（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 考點規(guī)范練37 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系.docx

考點規(guī)范練37空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系基礎(chǔ)鞏固組1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是線段BC,CD1的中點,則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是()A.相交B.異面C.平行D.垂直答案A解析如圖所示,直線A1B與直線外一點E確定的平面為A1BCD1,EF平面A1BCD1,且兩直線不平行,故兩直線相交.2.若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿足l1l2,l2l3,l3l4,則下列結(jié)論一定正確的是()A.l1l4B.l1l4C.l1與l4既不垂直也不平行D.l1與l4的位置關(guān)系不確定答案D解析如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1,取l1為BB1,l2為BC,l3為AD,l4為CC1,則l1l4,可知選項A錯誤;取l1為BB1,l2為BC,l3為AD,l4為C1D1,則l1l4,故B錯誤,則C也錯誤,故選D.3.(2018浙江高三模擬)給定下列兩個關(guān)于異面直線的命題:命題(1):若平面上的直線a與平面上的直線b為異面直線,直線c是與的交線,則c至多與a,b中的一條相交;命題(2):不存在這樣的無窮多條直線,它們中的任意兩條都是異面直線.那么()A.命題(1)正確,命題(2)不正確B.命題(2)正確,命題(1)不正確C.兩個命題都正確D.兩個命題都不正確答案D解析如圖所示,當(dāng)c可以與a,b都相交,但交點不是同一個點時,平面上的直線a與平面上的直線b為異面直線,因此(1)是假命題;對于(2),可以取無窮多個平行平面,在每個平面上取一條直線,且使這些直線兩兩不同向,則這些直線中任意兩條是異面直線,從而(2)是假命題;故選D.4.已知直線a,b分別在兩個不同的平面,內(nèi).則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析若直線a,b相交,設(shè)交點為P,則Pa,Pb.又因為a,b,所以P,P.故,相交.反之,若,相交,設(shè)交線為l,當(dāng)a,b都與直線l不相交時,則有ab.顯然a,b可能相交,也可能異面或平行.綜上,“直線a,b相交”是“平面,相交”的充分不必要條件.5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BB1,CC1的中點,那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為()A.45B.35C.23D.57答案B解析連接DF,則AEDF,D1FD為異面直線AE與D1F所成的角.設(shè)正方體棱長為a,則D1D=a,DF=52a,D1F=52a,cosD1FD=52a2+52a2-a2252a52a=35.6.正方體ABCD-A1B1C1D1的12條棱中,與棱AA1是異面直線且互相垂直的棱有條.答案4解析與AA1異面且垂直的有B1C1,BC,CD,C1D1.7.如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,點E,F分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,則EF和CD所成的角是.答案60解析連接A1D,AD1,則F恰好是它們的交點,同理E是A1C1,B1D1的交點.連接EF,AB1,正方體ABCD-A1B1C1D1中,B1BD1D,且B1B=D1D,四邊形BB1D1D是平行四邊形,可得BDB1D1.因此,FED1(或其補角)就是EF和BD所成的角.設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則FED1中,D1E=D1F=EF=22,FED1是等邊三角形,可得FED1=60.由此可得EF和BD所成的角等于60.8.如圖,在四面體ABCD中,E,F分別為AB,CD的中點,過EF任作一個平面分別與直線BC,AD相交于點G,H,則下列結(jié)論正確的是.對于任意的平面,都有直線GF,EH,BD相交于同一點;存在一個平面0,使得GFEHBD;存在一個平面0,使得點G在線段BC上,點H在線段AD的延長線上;對于任意的平面,都有SEFG=SEFH.答案解析逐一判斷.當(dāng)點G,H分別是BC和AD的中點時,直線GF,EH,BD兩兩相互平行,所以錯誤,正確;點G在BC上時,GF與BD的延長線的交點I一定在BD延長線上,連接EI,與AD的交點H一定在線段AD上,所以錯誤;過點D作DPAB交EI于點P,因為IDIB=DPBE=DPAE(相似),所以線段GCBC=DHAD,SGCFSBCD=SDFHSACD,所以四面體EFGC與ECFH的體積相等.所以EFG與EFH的面積相等,正確.故正確結(jié)論的序號是.能力提升組9.給出下列四個命題:分別與兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線;若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,則這兩個平面相互垂直;垂直于同一直線的兩條直線相互平行;若兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.其中為真命題的是()A.和B.和C.和D.和答案D解析分別與兩條異面直線都相交的兩條直線,可能相交也可能異面,故錯誤;根據(jù)面面垂直的判定定理,當(dāng)一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,那么這兩個平面一定相互垂直,故正確;垂直于同一直線的兩條直線可能平行,也可能相交,也可能異面,故錯誤;由面面垂直的性質(zhì)定理,當(dāng)兩個平面垂直,那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直,故正確.故選D.10.如圖,在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點,G,H分別在BC,CD上,且BGGC=DHHC=12,則下列說法正確的是()A.EG,FH,AC交于一點B.EF,GH,BD交于一點C.EFGH為平行四邊形D.AC平面EFGH答案A解析G,H不是BC,CD的中點,EFGH.又EFGH,EG與FH必相交,設(shè)其交點為M,EG平面ABC,HF平面ACD,M平面ABC,且M平面ACD.M在平面ABC與平面ACD的交線上.又平面ABC平面ACD=AC,MAC.故EG與HF的交點在直線AC上.11.在空間直角坐標系Oxyz中,正三角形ABC的頂點A,B分別在xOy平面和z軸上移動.若AB=2,則點C到原點O的最遠距離為()A.3-1B.2C.3+1D.3答案C解析連接OA,取AB的中點E,連接OE,CE,根據(jù)題意可得:RtAOB中,斜邊AB=2,OE=12AB=1.又正三角形ABC的邊長為2,CE=32AB=3,對圖形加以觀察,當(dāng)點A,B分別在xOy平面和z軸上移動時,可得當(dāng)O,E,C三點共線時,點C到原點O的距離最遠,且最遠距離等于3+1.故選C.12.如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1平面ABCD,ABCD,DCB=90,AB=AD=AA1=2DC,Q為棱CC1上一動點,過直線AQ的平面分別與棱BB1,DD1交于點P,R,則下列結(jié)論錯誤的是()A.對于任意的點Q,都有APQRB.對于任意的點Q,四邊形APQR不可能為平行四邊形C.存在點Q,使得ARP為等腰直角三角形D.存在點Q,使得直線BC平面APQR答案C解析ABCD,AA1DD1,平面ABB1A1平面CDD1C1,平面APQR平面ABB1A1=AP,平面APQR平面CDD1C1=RQ,APQR,故A正確.四邊形ABCD是直角梯形,ABCD,平面BCC1B1與平面ADD1A1不平行,平面APQR平面BCC1B1=PQ,平面APQR平面ADD1A1=AR,PQ與AR不平行,故四邊形APQR不可能為平行四邊形,故B正確.延長CD至M,使得DM=CM,則四邊形ABCM是矩形,BCAM.當(dāng)R,Q,M三點共線時,AM平面APQR,BC平面APQR,故D正確.故選C.13.(2017浙江溫州模擬)如圖,在四邊形ABCD中,AB=BD=DA=2,BC=CD=2.現(xiàn)將ABD沿BD折起,當(dāng)二面角A-BD-C處于6,56過程中,直線AB與CD所成角的余弦值取值范圍是()A.-528,28B.28,528C.0,28D.0,528答案D解析如圖所示,取BD中點E,連接AE,CE,AEC即為二面角A-BD-C的平面角,而AC2=AE2+CE2-2AECEcosAEC=4-23cosAEC,AEC6,56,AC1,7,ABCD=22cos<AB,CD>=AB(BD-BC)=-2+ABBCAB2+BC2-AC22ABBC=1-AC22-52,12,設(shè)異面直線AB,CD所成的角為,0cos12252=528,故選D.14.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點,則直線BN與MB1是直線(填“相交”或“平行”或“異面”);直線MN與AC所成的角的大小為.答案異面60解析(1)M,B,B1三點共面,且在平面MBB1中,點N平面MBB1,BMB1,因此直線BN與MB1是異面直線;(2)連接D1C,因為D1CMN,所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角,且角為60.15.如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長為1的正方形,點E在側(cè)棱AA1上,滿足C1EB=90,則異面直線BE與C1B1所成的角為,側(cè)棱AA1的長的最小值為.答案902解析連接BC1,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,CB平面ABB1A1,CBE=90.又C1B1BC,異面直線BE與C1B1所成的角為90.設(shè)AA1=x,AE=m(m0),所以BE2=1+m2,EC12=(x-m)2+2,BC12=1+x2,因為C1EB=90,所以BC12=EC12+BE2,即1+x2=(x-m)2+2+1+m2,即m2-mx+1=0,所以x=m+1m2當(dāng)且僅當(dāng)m=1m,即m=1時等號成立.16.(2018浙江桐鄉(xiāng)一中)在三棱錐A-BCD中,ADBC,AD=BC=2,AB=CD=4,則直線AB與CD所成角的大小為.答案45解析取BD的中點G,連接EG,FG,ABD中,E,G分別為AB,BD的中點,EGAD且EG=12AD.同理可得FGBC,且FG=12BC,EF與FG所成的直角或銳角就是異面直線EF與BC所成的角.ADBC且AD=BC,EFG中,EGGF且EG=GF.EGF=45,即異面直線EF與BC所成角等于45.故答案為45.17.已知正方形ABCD和矩形ADEF,DE平面ABCD,G是AF的中點.(1)求證:EBAC;(2)若直線BE與平面ABCD成45角,求異面直線GE與AC所成角的余弦值.(1)證明在矩形ADEF中,EDAD.平面ADEF平面ABCD,且平面ADEF平面ABCD=AD,ED平面ABCD.EDAC.(2)解由(1)知:ED平面ABCD,EBD是直線BE與平面ABCD所成的角,即EBD=45.設(shè)AB=a,則DE=BD=2a,取DE的中點M,連接AM.G是AF的中點,AMGE.MAC是異面直線GE與AC所成角或其補角.連接BD交AC于點O.AM=CM=a2+22a2=62a,O是AC的中點,MOAC.cosMAC=AOAM=22a62a=33.異面直線GE與AC所成角的余弦值為33.18.(2018北京高考)如圖,ABC是等腰直角三角形CAB=90,AC=2a,E,F分別為AC,BC的中點,沿EF將CEF折起,得到如圖所示的四棱錐C-ABFE.(1)求證:AB平面AEC;(2)當(dāng)四棱錐C-ABFE體積取最大值時,若G為BC中點,求異面直線GF與AC所成角.(1)證明因為ABC是等腰直角三角形,CAB=90,E,F分別為AC,BC的中點,所以EFAE,EFCE.又因為AECE=E,所以EF平面AEC.由于EFAB,所以有AB平面AEC.(2)解取AC中點D,連接DE,EF,FG,GD,由于GD為ABC中位線,以及EF為ABC中位線,所以四邊形DEFG為平行四邊形.直線GF與AC所成角就是DE與AC所成角.所以四棱錐C-ABFE體積取最大值時,CE垂直于底面ABFE.此時AEC為等腰直角三角形,ED為中線,所以直線EDAC.所以異面直線GF與AC所成角為90.