新編浙江高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教師用書(shū)：第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題4 突破點(diǎn)10 立體幾何中的向量方法 Word版含答案

突破點(diǎn)10立體幾何中的向量方法(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第37頁(yè))核心知識(shí)提煉提煉1 兩條異面直線的夾角(1)兩異面直線的夾角.(2)設(shè)直線l1，l2的方向向量為s1，s2，則cos |coss1，s2|.提煉2 直線與平面的夾角(1)直線與平面的夾角.(2)設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，則sin |cosa，n|.提煉3 兩個(gè)平面的夾角(1)如圖10­1，AB，CD是二面角­l­的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，圖10­1(2)如圖10­1，n1，n2分別是二面角­l­的兩個(gè)半平面，的法向量，則二面角的大小滿足cos cosn1，n2或cosn1，n2高考真題回訪回訪1空間向量及其運(yùn)算1(20xx·浙江高考)已知e1，e2是空間單位向量，e1·e2，若空間向量b滿足b·e12，b·e2，且對(duì)于任意x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，則x0_，y0_，|b|_.122對(duì)于任意x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，說(shuō)明當(dāng)xx0，yy0時(shí)，|b(xe1ye2)|取得最小值1.|b(xe1ye2)|2|b|2(xe1ye2)22b·(xe1ye2)|b|2x2y2xy4x5y，要使|b|2x2y2xy4x5y取得最小值，需要把x2y2xy4x5y看成關(guān)于x的二次函數(shù)，即f(x)x2(y4)xy25y，其圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸方程為x2，所以當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得最小值，代入化簡(jiǎn)得f(x)(y2)27，顯然當(dāng)y2時(shí)，f(x)min7，此時(shí)x21，所以x01，y02.此時(shí)|b|271，可得|b|2.回訪2立體幾何中的向量方法2(20xx·浙江高考)如圖10­2，已知平面四邊形ABCD，ABBC3，CD1，AD，ADC90°，沿直線AC將ACD翻折成ACD，直線AC與BD所成角的余弦的最大值是_圖10­2如圖，作DFAC于點(diǎn)F，作BEAC于點(diǎn)E，作FM垂直于過(guò)點(diǎn)B平行于AC的直線，垂足為M，則DBM是AC與BD所成的角(或其補(bǔ)角)在ADC中，DC1，AD，ADC90°，AC，DF，CF.在BAC中，BCBA3，BE.而AE，EF.MFBE，DM.BMEF，BD.cosDBM.直線AC與BD所成角的余弦的最大值是.3(20xx·浙江高考節(jié)選)如圖10­3，在三棱臺(tái)ABC­DEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90°，BEEFFC1，BC2，AC3.求二面角B­AD­F的平面角的余弦值圖10­3解法一：如圖(1)所示，延長(zhǎng)AD，BE，CF相交于一點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)F作FQAK于Q，連接BQ.2分(1)因?yàn)锽F平面ACFD，所以BFAK，則AK平面BQF，所以BQAK.4分所以BQF是二面角B­AD­F的平面角.6分在RtACK中，AC3，CK2，得FQ.12分在RtBQF中，F(xiàn)Q，BF，得cosBQF.所以二面角B­AD­F的平面角的余弦值為.15分法二：如圖(2)所示，延長(zhǎng)AD，BE，CF相交于一點(diǎn)K，取BC的中點(diǎn)O，連接KO，(2)則KOBC.2分又平面BCFE平面ABC，所以KO平面ABC.以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OK的方向?yàn)閤軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意得B(1,0,0)，C(1,0,0)，K(0,0，)，A(1，3,0)，E，F(xiàn).4分因此(0,3,0)，(1,3，)，(2,3,0)設(shè)平面ACFD的法向量為m(x1，y1，z1)，平面ABED的法向量為n(x2，y2，z2).5分由得6分取m(，0，1)；由9分得取n(3，2，).12分于是cosm，n.所以二面角B­AD­F的平面角的余弦值為.15分4(20xx·浙江高考)如圖10­4，在三棱柱ABC­A1B1C1中，BAC90°，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D是B1C1的中點(diǎn)圖10­4(1)證明：A1D平面A1BC；(2)求二面角A1­BD­B1的平面角的余弦值解(1)證明：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，由題意得A1E平面ABC，所以A1EAE.2分因?yàn)锳BAC，所以AEBC.故AE平面A1BC.由D，E分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，得DEB1B且DEB1B，從而DEA1A，DEA1A，所以四邊形A1AED為平行四邊形.4分故A1DAE.又因?yàn)锳E平面A1BC，所以A1D平面A1BC.5分(2)法一：如圖(1)，作A1FBD且A1FBDF，連接B1F.(1)由AEEB，A1EAA1EB90°，得A1BA1A4.8分由A1DB1D，A1BB1B，得A1DB與B1DB全等由A1FBD，得B1FBD，因此A1FB1為二面角A1­BD­B1的平面角.12分由A1D，A1B4，DA1B90°，得BD3，A1FB1F，由余弦定理得cos A1FB1.15分法二：以CB的中點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以射線EA，EB為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系E­xyz，如圖(2)所示(2)由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：A1(0,0，)，B(0，0)，D(，0，)，B1(，).6分因此(0，)，(，)，(0，0)設(shè)平面A1BD的法向量為m(x1，y1，z1)，平面B1BD的法向量為n(x2，y2，z2)由即8分可取m(0，1)由即可取n(，0,1).12分于是|cosm，n|.由題意可知，所求二面角的平面角是鈍角，故二面角A1­BD­B1的平面角的余弦值為.15分(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第38頁(yè))熱點(diǎn)題型1向量法求線面角題型分析：向量法求線面角是高考中的?？碱}型，求解過(guò)程中，建系是突破口，求直線的方向向量與平面的法向量是關(guān)鍵.【例1】如圖10­5，四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM2MD，N為PC的中點(diǎn)圖10­5(1)證明MN平面PAB；(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值解(1)證明：由已知得AMAD2.取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC的中點(diǎn)知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因?yàn)锳T平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.4分(2)取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由ABAC得AEBC，從而AEAD，且AE.6分以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz.由題意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，8分(0,2，4)，.設(shè)n(x，y，z)為平面PMN的法向量，則即可取n(0,2,1).12分于是|cosn，|.所以直線AN與平面PMN所成角的正弦值為.15分方法指津向量法求線面角的一般步驟1建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)2寫(xiě)出相關(guān)向量的坐標(biāo)3求平面的法向量4求線面角的正弦值5轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論提醒：直線和平面所成角的正弦值等于平面法向量與直線方向向量夾角的余弦值的絕對(duì)值，即注意函數(shù)名稱的變化變式訓(xùn)練1(20xx·杭州質(zhì)量檢測(cè))如圖10­6，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是菱形，DAB60°，PD平面ABCD，PDAD1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB和PD的中點(diǎn)圖10­6(1)求證：直線AF平面PEC；(2)求PE與平面PBC所成角的正弦值 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334115】解(1)證明：作FMCD交PC于點(diǎn)M，連接EM.點(diǎn)F為PD的中點(diǎn)，F(xiàn)MCD.AEAB，ABCD，AEFM.又AEFM，四邊形AEMF為平行四邊形，AFEM.AF平面PEC，EM平面PEC，直線AF平面PEC.6分(2)連接DE，DAB60°，ABCD是菱形，DEDC.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DE，DC，DP所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，7分則P(0,0,1)，C(0,1,0)，E，A，B，(0,1，1)，.8分設(shè)平面PBC的法向量為n(x，y，z)n·0，n·0，取n(，3,3)，平面PBC的一個(gè)法向量為n(，3,3).12分設(shè)向量n與所成的角為，cos .PE與平面PBC所成角的正弦值為.15分熱點(diǎn)題型2向量法求二面角題型分析：向量法求二面角是高考重點(diǎn)考查題型，此類問(wèn)題求解的突破口是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求解的關(guān)鍵是求兩個(gè)平面的法向量.【例2】如圖10­7，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF2FD，AFD90°，且二面角D­AF­E與二面角C­BE­F都是60°.圖10­7(1)證明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角E­BC­A的余弦值解(1)證明：由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.4分(2)過(guò)D作DGEF，垂足為G.由(1)知DG平面ABEF.以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G­xyz.6分由(1)知DFE為二面角D­AF­E的平面角，故DFE60°，則|DF|2，|DG|，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，).7分由已知得ABEF，所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF.由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF為二面角C­BE­F的平面角，CEF60°.從而可得C(2,0，).8分所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)設(shè)n(x，y，z)是平面BCE的法向量，則即所以可取n(3,0，).9分設(shè)m是平面ABCD的法向量，則同理可取m(0，4).12分則cosn，m.故二面角E­BC­A的余弦值為.15分方法指津利用空間向量求二面角的思路二面角的大小可以利用分別在兩個(gè)半平面內(nèi)與棱垂直的直線的方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)或通過(guò)二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角求得，它等于兩個(gè)法向量的夾角或其補(bǔ)角變式訓(xùn)練2(名師押題)如圖10­8，在四棱錐P­ABCD中，側(cè)面PAB底面ABCD，底面ABCD為矩形，PAPB，O為AB的中點(diǎn)，ODPC.圖10­8(1)求證：OCPD；(2)若PD與平面PAB所成的角為30°，求二面角D­PC­B的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334116】解(1)證明：連接OP，PAPB，O為AB的中點(diǎn)，OPAB.側(cè)面PAB底面ABCD，OP平面ABCD，OPOD，OPOC.ODPC，OPPCP，OD平面OPC，ODOC.4分又OPODO，OC平面OPD，OCPD.6分(2)取CD的中點(diǎn)E，以O(shè)為原點(diǎn)，OE，OB，OP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz.由(1)知ODOC，則AB2AD，又側(cè)面PAB底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA平面PAB.DPA為直線PD與平面PAB所成的角，DPA30°.不妨設(shè)AD1，則AB2，PA，PO.B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(1，1,0)，P(0,0，)，從而(1,1，)，(0，2,0).9分設(shè)平面PCD的法向量為n1(x1，y1，z1)，由得可取n1(，0,1)同理，可取平面PCB的一個(gè)法向量為n2(0，1).12分于是cosn1，n2.二面角D­PC­B的余弦值為.15分熱點(diǎn)題型3利用空間向量求解探索性問(wèn)題題型分析：(1)立體幾何中的探索性題目主要有兩類：一是利用空間線面關(guān)系的判定與性質(zhì)定理進(jìn)行推理探究，二是對(duì)幾何體的空間角、距離和體積等的研究.,(2)其解決方法多通過(guò)求角、距離、體積等把這些問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)參數(shù)的方程問(wèn)題，根據(jù)方程解的存在性來(lái)解決.【例3】如圖10­9，空間幾何體ABCDE中，平面ABC平面BCD，AE平面ABC.圖10­9(1)證明：AE平面BCD；(2)若ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，DE平面ABC，且AD與BD，CD所成角的余弦值均為，試問(wèn)在CA上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角P­BE­A的余弦值為.若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解題指導(dǎo)(1)(2)解(1)證明：過(guò)點(diǎn)D作直線DOBC交BC于點(diǎn)O，連接DO.因?yàn)槠矫鍭BC平面BCD，DO平面BCD，DOBC，且平面ABC平面BCDBC，所以DO平面ABC.1分因?yàn)橹本€AE平面ABC，所以AEDO.2分因?yàn)镈O平面BCD，AE平面BCD，所以直線AE平面BCD.4分(2)連接AO，因?yàn)镈E平面ABC，所以AODE是矩形，所以DE平面BCD.因?yàn)橹本€AD與直線BD，CD所成角的余弦值均為，所以BDCD，所以O(shè)為BC的中點(diǎn)，所以AOBC，且cosADC.設(shè)DOa，因?yàn)锽C2，所以O(shè)BOC1，AO.所以CD，AD.在ACD中，AC2，所以AC2AD2CD22AD·CD·cosADC，即43a21a22×××，即·2a2，解得a21，a1.6分以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OD所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則C(0，1,0)，B(0,1,0)，A(，0,0)，E(，0,1)假設(shè)存在點(diǎn)P，連接EP，BP，設(shè)，則P(，0)設(shè)平面ABE的法向量為m(x，y，z)，則取x1，則平面ABE的一個(gè)法向量為m(1，0)設(shè)平面PBE的法向量為n(x，y，z)， 則取x1，則平面PBE的一個(gè)法向量為n(1，2).11分設(shè)二面角P­BE­A的平面角的大小為，由圖知為銳角則cos ，化簡(jiǎn)得6210，解得或(舍去).14分所以在CA上存在一點(diǎn)P，使得二面角P­BE­A的余弦值為，其為線段AC的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A).15分方法指津利用空間向量解點(diǎn)或參數(shù)存在性問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)及思路1優(yōu)勢(shì)：空間向量最適合于解決立體幾何中的探索性問(wèn)題，它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷2思路：把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)(或參數(shù))是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題 變式訓(xùn)練3如圖10­10所示，在多面體ABCDE中，CD平面ABC，BECD，AB2，AC4，BC2，CD4，BE1.圖10­10(1)求證：平面ADC平面BCDE；(2)試問(wèn)在線段DE上是否存在點(diǎn)S，使得AS與平面ADC所成的角的余弦值為？若存在，確定S的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334117】解(1)證明：因?yàn)锳B2，AC4，BC2，所以AB2AC2BC2，故ACBC.2分因?yàn)镃D平面ABC，所以CDBC.因?yàn)锳CCDC，故BC平面ADC.因?yàn)锽C平面BCDE，所以平面ADC平面BCDE.5分(2)由(1)知ACBC.又CD平面ABC，所以CDAC，CDBC.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CD所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,4)，E(0,2,1).8分假設(shè)線段DE上存在點(diǎn)S(x，y，z)，使得AS與平面ACD所成的角的余弦值為.設(shè)(01)，又(x，y，z4)，(0,2，3)，所以(x，y，z4)(0,2，3)，得S(0,2，43)，則(4,2，43)由(1)知平面ADC的一個(gè)法向量是(0,2,0)，因?yàn)閏os ，12分所以sin | cos，|，化簡(jiǎn)得92680，解得或(舍去)故存在滿足條件的點(diǎn)S，且DSDE.15分