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第6練 三角函數(shù)的圖象與性質
[明晰考情] 1.命題角度:三角函數(shù)的性質;三角函數(shù)的圖象變換;由三角函數(shù)的圖象求解析式.2.題目難度:三角函數(shù)的圖象與性質常與三角變換相結合,難度為中低檔.
考點一 三角函數(shù)的圖象及變換
要點重組 (1)五點法作簡圖:y=Asin(ωx+φ)的圖象可令ωx+φ=0,,π,,2π,求出x的值,作出對應點得到.
(2)圖象變換:平移、伸縮、對稱.
特別提醒 由y=Asinωx的圖象得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象時,需平移個單位長度,而不是|φ|個單位長度.
1.函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,如果x1+x2=,則f(x1)+f(x2)=________.
答案 0
解析 由題圖知,=,即T=π,則ω=2,
∴f(x)=sin,∵點在函數(shù)f(x)的圖象上,∴sin=0,
即+φ=kπ,k∈Z,又|φ|<,∴φ=,
∴f(x)=sin.
∵x1+x2=,
∴+=2π,
∴f(x1)+f(x2)=0.
2.若將函數(shù)y=tan(ω>0)的圖象向右平移個單位長度后,與函數(shù)y=tan的圖象重合,則ω的最小正值為________.
答案
解析 將y=tan的圖象向右平移個單位長度,得到y(tǒng)=tan的圖象,
由平移后的圖象與y=tan的圖象重合,
得-=kπ+,k∈Z,
故ω=-6k+,k∈Z,
所以ω的最小正值為.
3.(2018天津改編)將函數(shù)y=sin的圖象向右平移個單位長度,所得圖象對應的函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為__________________.
答案 ,k∈Z
解析 函數(shù)y=sin的圖象向右平移個單位長度后的解析式為y=sin=sin2x,則函數(shù)y=sin2x的單調(diào)增區(qū)間為,k∈Z.
4.設函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-m在[0,2π]內(nèi)恰有4個不同的零點,則實數(shù)m的取值范圍是________.
答案 (0,1)
解析 畫出函數(shù)f(x)在[0,2π]上的圖象,如圖所示.
若函數(shù)g(x)=f(x)-m在[0,2π]內(nèi)恰有4個不同的零點,即y=f(x)和y=m在[0,2π]內(nèi)恰有4個不同的交點,
結合圖象,知0
0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,則ω=________,φ=________.
答案
解析 ∵f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,
∴f(x)的最小正周期為4=3π,
∴ω==,
∴f(x)=2sin.
又f=2,
即2sin=2,即+φ=+2kπ,k∈Z,
得φ=2kπ+,k∈Z.又|φ|<π,
∴取k=0,得φ=.
11.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象與直線y=a(0<a<A)的三個相鄰交點的橫坐標分別是2,4,8,則f(x)的單調(diào)減區(qū)間是______________.
答案 [6k-3,6k],k∈Z
解析 因為函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象與直線y=a(0<a<A)的三個相鄰交點的橫坐標分別是2,4,8,所以T==8-2=6,且當x==3時函數(shù)取得最大值,所以ω=,3+φ=+2nπ,n∈Z,所以φ=-+2nπ,n∈Z,所以f(x)=Asin.由2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z,可得6k+3≤x≤6k+6,k∈Z,即[6k-3,6k],k∈Z.
12.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期為π,f(x)的圖象向左平移個單位長度后關于直線x=0對稱,則f+f的單調(diào)增區(qū)間為____________________.
答案 (k∈Z)
解析 易知ω=2,
∴f(x)=sin(2x+φ),
又f的圖象關于直線x=0對稱,
∴π+φ=+kπ,k∈Z,又|φ|<,
∴φ=-,
即f(x)=sin.
∴f+f=sin2x+sin
=sin2x-cos2x
=sin,
令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
∴f+f的單調(diào)增區(qū)間為,k∈Z.
1.為了得到函數(shù)y=sin3x+cos3x的圖象,可以將函數(shù)y=cos3x的圖象向右平移________個單位長度.
答案
解析 因為y=sin3x+cos3x=sin
=sin,
又y=cos3x=sin=sin,
所以應由y=cos3x的圖象向右平移個單位長度得到.
2.若關于x的方程sin=k在[0,π]上有兩解,則k的取值范圍是________.
答案 [1,)
解析 ∵0≤x≤π,∴≤x+≤,
∴-1≤sin≤,
又sin=k在[0,π]上有兩解,
∴結合圖象(圖略)可知k的取值范圍是[1,).
3.已知關于x的方程(t+1)cosx-tsinx=t+2在(0,π)上有實根,則實數(shù)t的最大值是________.
答案?。?
解析 由(t+1)cosx-tsinx=t+2,
得cos(x+φ)=t+2,tanφ=,
有解的條件為(t+1)2+t2≥(t+2)2,
解得t≥3或t≤-1.因為x∈(0,π),
當t≥3時顯然不成立,
故t≤-1,所以實數(shù)t的最大值是-1.
解題秘籍 (1)圖象平移問題要搞清平移的方向和長度,由f(ωx)的圖象得到f(ωx+φ)的圖象平移了個單位長度(ω≠0).
(2)研究函數(shù)的性質時要結合圖象,對參數(shù)范圍的確定要注意區(qū)間端點能否取到.
1.將函數(shù)f(x)=sin的圖象上各點的縱坐標不變,橫坐標伸長到原來的2倍,所得圖象的對稱軸方程是________________.
答案 x=+2kπ,k∈Z
解析 將函數(shù)f(x)=sin的圖象上各點的縱坐標不變,橫坐標伸長到原來的2倍,得到函數(shù)y=sin的圖象,由x+=+kπ,k∈Z,
得x=+2kπ,k∈Z,
∴函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=+2kπ,k∈Z.
2.(2018江蘇省高考沖刺預測卷)已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx-φ)(ω>0,φ∈[0,π])的部分圖象如圖所示,若A,B,則f(0)=________.
答案?。?
解析 由函數(shù)圖象可知函數(shù)f(x)的周期T=-=π,
ω==2,
又f=2cos(π-φ)=-2cosφ=,則cosφ=-,
∵φ∈[0,π],則φ=,∴f(x)=2cos,
則f(0)=-.
3.(2018全國Ⅱ改編)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]上是減函數(shù),則a的最大值是________.
答案
解析 f(x)=cosx-sinx
=-=-sin,
當x∈,即x-∈時,
y=sin單調(diào)遞增,
f(x)=-sin單調(diào)遞減.
∵函數(shù)f(x)在[-a,a]上是減函數(shù),
∴[-a,a]?,
∴0<a≤,∴a的最大值為.
4.已知f(x)=sinxcosx-sin2x,把f(x)的圖象向右平移個單位長度,再向上平移2個單位長度,得到y(tǒng)=g(x)的圖象.若對任意實數(shù)x,都有g(a-x)=g(a+x)成立,則g+g=________.
答案 4
解析 因為f(x)=sinxcosx-sin2x
=sin2x-
=sin-,
把f(x)的圖象向右平移個單位長度,再向上平移2個單位長度,得到y(tǒng)=g(x)=sin+=sin2x+.
若對任意實數(shù)x,都有g(a-x)=g(a+x)成立,
則y=g(x)的圖象關于x=a對稱,
所以2a=+kπ,k∈Z,故可取a=,
有g+g=sin++sin+=4.
5.已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx(x∈R),先將y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變),再將得到的圖象上所有點向右平移θ(θ>0)個單位長度,得到的圖象關于直線x=對稱,則θ的最小值為________.
答案
解析 函數(shù)f(x)=sinx+cosx=2sin(x∈R),
先將y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變),
可得y=2sin的圖象,
再將得到的圖象上所有點向右平移θ(θ>0)個單位長度,
得到y(tǒng)=2sin的圖象.
又得到的圖象關于直線x=對稱,
可得2+-2θ=kπ+,k∈Z,
即θ=-+,k∈Z,
當k=1時,θ的最小值為.
6.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均為正的常數(shù))的最小正周期為π,當x=時,函數(shù)f(x)取得最小值,則f(0),f(2),f(-2)的大小關系是______________.
答案 f(2)0,∴φmin=,
故f(x)=Asin.于是f(0)=Asin,
f(2)=Asin
=Asin=Asin,
f(-2)=Asin=Asin
=Asin=Asin.
又∵-<-4<4-<<,
y=Asinx在上單調(diào)遞增,
∴f(2)0,所以ω=2k+1(k∈N),
又因為f(x)在上單調(diào),
所以-=≤=,即ω≤12,
若ω=11,又|φ|≤,則φ=-,
此時,f(x)=sin,f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,不滿足條件.
若ω=9,又|φ|≤,則φ=,
此時,f(x)=sin,滿足f(x)在上單調(diào)的條件.
由此得ω的最大值為9.
8.(2018全國Ⅲ)函數(shù)f(x)=cos在[0,π]上的零點個數(shù)為______.
答案 3
解析 由題意可知,當3x+=kπ+(k∈Z)時,f(x)=cos=0.
∵x∈[0,π],
∴3x+∈,
∴當3x+的取值為,,時,f(x)=0,
即函數(shù)f(x)=cos在[0,π]上的零點個數(shù)為3.
9.已知f1(x)=sincosx,f2(x)=sinxsin(π+x),若設f(x)=f1(x)-f2(x),則f(x)的單調(diào)增區(qū)間是____________________.
答案 (k∈Z)
解析 由題意知,f1(x)=-cos2x,f2(x)=-sin2x,f(x)=sin2x-cos2x=-cos2x,
令2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z,得kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z).
10.設函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期為π,且滿足f(-x)=-f(x),則函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為__________.
答案 (k∈Z)
解析 因為f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=2sin的最小正周期為π,且滿足f(-x)=-f(x),所以ω=2,φ=-,所以f(x)=2sin2x,令2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z).
11.已知函數(shù)f(x)=Atan(ωx+φ),y=f(x)的部分圖象如圖所示,則f=______.
答案
解析 如題干圖所示,可知=-=,
所以T=,
所以=,所以ω=2.因為圖象過點,
所以Atan=0,即tan=0.又|φ|<,
所以φ=.又圖象過點(0,1),即Atan=1,
所以A=1,所以f(x)=tan.
所以f=tan=tan=.
12.已知函數(shù)f(x)=cos(2x-φ)-sin(2x-φ)的圖象向右平移個單位長度后關于y軸對稱,則f(x)在區(qū)間上的最小值為________.
答案?。?
解析 f(x)=cos(2x-φ)-sin(2x-φ)
=-2sin,
將其圖象向右平移個單位長度后,
得y=-2sin
=-2sin.
由其圖象關于y軸對稱,得--φ=+kπ,k∈Z,
∴φ=--kπ,k∈Z.
由|φ|<,得φ=.
即f(x)=-2sin.
∵-≤x≤0,∴-≤2x-≤-,
∴-≤f(x)≤2,則f(x)在區(qū)間上的最小值為-.
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