(天津?qū)S茫?020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)精練.docx
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4.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 挖命題 【考情探究】 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測(cè)熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點(diǎn) 1.三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 1.了解三角函數(shù)的周期性 2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、對(duì)稱性、奇偶性以及最值問題等);理解正切函數(shù)的單調(diào)性 2017天津,7 三角函數(shù)的周期性 三角函數(shù)求值 ★★★ 2016天津文,8 三角函數(shù)的周期性 函數(shù)零點(diǎn) 2015天津文,14 三角函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)稱性 三角函數(shù)圖象及其性質(zhì) 2014天津文,8 三角函數(shù)的周期性及最值 三角函數(shù)圖象及其性質(zhì) 2.三角函數(shù)的圖象及其變換 1.能畫出y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象 2.了解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的物理意義;能畫出y=Asin(ωx+φ)的圖象,了解參數(shù)A,ω,φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響 2018天津,6 三角函數(shù)圖象的平移變換 三角函數(shù)的單調(diào)性 ★★☆ 分析解讀 通過分析近幾年的高考試題可以看出,對(duì)三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的考查一般以基礎(chǔ)題為主,難度不大,命題呈現(xiàn)出如下幾點(diǎn):1.研究三角函數(shù)必須在定義域內(nèi)進(jìn)行,要特別關(guān)注三角函數(shù)的定義域;2.求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,要利用公式將三角函數(shù)化為一個(gè)角的函數(shù)形式,再利用整體換元的思想通過解不等式組得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;3.三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性及最值是主要考點(diǎn).本節(jié)重點(diǎn)考查三角恒等變換及數(shù)形結(jié)合能力,在高考備考復(fù)習(xí)中應(yīng)給予重視. 破考點(diǎn) 【考點(diǎn)集訓(xùn)】 考點(diǎn)一 三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 1.函數(shù)y=3sin2x+π4的圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是( ) A.2π B.π C.π2 D.π4 答案 C 2.(2017課標(biāo)Ⅱ,14,5分)函數(shù)f(x)=sin2x+3cosx-34x∈0,π2的最大值是 . 答案 1 3.已知函數(shù)f(x)=2cosx(sinx+cosx)-1. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間. 解析 (1)f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1=sin2x+cos2x =2sin2x+π4. 所以f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)由-π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ(k∈Z), 得-3π8+kπ≤x≤π8+kπ(k∈Z). 當(dāng)x∈[0,π]時(shí),單調(diào)遞增區(qū)間為0,π8和5π8,π. 思路分析 (1)根據(jù)二倍角公式、兩角和的正弦公式將原式化簡(jiǎn),得到f(x)=2sin2x+π4,根據(jù)周期公式得到T=2π2=π;(2)由題意得到-π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ(k∈Z),從而得到單調(diào)增區(qū)間,再與[0,π]取交集. 考點(diǎn)二 三角函數(shù)的圖象及其變換 4.將函數(shù)y=3sin2x+π3的圖象向右平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)( ) A.在區(qū)間π12,7π12上單調(diào)遞減 B.在區(qū)間π12,7π12上單調(diào)遞增 C.在區(qū)間-π6,π3上單調(diào)遞減 D.在區(qū)間-π6,π3上單調(diào)遞增 答案 B 5.如圖,已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ),x∈R(其中ω>0,-π<φ<π)的部分圖象,那么f(x)的解析式為( ) A.f(x)=sinx+π2 B.f(x)=sinx-π2 C.f(x)=sin2x+π2 D.f(x)=sin2x-π2 答案 A 6.函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<π2的部分圖象如圖所示. (1)求f(x)的解析式; (2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,令F(x)=f(x)+g(x),求函數(shù)F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 解析 (1)因?yàn)?πω=45π6-π3=2π,所以ω=1. 又因?yàn)閟inπ3+φ=1,所以π3+φ=2kπ+π2(k∈Z). 所以φ=2kπ+π6(k∈Z).因?yàn)?π2<φ<π2,所以φ=π6. 所以f(x)的解析式是f(x)=sinx+π6. (2)由已知得g(x)=sinx+π3+π6=sinx+π2=cosx, 所以F(x)=f(x)+g(x)=sinx+π6+cosx=32sinx+12cosx+cosx=32sinx+32cosx=3sinx+π3. 函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ-π2,2kπ+π2(k∈Z). 由2kπ-π2≤x+π3≤2kπ+π2(k∈Z), 得2kπ-5π6≤x≤2kπ+π6(k∈Z), 所以F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ-5π6,2kπ+π6(k∈Z). 煉技法 【方法集訓(xùn)】 方法1 根據(jù)函數(shù)圖象確定函數(shù)解析式 1.(2015課標(biāo)Ⅰ,8,5分)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為( ) A.kπ-14,kπ+34,k∈Z B.2kπ-14,2kπ+34,k∈Z C.k-14,k+34,k∈Z D.2k-14,2k+34,k∈Z 答案 D 2.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分圖象如圖所示,則φ= ;ω= . 答案 -π6;43 3.已知函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0),若函數(shù)y=f(x+a)(a>0)的部分圖象如圖所示,則ω= ,a的最小值是 . 答案 2;π12 方法2 三角函數(shù)性質(zhì)問題的求解方法 4.(2016課標(biāo)Ⅱ,7,5分)若將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度,則平移后圖象的對(duì)稱軸為( ) A.x=kπ2-π6(k∈Z) B.x=kπ2+π6(k∈Z) C.x=kπ2-π12(k∈Z) D.x=kπ2+π12(k∈Z) 答案 B 5.(2018課標(biāo)Ⅱ,10,5分)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是減函數(shù),則a的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π 答案 A 6.已知函數(shù)f(x)=sinx(cosx-3sinx). (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)求函數(shù)f(x)在x∈[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間. 解析 (1)因?yàn)閒(x)=sinx(cosx-3sinx) =sinxcosx-3sin2x =12sin2x+32cos2x-32 =sin2x+π3-32, 所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z,得 2kπ-5π6≤2x≤2kπ+π6,k∈Z, 所以kπ-5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z. 所以函數(shù)f(x)在x∈[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是0,π12和7π12,π. 思路分析 (1)根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)f(x)即可得最小正周期; (2)求出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,再根據(jù)x∈[0,π]得出所求. 方法點(diǎn)撥 第(2)問中求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-5π12,kπ+π12(k∈Z),k=0時(shí),單調(diào)遞增區(qū)間為-5π12,π12;k=1時(shí),單調(diào)遞增區(qū)間為7π12,13π12.將兩個(gè)區(qū)間與[0,π]取交集,可得所求單調(diào)遞增區(qū)間為0,π12和7π12,π. 過專題 【五年高考】 A組 自主命題天津卷題組 考點(diǎn)一 三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 1.(2017天津,7,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f5π8=2,f11π8=0,且f(x)的最小正周期大于2π,則( ) A.ω=23,φ=π12 B.ω=23,φ=-11π12 C.ω=13,φ=-11π24 D.ω=13,φ=7π24 答案 A 2.(2016天津文,8,5分)已知函數(shù)f(x)=sin2ωx2+12sinωx-12(ω>0),x∈R.若f(x)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)沒有零點(diǎn),則ω的取值范圍是( ) A.0,18 B.0,14∪58,1 C.0,58 D.0,18∪14,58 答案 D 3.(2014天津文,8,5分)已知函數(shù)f(x)=3sinωx+cosωx(ω>0),x∈R.在曲線y=f(x)與直線y=1的交點(diǎn)中,若相鄰交點(diǎn)距離的最小值為π3,則f(x)的最小正周期為( ) A.π2 B.2π3 C.π D.2π 答案 C 4.(2015天津文,14,5分)已知函數(shù)f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-ω,ω)內(nèi)單調(diào)遞增,且函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=ω對(duì)稱,則ω的值為 . 答案 π2 5.(2016天津,15,13分)已知函數(shù)f(x)=4tanxsinπ2-xcosx-π3-3. (1)求f(x)的定義域與最小正周期; (2)討論f(x)在區(qū)間-π4,π4上的單調(diào)性. 解析 (1)f(x)的定義域?yàn)閤|x≠π2+kπ,k∈Z. f(x)=4tanxcosxcosx-π3-3 =4sinxcosx-π3-3 =4sinx12cosx+32sinx-3 =2sinxcosx+23sin2x-3 =sin2x+3(1-cos2x)-3 =sin2x-3cos2x=2sin2x-π3. 所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)令z=2x-π3,易知函數(shù)y=2sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z. 由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z. 設(shè)A=-π4,π4,B=x|-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,易知A∩B=-π12,π4. 所以,當(dāng)x∈-π4,π4時(shí),f(x)在區(qū)間-π12,π4上單調(diào)遞增,在區(qū)間-π4,-π12上單調(diào)遞減. 考點(diǎn)二 三角函數(shù)的圖象及其變換 (2018天津,6,5分)將函數(shù)y=sin2x+π5的圖象向右平移π10個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)( ) A.在區(qū)間3π4,5π4上單調(diào)遞增 B.在區(qū)間3π4,π上單調(diào)遞減 C.在區(qū)間5π4,3π2上單調(diào)遞增 D.在區(qū)間3π2,2π上單調(diào)遞減 答案 A B組 統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組 考點(diǎn)一 三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 1.(2017課標(biāo)Ⅲ,6,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=cosx+π3,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ) A.f(x)的一個(gè)周期為-2π B.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=8π3對(duì)稱 C.f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x=π6 D.f(x)在π2,π單調(diào)遞減 答案 D 2.(2016課標(biāo)Ⅰ,12,5分)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2,x=-π4為f(x)的零點(diǎn),x=π4為y=f(x)圖象的對(duì)稱軸,且f(x)在π18,5π36單調(diào),則ω的最大值為( ) A.11 B.9 C.7 D.5 答案 B 3.(2015安徽,10,5分)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均為正的常數(shù))的最小正周期為π,當(dāng)x=2π3時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值,則下列結(jié)論正確的是( ) A.f(2)- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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