（天津?qū)Ｓ茫?020版高考數(shù)學大一輪復習 9.3 橢圓及其性質(zhì)精練.docx

9.3橢圓及其性質(zhì)挖命題【考情探究】考點內(nèi)容解讀5年考情預測熱度考題示例考向關聯(lián)考點1.橢圓的定義和標準方程1.掌握橢圓的定義,并會用橢圓的定義進行解題2.掌握橢圓的幾何圖形和標準方程,并會用待定系數(shù)法求橢圓的方程2017北京,19橢圓的標準方程三角形的面積2.橢圓的幾何性質(zhì)1.掌握橢圓的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性等),并會熟練運用2.理解橢圓離心率的定義,并會求橢圓的離心率2012天津文,19橢圓的幾何性質(zhì)直線和橢圓的方程3.直線與橢圓的位置關系1.掌握直線和橢圓位置關系的判斷方法2.理解“整體代換”思想的含義,并能通過直線與橢圓的位置關系解答相應問題2018天津文,19直線與橢圓的位置關系三角形的面積2014天津,18圓的方程分析解讀從高考試題來看,橢圓的定義、標準方程、幾何性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關系一直是高考命題的重點和熱點,離心率問題是每年高考考查的重點,多在選擇題和填空題中出現(xiàn),主要考查學生結(jié)合橢圓定義、幾何性質(zhì)等分析問題、解決問題的能力以及運算能力,分值為5分,屬于中檔題目;在解答題中主要以直線與橢圓的位置關系為考查對象,考查面較廣,往往會和平面向量、函數(shù)、導數(shù)、不等式等知識相結(jié)合,在考查對橢圓基本概念和性質(zhì)理解及應用的同時,又考查直線與圓錐曲線的位置關系,考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想.破考點【考點集訓】考點一橢圓的定義和標準方程1.“m>n>0”是“曲線mx2+ny2=1為焦點在x軸上的橢圓”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案D考點二橢圓的幾何性質(zhì)2.(2017浙江,2,4分)橢圓x29+y24=1的離心率是()A.133B.53C.23D.59答案B3.(2018課標文,11,5分)已知F1,F2是橢圓C的兩個焦點,P是C上的一點.若PF1PF2,且PF2F1=60,則C的離心率為()A.1-32B.2-3C.3-12D.3-1答案D考點三直線與橢圓的位置關系4.(2014遼寧,20,12分)圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個三角形,當該三角形面積最小時,切點為P(如圖).(1)求點P的坐標;(2)焦點在x軸上的橢圓C過點P,且與直線l:y=x+3交于A,B兩點.若PAB的面積為2,求C的標準方程.解析(1)設切點坐標為(x0,y0)(x0>0,y0>0),則切線斜率為-x0y0,切線方程為y-y0=-x0y0(x-x0),即x0x+y0y=4.此時,兩個坐標軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為S=124x04y0=8x0y0,由x02+y02=42x0y0知當且僅當x0=y0=2時x0y0有最大值,即S有最小值,因此點P的坐標為(2,2).(2)設C的標準方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),點A(x1,y1),B(x2,y2).由點P在C上知2a2+2b2=1,并由x2a2+y2b2=1,y=x+3得b2x2+43x+6-2b2=0,又x1,x2是方程的根,因此x1+x2=-43b2,x1x2=6-2b2b2,由y1=x1+3,y2=x2+3,得|AB|=2|x1-x2|=248-24b2+8b4b2.由點P到直線l的距離為32及SPAB=1232|AB|=2得b4-9b2+18=0,解得b2=6或3,因此b2=6,a2=3(舍)或b2=3,a2=6,從而所求C的方程為x26+y23=1.煉技法【方法集訓】方法1求橢圓標準方程的方法1.如圖,已知橢圓C的中心為原點O,F(-25,0)為C的左焦點,P為C上一點,滿足|OP|=|OF|且|PF|=4,則橢圓C的方程為()A.x225+y25=1B.x230+y210=1C.x236+y216=1D.x245+y225=1答案C方法2橢圓的離心率(取值范圍)的求法2.已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圓C2:x2+y2=b2,若在橢圓C1上存在點P,使得過點P的圓C2的兩條切線互相垂直,則橢圓C1的離心率的取值范圍是()A.12,1B.22,32C.22,1D.32,1答案C3.(2013福建文,15,4分)橢圓:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,焦距為2c.若直線y=3(x+c)與橢圓的一個交點M滿足MF1F2=2MF2F1,則該橢圓的離心率等于.答案3-1方法3解決直線與橢圓位置關系問題的方法4.(2014安徽文,14,5分)設F1,F2分別是橢圓E:x2+y2b2=1(0<b<1)的左、右焦點,過點F1的直線交橢圓E于A,B兩點.若|AF1|=3|F1B|,AF2x軸,則橢圓E的方程為.答案x2+32y2=15.(2014江西,15,5分)過點M(1,1)作斜率為-12的直線與橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B兩點,若M是線段AB的中點,則橢圓C的離心率等于.答案22過專題【五年高考】A組自主命題天津卷題組1.(2018天津文,19,14分)設橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點為A,上頂點為B.已知橢圓的離心率為53,|AB|=13.(1)求橢圓的方程;(2)設直線l:y=kx(k<0)與橢圓交于P,Q兩點,l與直線AB交于點M,且點P,M均在第四象限.若BPM的面積是BPQ面積的2倍,求k的值.解析本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運算求解能力,以及用方程思想解決問題的能力.(1)設橢圓的焦距為2c,由已知有c2a2=59,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=a2+b2=13,從而a=3,b=2.所以,橢圓的方程為x29+y24=1.(2)設點P的坐標為(x1,y1),點M的坐標為(x2,y2),由題意,x2>x1>0,點Q的坐標為(-x1,-y1).由BPM的面積是BPQ面積的2倍,可得|PM|=2|PQ|,從而x2-x1=2x1-(-x1),即x2=5x1.易知直線AB的方程為2x+3y=6,由方程組2x+3y=6,y=kx,消去y,可得x2=63k+2.由方程組x29+y24=1,y=kx,消去y,可得x1=69k2+4.由x2=5x1,可得9k2+4=5(3k+2),兩邊平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-89或k=-12.當k=-89時,x2=-9<0,不合題意,舍去;當k=-12時,x2=12,x1=125,符合題意.所以,k的值為-12.解題關鍵第(2)問中把兩個三角形的面積的關系轉(zhuǎn)化為點P、M的橫坐標間的關系,進而得到關于k的方程是求解的難點和關鍵.2.(2014天津,18,13分)設橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,右頂點為A,上頂點為B.已知|AB|=32|F1F2|.(1)求橢圓的離心率;(2)設P為橢圓上異于其頂點的一點,以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1,經(jīng)過原點O的直線l與該圓相切.求直線l的斜率.解析(1)設橢圓右焦點F2的坐標為(c,0).由|AB|=32|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,則c2a2=12.所以橢圓的離心率e=22.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故橢圓方程為x22c2+y2c2=1.設P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有F1P=(x0+c,y0),F1B=(c,c).由已知,有F1PF1B=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c0,故有x0+y0+c=0.又因為點P在橢圓上,故x022c2+y02c2=1.由和可得3x02+4cx0=0.而點P不是橢圓的頂點,故x0=-43c,代入得y0=c3,即點P的坐標為-4c3,c3.設圓的圓心為T(x1,y1),則x1=-43c+02=-23c,y1=c3+c2=23c,進而圓的半徑r=(x1-0)2+(y1-c)2=53c.設直線l的斜率為k,依題意,直線l的方程為y=kx.由l與圓相切,可得|kx1-y1|k2+1=r,即k-2c3-2c3k2+1=53c,整理得k2-8k+1=0,解得k=415.所以直線l的斜率為4+15或4-15.3.(2012天津文,19,14分)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),點P55a,22a在橢圓上.(1)求橢圓的離心率;(2)設A為橢圓的左頂點,O為坐標原點.若點Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|,求直線OQ的斜率的值.解析(1)因為點P55a,22a在橢圓上,故a25a2+a22b2=1,可得b2a2=58.于是e2=a2-b2a2=1-b2a2=38,所以橢圓的離心率e=64.(2)設直線OQ的斜率為k,則其方程為y=kx.設點Q的坐標為(x0,y0).由條件得y0=kx0,x02a2+y02b2=1.消去y0并整理得x02=a2b2k2a2+b2.由|AQ|=|AO|,A(-a,0),及y0=kx0,得(x0+a)2+k2x02=a2.整理得(1+k2)x02+2ax0=0,而x00,故x0=-2a1+k2,代入,整理得(1+k2)2=4k2a2b2+4.由(1)知a2b2=85,故(1+k2)2=325k2+4,即5k4-22k2-15=0,可得k2=5.所以直線OQ的斜率k=5.評析本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面內(nèi)兩點間的距離公式等基礎知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì),以及數(shù)形結(jié)合的思想方法,考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點一橢圓的定義和標準方程1.(2015廣東文,8,5分)已知橢圓x225+y2m2=1(m>0)的左焦點為F1(-4,0),則m=()A.2B.3C.4D.9答案B2.(2017北京,19,14分)已知橢圓C的兩個頂點分別為A(-2,0),B(2,0),焦點在x軸上,離心率為32.(1)求橢圓C的方程;(2)點D為x軸上一點,過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M,N,過D作AM的垂線交BN于點E.求證:BDE與BDN的面積之比為45.解析本題考查橢圓的方程和性質(zhì),直線的方程等知識,考查運算求解能力.(1)設橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).由題意得a=2,ca=32,解得c=3.所以b2=a2-c2=1.所以橢圓C的方程為x24+y2=1.(2)證明:設M(m,n),則D(m,0),N(m,-n).由題設知m2,且n0.直線AM的斜率kAM=nm+2,故直線DE的斜率kDE=-m+2n.所以直線DE的方程為y=-m+2n(x-m).直線BN的方程為y=n2-m(x-2).聯(lián)立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),解得點E的縱坐標yE=-n(4-m2)4-m2+n2.由點M在橢圓C上,得4-m2=4n2.所以yE=-45n.又SBDE=12|BD|yE|=25|BD|n|,SBDN=12|BD|n|,所以BDE與BDN的面積之比為45.易錯警示在設直線方程時,若設方程為y=kx+m,則要考慮斜率不存在的情況;若設方程為x=ty+n,則要考慮斜率為0的情況.3.(2014四川文,20,13分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F(-2,0),離心率為63.(1)求橢圓C的標準方程;(2)設O為坐標原點,T為直線x=-3上一點,過F作TF的垂線交橢圓于P,Q.當四邊形OPTQ是平行四邊形時,求四邊形OPTQ的面積.解析(1)由已知可得,ca=63,c=2,所以a=6.又由a2=b2+c2,解得b=2,所以橢圓C的標準方程是x26+y22=1.(2)設T點的坐標為(-3,m),則直線TF的斜率kTF=m-0-3-(-2)=-m.當m0時,直線PQ的斜率kPQ=1m,直線PQ的方程是x=my-2.當m=0時,直線PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.設P(x1,y1),Q(x2,y2),將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,得x=my-2,x26+y22=1.消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判別式=16m2+8(m2+3)>0,所以y1+y2=4mm2+3,y1y2=-2m2+3,x1+x2=m(y1+y2)-4=-12m2+3.因為四邊形OPTQ是平行四邊形,所以OP=QT,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).所以x1+x2=-12m2+3=-3,y1+y2=4mm2+3=m,解得m=1.此時,S四邊形OPTQ=2SOPQ=212|OF|y1-y2|=24mm2+32-4-2m2+3=23.評析本題主要考查橢圓的標準方程、直線與方程、直線與橢圓的位置關系等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力.考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類與整合等數(shù)學思想.考點二橢圓的幾何性質(zhì)1.(2018課標文,4,5分)已知橢圓C:x2a2+y24=1的一個焦點為(2,0),則C的離心率為()A.13B.12C.22D.223答案C2.(2018課標,12,5分)已知F1,F2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,A是C的左頂點,點P在過A且斜率為36的直線上,PF1F2為等腰三角形,F1F2P=120,則C的離心率為()A.23B.12C.13D.14答案D3.(2017課標,10,5分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為()A.63B.33C.23D.13答案A考點三直線與橢圓的位置關系1.(2015安徽,20,13分)設橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),點O為坐標原點,點A的坐標為(a,0),點B的坐標為(0,b),點M在線段AB上,滿足|BM|=2|MA|,直線OM的斜率為510.(1)求E的離心率e;(2)設點C的坐標為(0,-b),N為線段AC的中點.證明:MNAB.解析(1)由題設條件知,點M的坐標為23a,13b,又kOM=510,從而b2a=510.進而a=5b,c=a2-b2=2b.故e=ca=255.(2)證明:由N是AC的中點知,點N的坐標為a2,-b2,可得NM=a6,5b6.又AB=(-a,b),從而有ABNM=-16a2+56b2=16(5b2-a2).由(1)的計算結(jié)果可知a2=5b2,所以ABNM=0,故MNAB.評析本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)及利用向量法證明線線垂直,較難.2.(2014北京文,19,14分)已知橢圓C:x2+2y2=4.(1)求橢圓C的離心率;(2)設O為原點.若點A在直線y=2上,點B在橢圓C上,且OAOB,求線段AB長度的最小值.解析(1)由題意,知橢圓C的標準方程為x24+y22=1.所以a2=4,b2=2,從而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=2.故橢圓C的離心率e=ca=22.(2)設點A,B的坐標分別為(t,2),(x0,y0),其中x00.因為OAOB,所以OAOB=0,即tx0+2y0=0,解得t=-2y0x0.又x02+2y02=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=x0+2y0x02+(y0-2)2=x02+y02+4y02x02+4=x02+4-x022+2(4-x02)x02+4=x022+8x02+4(0<x024).因為x022+8x024(0<x024),且當x02=4時等號成立,所以|AB|28.故線段AB長度的最小值為22.評析本題考查橢圓的標準方程、幾何性質(zhì)、點與橢圓的關系以及弦長問題的求解.考查方程思想、函數(shù)思想以及整體代換思想的應用,同時考查考生的運算求解能力.正確選擇參數(shù)是解決本題的關鍵,再利用基本不等式求最值時應注意參數(shù)的取值范圍.本題對理科學生有很好的借鑒作用.3.(2014課標,20,12分)設F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直.直線MF1與C的另一個交點為N.(1)若直線MN的斜率為34,求C的離心率;(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解析(1)根據(jù)c=a2-b2及題設知Mc,b2a,2b2=3ac.將b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得ca=12或ca=-2(舍去).故C的離心率為12.(2)由題意,知原點O為F1F2的中點,MF2y軸,所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點,故b2a=4,即b2=4a,由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.設N(x1,y1),由題意知y1<0,則2(-c-x1)=c,-2y1=2,即x1=-32c,y1=-1.代入C的方程,得9c24a2+1b2=1.將及c=a2-b2代入得9(a2-4a)4a2+14a=1.解得a=7,b2=4a=28.故a=7,b=27.評析本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關系等基礎知識,考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì),考查運算求解能力,以及用方程思想解決問題的能力.4.(2015江蘇,18,16分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,且右焦點F到左準線l的距離為3.(1)求橢圓的標準方程;(2)過F的直線與橢圓交于A,B兩點,線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P,C,若PC=2AB,求直線AB的方程.解析(1)由題意,得ca=22且c+a2c=3,解得a=2,c=1,則b=1,所以橢圓的標準方程為x22+y2=1.(2)當ABx軸時,AB=2,又CP=3,不合題意.當AB與x軸不垂直時,設直線AB的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),將直線AB的方程代入橢圓方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,則x1,2=2k22(1+k2)1+2k2,C的坐標為2k21+2k2,-k1+2k2,且AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(1+k2)(x2-x1)2=22(1+k2)1+2k2.若k=0,則線段AB的垂直平分線為y軸,與左準線平行,不合題意.從而k0,故直線PC的方程為y+k1+2k2=-1kx-2k21+2k2,則P點的坐標為-2,5k2+2k(1+2k2),從而PC=2(3k2+1)1+k2|k|(1+2k2).因為PC=2AB,所以2(3k2+1)1+k2|k|(1+2k2)=42(1+k2)1+2k2,解得k=1.此時直線AB的方程為y=x-1或y=-x+1.評析本題在考查橢圓基本性質(zhì)與標準方程的同時,著重考查直線與圓錐曲線的位置關系和方程思想.C組教師專用題組1.(2017課標,12,5分)設A,B是橢圓C:x23+y2m=1長軸的兩個端點.若C上存在點M滿足AMB=120,則m的取值范圍是()A.(0,19,+)B.(0,39,+)C.(0,14,+)D.(0,34,+)答案A2.(2015課標,5,5分)已知橢圓E的中心在坐標原點,離心率為12,E的右焦點與拋物線C:y2=8x的焦點重合,A,B是C的準線與E的兩個交點,則|AB|=()A.3B.6C.9D.12答案B3.(2015浙江,15,4分)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點F(c,0)關于直線y=bcx的對稱點Q在橢圓上,則橢圓的離心率是.答案224.(2015陜西,20,12分)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距為c,原點O到經(jīng)過兩點(c,0),(0,b)的直線的距離為12c.(1)求橢圓E的離心率;(2)如圖,AB是圓M:(x+2)2+(y-1)2=52的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過A,B兩點,求橢圓E的方程.解析(1)過點(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0,則原點O到該直線的距離d=bcb2+c2=bca,由d=12c,得a=2b=2a2-c2,解得離心率ca=32.(2)解法一:由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.依題意得,圓心M(-2,1)是線段AB的中點,且|AB|=10.易知,AB與x軸不垂直,設其方程為y=k(x+2)+1,代入得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-8k(2k+1)1+4k2,x1x2=4(2k+1)2-4b21+4k2.由x1+x2=-4,得-8k(2k+1)1+4k2=-4,解得k=12.從而x1x2=8-2b2.于是|AB|=1+122|x1-x2|=52(x1+x2)2-4x1x2=10(b2-2).由|AB|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3.故橢圓E的方程為x212+y23=1.解法二:由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.依題意得,點A,B關于圓心M(-2,1)對稱,且|AB|=10.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x12+4y12=4b2,x22+4y22=4b2,兩式相減并結(jié)合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,易知AB與x軸不垂直,則x1x2,所以AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=12.因此直線AB的方程為y=12(x+2)+1,代入得x2+4x+8-2b2=0.所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.于是|AB|=1+122|x1-x2|=52(x1+x2)2-4x1x2=10(b2-2).由|AB|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3.故橢圓E的方程為x212+y23=1.評析本題主要考查橢圓的標準方程、幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關系,圓的標準方程等基礎知識,巧妙利用根與系數(shù)的關系或點差法構造關于參數(shù)的方程是求解的關鍵.考查學生的運算求解能力及方程思想的應用能力.【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共15分)1.(2019屆天津耀華中學第二次月考,7)已知橢圓x2a2+y2b2=1的左右焦點分別為F1,F2,點A在橢圓上,AF1F1F2=0,AF1AF2=c2,則橢圓的離心率e等于()A.33B.3-12C.5-12D.22答案C2.(2018天津河西一模,6)已知三個實數(shù)2,m,8構成一個等比數(shù)列,則圓錐曲線x2m+y22=1的離心率為()A.22B.3C.22或3D.22或62答案C3.(2018天津南開中學第三次月考,8)已知點F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦點,點B是短軸端點,直線BF2與橢圓C相交于另一點D.若F1BD是等腰三角形,則橢圓C的離心率為()A.13B.33C.22D.63答案B二、填空題(每小題5分,共5分)4.(2018天津一中5月月考,13)已知點P(x,y)在橢圓x23+2y23=1上運動,則1x2+21+y2的最小值是.答案95三、解答題(共40分)5.(2019屆天津南開中學統(tǒng)練,19)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),四點P1(1,1),P2(0,1),P3-1,32,P41,32中恰有三點在橢圓C上.(1)求C的方程;(2)設直線l不經(jīng)過點P2且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過定點.解析本題考查了圓錐曲線的方程以及圓錐曲線與直線位置關系中的定點問題.(1)由于P3,P4兩點關于y軸對稱,故由題設知C經(jīng)過P3,P4兩點.又由1a2+1b2>1a2+34b2知,C不經(jīng)過點P1,所以點P2在C上.因此1b2=1,1a2+34b2=1,解得a2=4,b2=1.故C的方程為x24+y2=1.(2)證明:設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2.如果l與x軸垂直,設l:x=t,由題設知t0,且|t|<2,可得A,B的坐標分別為t,4-t22,t,-4-t22.則k1+k2=4-t2-22t-4-t2+22t=-1,得t=2,不符合題設.從而可設l:y=kx+m(m1).將y=kx+m代入x24+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.由題設可知=16(4k2-m2+1)>0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1.而k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=kx1+m-1x1+kx2+m-1x2=2kx1x2+(m-1)(x1+x2)x1x2,由于k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)4m2-44k2+1+(m-1)-8km4k2+1=0.解得k=-m+12.當且僅當m>-1時,>0,于是l:y=-m+12x+m,即y+1=-m+12(x-2),所以l過定點(2,-1).6.(2018天津河東一模,19)已知點(0,-1)是中心在原點,長軸在x軸上的橢圓C的一個頂點,橢圓的離心率為22,左右焦點分別為F1和F2.(1)求橢圓C的方程;(2)設點M是線段OF2(不包括端點)上的一點,過點F2且與x軸不垂直的直線l交橢圓C于P、Q兩點,若MPQ是以M為頂點的等腰三角形,求點M到直線l的距離的取值范圍.解析(1)由題意可設橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),由點(0,-1)是橢圓C的一個頂點,可得b=1,由e=ca=22,a2-b2=c2,解得a=2,c=1,故橢圓C的方程為x22+y2=1.(2)設點M(m,0),0<m<1,直線l的方程為y=k(x-1),k0,由y=k(x-1),x22+y2=1消去y,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,設P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點為N(x0,y0),則x1+x2=4k21+2k2,y1+y2=k(x1+x2-2)=-2k1+2k2,x0=x1+x22=2k21+2k2,y0=y1+y22=-k1+2k2,即N2k21+2k2,-k1+2k2,MPQ是以M為頂點的等腰三角形,MNPQ,-k1+2k22k21+2k2-mk=-1,即k2m(1+2k2)-2k2=-1,m=k21+2k2=12+1k20,12,設點M到直線l:kx-y-k=0的距離為d,則d2=k2(m-1)21+k2=k2(k2+1)(1+2k2)2<14(k2+k2+1)2(1+2k2)2=14,d0,12,即點M到直線l的距離的取值范圍是0,12.7.(2018天津耀華中學一模,19)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為(3,0),且經(jīng)過點-1,32,點M是y軸上的一點,過點M的直線l與橢圓C交于A、B兩點.(1)求橢圓C的方程;(2)若AM=2MB,且直線l與圓O:x2+y2=425相切于點N,求|MN|的長.解析(1)由題意知a2-b2=c2=3,(-1)2a2+322b2=1,解得a2=4,b2=1,故橢圓C的方程為x24+y2=1.(2)顯然直線l的斜率存在,設M(0,m),直線l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),直線l與圓O:x2+y2=425相切,|m|1+k2=25,即m2=425(k2+1),由x24+y2=1,y=kx+m,消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,>0恒成立,x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4(m2-1)4k2+1,由AM=2MB,得x1=-2x2,解得x1=-16km1+4k2,x2=8km1+4k2,x1x2=-128k2m2(1+4k2)2=4(m2-1)1+4k2,化簡得-32k2m21+4k2=m2-1,把代入可得48k4+16k2-7=0,解得k2=14,m2=15,在RtOMN中,可得|MN|=15-425=15,故|MN|的長為15.