《2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 柯西不等式與排序不等式及其應用 2.2 排序不等式導學案 新人教B版選修4-5.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 柯西不等式與排序不等式及其應用 2.2 排序不等式導學案 新人教B版選修4-5.docx（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
2.2 排序不等式
1.了解排序不等式的“探究—猜想—證明—應用”的研究過程.
2.初步認識排序不等式的有關(guān)知識及簡單應用.
自學導引
設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實數(shù)，c1，c2，…，cn為b1，b2，…，bn的任一排列，稱a1b1＋a2b2＋…＋anbn為兩個實數(shù)組的順序積之和(簡稱順序和)，稱a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1為兩個實數(shù)組的反序積之和(簡稱反序和).稱a1c1＋a2c2＋…＋ancn為兩個實數(shù)組的亂序積之和(簡稱亂序和).
不等式a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn稱為排序原理，又稱為排序不等式.等號成立(反序和等于順序和)?a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn，排序原理可簡記作：反序和≤亂序和≤順序和.
基礎(chǔ)自測
1.已知a，b，c∈R*，則a3＋b3＋c3與a2b＋b2c＋c2a的大小關(guān)系是( )
A.a3＋b3＋c3>a2b＋b2c＋c2a
B.a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a
C.a3＋b3＋c3
0，∴a2≥b2≥c2，
故順序和為a3＋b3＋c3，則a2b＋b2c＋c2a為亂序和，
由排序不等式定理知a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a，故選B.
答案 B
2.已知a，b，c∈R*，則a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正負情況是( )
A.大于零 B.大于等于零
C.小于零 D.小于等于零
解析 不妨設(shè)a≥b≥c，∴a2≥b2≥c2，ab≥ac≥bc，
∴a2－bc≥b2－ac≥c2－ab，
由排序不等式定理，a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.
答案 B
3.設(shè)a1，a2，a3，…，an為正數(shù)，那么P＝a1＋a2＋…＋an與Q＝＋＋…＋＋的大小關(guān)系是________.
解析 假設(shè)a1≥a2≥a3≥…≥an，則≥≥…≥≥，
并且a≥a≥a≥…≥a，
P＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝＋＋＋…＋，
是反順和，Q是亂順和，由排序不等式定理P≤Q.
答案 P≤Q
知識點1 利用排序原理證明不等式
【例1】 已知a，b，c為正數(shù)，求證：≥abc.
證明 根據(jù)所需證明的不等式中a，b，c的“地位”的對稱性，不妨設(shè)a≥b≥c，則≤≤，bc≤ca≤ab.
由排序原理：順序和≥亂序和，得：
＋＋≥＋＋.
即≥a＋b＋c，
因為a，b，c為正數(shù)，所以abc>0，
a＋b＋c>0，于是≥abc.
1.已知a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，
求證：(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≥(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn).
證明 令S＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，則
S≥a1b2＋a2b3＋…＋anb1，
S≥a1b3＋a2b4＋…＋anb2，
……
S≥a1bn＋a2b1＋…＋anbn－1
將上面n個式子相加，并按列求和可得
nS≥a1(b1＋b2＋…＋bn)＋a2(b1＋b2＋…＋bn)＋…＋an(b1＋b2＋…＋bn)
＝(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)
∴S≥(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)
即(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)
≥(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn).
【例2】 設(shè)a1，a2，…，an是n個互不相同的正整數(shù)，
求證：1＋＋＋…＋≤a1＋＋＋…＋.
證明 ∵12<22<32<…>…>.
設(shè)c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an由小到大的一個排列，
即c10，
則有≤≤…≤
由切比曉夫不等式，得：
≤，
即≤，
∴≥.
2.已知a，b，c為正數(shù)，a≥b≥c.求證：＋＋≥＋＋.
證明 ∵a≥b≥c>0，
∴a3≥b3≥c3，
∴a3b3≥a3c3≥b3c3，
∴≤≤，又a5≥b5≥c5，
由排序原理得：
＋＋≥＋＋(順序和≥亂序和)，
即＋＋≥＋＋，
又∵a2≥b2≥c2，≤≤
由亂序和≥反序和得：
＋＋≥＋＋
＝＋＋.
∴＋＋≥＋＋.
基礎(chǔ)達標
1.已知a，b，c∈R＋則a3＋b3＋c3與a2b＋b2c＋c2a的大小關(guān)系是( )
A.a3＋b3＋c3＞a2b＋b2c＋c2a
B.a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a
C.a3＋b3＋c3＜a2b＋b2c＋c2a
D.a3＋b3＋c3≤a2b＋b2c＋c2a
解析 根據(jù)排序原理，取兩組數(shù)a，b，c；a2，b2，c2，不妨設(shè)a≥b≥c，所以a2≥b2≥c2.所以a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a.
答案 B
2.設(shè)a1，a2，…，an都是正數(shù)，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，則a1b＋a2＋b＋…＋anb的最小值是( )
A.1 B.n
C.n2 D.無法確定
解析 設(shè)a1≥a2≥…≥an＞0.可知a≥a≥…≥a，由排序原理，得a1b＋a2b＋…＋anb≥a1a＋a2a＋…＋ana＝n.
答案 B
3.已知a，b，c∈R＋，則a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正負情況是( )
A.大于零 B.大于等于零
C.小于零 D.小于等于零
解析 設(shè)a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，
根據(jù)排序原理，得a3a＋b3b＋c3c≥a3b＋b3c＋c3a.
又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，
所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab0
所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab.
即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.
答案 B
4.已知a，b，c都是正數(shù)，則＋＋≥________.
解析 設(shè)a≥b≥c＞0，所以≥≥.
由排序原理，知
＋＋≥＋＋， ①
＋＋≥＋＋， ②
①＋②，得＋＋≥.
答案
5.證明切比曉夫不等式中的(2).即，若a1≤a2≤…≤an，而b1≥b2≥…≥bn或a1≥a2≥…≥an而b1≤b2≤…≤bn，則≤
.當且僅當a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn時等號成立.
證明 不妨設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≥b2≥…≥bn.
則由排序原理得：
a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn
a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤a1b2＋a2b3＋…＋anb1
a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤a1b3＋a2b4＋…＋an－1b1＋anb2
…
a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤a1bn＋a2b1＋…＋anbn－1.
將上述n個式子相加，得：
n(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≤(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)上式兩邊除以n2，得：
≤.
等號當且僅當a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn時成立.
6.設(shè)a1，a2，…，an為實數(shù)，證明：
≤ .
證明 不妨設(shè)a1≤a2≤…≤an，由切比曉夫不等式得：
≥，
即≥，
∴≤ .
綜合提高
7.設(shè)a1，a2，…，an為正數(shù)，求證：＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an.
證明 不妨設(shè)a1>a2>…>an>0，
則有a>a>…>a
也有<<…<，
由排序原理：亂序和≥反序和，得：
＋＋…＋≥＋＋…＋＝a1＋a2＋…＋an.
8.設(shè)A、B、C表示△ABC的三個內(nèi)角的弧度數(shù)，a，b，c表示其對邊，求證：≥.
證明 方法一：不妨設(shè)A>B>C，則有a>b>c
由排序原理：順序和≥亂序和
∴aA＋bB＋cC≥aB＋bC＋cA
aA＋bB＋cC≥aC＋bA＋cB
aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC
上述三式相加得
3(aA＋bB＋cC)≥(A＋B＋C)(a＋b＋c)＝π(a＋b＋c)
∴≥.
方法二：不妨設(shè)A>B>C，則有a>b>c，
由切比曉夫不等式
≥，
即aA＋bB＋cC≥(a＋b＋c)，
∴≥.
9.設(shè)a，b，c為正數(shù)，利用排序不等式證明a3＋b3＋c3≥3abc.
證明 不妨設(shè)a≥b≥c>0，∴a2≥b2≥c2，
由排序原理：順序和≥反序和，得：
a3＋b3≥a2b＋b2a，b3＋c3≥b2c＋c2b
c3＋a3≥a2c＋c2a
三式相加得2(a3＋b3＋c3)
≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2).
又a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.
所以2(a3＋b3＋c3)≥6abc，∴a3＋b3＋c3≥3abc.
當且僅當a＝b＝c時，等號成立.
10.設(shè)a，b，c是正實數(shù)，求證：aabbcc≥(abc).
證明 不妨設(shè)a≥b≥c>0，則lg a≥lg b≥lg c.
據(jù)排序不等式有：
alg a＋blg b＋clg c≥blg a＋clg b＋alg c
alg a＋blg b＋clg c≥clg a＋alg b＋blg c
alg a＋blg b＋clg c＝alg a＋blg b＋clg c
上述三式相加得：
3(alg a＋blg b＋clg c)≥(a＋b＋c)(lg a＋lg b＋lg c)
即lg(aabbcc)≥lg(abc)，故aabbcc≥(abc).
11.設(shè)xi，yi (i＝1，2，…，n)是實數(shù)，且x1≥x2≥…≥xn，y1≥y2≥…≥yn，而z1，z2，…，zn是y1，y2，…，yn的一個排列.
求證： (xi－yi)2≤ (xi－zi)2.
證明 要證 (xi－yi)2≤ (xi－zi)2
只需證y－2xiyi≤z－2xizi.
因為y＝z，
∴只需證xizi≤xiyi.
而上式左邊為亂序和，右邊為順序和.
由排序不等式得此不等式成立.
故不等式 (xi－yi)2≤ (xi－zi)2成立.
12.已知a，b，c為正數(shù)，且兩兩不等，求證：2(a3＋b3＋c3)>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b).
證明 不妨設(shè)a>b>c>0.
則a2>b2>c2，a＋b>a＋c>b＋c，
∴a2(a＋b)＋b2(a＋c)＋c2(b＋c)
>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)，
即a3＋c3＋a2b＋b2a＋b2c＋c2b
>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)，
7又∵a2>b2>c2，a>b>c，
∴a2b＋b2aa2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b).
2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 柯西不等式與排序不等式及其應用 2.2 排序不等式導學案 新人教B版選修4-5.docx
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