調動學生的已有知識，引導學生把新舊知識進行整合，掌握知識的系統(tǒng)結構。為了突破本節(jié)的難點——橢圓概念的形成，在教學設計中我設計了一個活動，讓學生親手感受畫出橢圓的過程，并培養(yǎng)學習的信心。為了突出重點我設計了另一個活動是計算機輔助在建系的教學，讓學生能夠更深刻的體會到建立合適的坐標系的必要性，通過變換坐標系，使學生逐步理解和掌握求曲線方程的步驟，強化學生求曲線方程的基本功?？傊?，在以“學生為核心”的理念引導下，我要在每個階段的教學中都精心設計問題情境，為學生自主探究和發(fā)現(xiàn)創(chuàng)設條件，為學生的實踐能力和創(chuàng)新能力，構造一個探索性的學習空間。