（浙江專用）2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第七章 數(shù)列與數(shù)學歸納法 7.1 數(shù)列的概念與簡單表示法講義（含解析）.docx
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7.1 數(shù)列的概念與簡單表示法 最新考綱 考情考向分析 了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、公式). 以考查Sn與an的關系為主，簡單的遞推關系也是考查的熱點．本節(jié)內(nèi)容在高考中以選擇、填空題的形式進行考查，難度為低檔. 1．數(shù)列的有關概念 概念 含義 數(shù)列 按照一定順序排列著的一列數(shù) 數(shù)列的項 數(shù)列中的每一個數(shù) 數(shù)列的 通項 數(shù)列{an}的第n項an 通項公式 數(shù)列{an}的第n項an與n之間的關系能用公式an＝f(n)表示，這個公式叫做數(shù)列的通項公式 前n項和 數(shù)列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數(shù)列的前n項和 2.數(shù)列的表示方法 列表法 列表格表示n與an的對應關系 圖象法 把點(n，an)畫在平面直角坐標系中 公式法 通項公式 把數(shù)列的通項使用公式表示的方法 遞推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數(shù)列的方法 3.an與Sn的關系 若數(shù)列{an}的前n項和為Sn， 則an＝ 4．數(shù)列的分類 分類標準 類型 滿足條件 項數(shù) 有窮數(shù)列 項數(shù)有限 無窮數(shù)列 項數(shù)無限 項與項間的大小關系 遞增數(shù)列 an＋1__>__an 其中n∈N* 遞減數(shù)列 an＋1__<__an 常數(shù)列 an＋1＝an 概念方法微思考 1．數(shù)列的項與項數(shù)是一個概念嗎？ 提示 不是，數(shù)列的項是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項數(shù)是指數(shù)列的項對應的位置序號． 2．數(shù)列的通項公式an＝3n＋5與函數(shù)y＝3x＋5有何區(qū)別與聯(lián)系？ 提示 數(shù)列的通項公式an＝3n＋5是特殊的函數(shù)，其定義域為N*，而函數(shù)y＝3x＋5的定義域是R，an＝3n＋5的圖象是離散的點，且排列在y＝3x＋5的圖象上． 題組一 思考辨析 1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列．( ) (2)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達．( ) (3)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個．( √ ) (4)1,1,1,1，…，不能構成一個數(shù)列．( ) (5)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列．( ) (6)如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對?n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.( ) 題組二 教材改編 2．[P33A組T4]在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝4an＋1，則a3＝________. 答案 21 解析 由題意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21. 3．[P33A組T5]根據(jù)下面的圖形及相應的點數(shù)，寫出點數(shù)構成的數(shù)列的一個通項公式an＝________. 答案 5n－4 題組三 易錯自糾 4．已知an＝n2＋λn，且對于任意的n∈N*，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是________． 答案 (－3，＋∞) 解析 因為{an}是遞增數(shù)列，所以對任意的n∈N*，都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn， 整理，得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*) 因為n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 5．數(shù)列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，則此數(shù)列最大項的值是________． 答案 30 解析 an＝－n2＋11n＝－2＋， ∵n∈N*，∴當n＝5或n＝6時，an取最大值30. 6．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋1，則an＝________. 答案 解析 當n＝1時，a1＝S1＝2，當n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1， 故an＝ 題型一 由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式 例1根據(jù)下面各數(shù)列前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式： (1)，，，，，…；(2)－1,7，－13,19，…； (3)，2，，8，，…；(4)5,55,555,5555，…. 解 (1)這是一個分數(shù)數(shù)列，其分子構成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為13,35,57,79,911，…，每一項都是兩個相鄰奇數(shù)的乘積，分子依次為2,4,6，…，相鄰的偶數(shù)．故所求數(shù)列的一個通項公式為an＝. (2)偶數(shù)項為正，奇數(shù)項為負，故通項公式必含有因式(－1)n，觀察各項的絕對值，后一項的絕對值總比它前一項的絕對值大6，故數(shù)列的一個通項公式為 an＝(－1)n(6n－5)． (3)數(shù)列的各項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察．即，，，，，…，分子為項數(shù)的平方，從而可得數(shù)列的一個通項公式為an＝. (4)將原數(shù)列改寫為9，99，999，…，易知數(shù)列9,99,999，…的通項為10n－1，故所求的數(shù)列的一個通項公式為an＝(10n－1)． 思維升華求數(shù)列通項時，要抓住以下幾個特征： (1)分式中分子、分母的特征． (2)相鄰項的變化特征． (3)拆項后變化的部分和不變的部分的特征． (4)各項符號特征等． (5)若關系不明顯時，應將部分項作適當?shù)淖冃危y(tǒng)一成相同的形式． 跟蹤訓練1(1)(2018寧波北侖中學期中)數(shù)列，－，，－，…的一個通項公式為( ) A．a(chǎn)n＝(－1)n B．a(chǎn)n＝(－1)n C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1 D．a(chǎn)n＝(－1)n＋1 答案 D 解析 數(shù)列各項的分母為等比數(shù)列{2n}，分子為2n＋1，可用(－1)n＋1來控制各項的符號，故數(shù)列的一個通項公式為an＝(－1)n＋1. (2)數(shù)列{an}的前4項是，1，，，則這個數(shù)列的一個通項公式是an＝________. 答案 解析 數(shù)列{an}的前4項可變形為，，，，故an＝. 題型二 由an與Sn的關系求通項公式 例2(1)(2018浙江紹興一中期中)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2＋n＋1，bn＝(－1)n(an－2)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為________，數(shù)列{bn}的前50項和為________． 答案 an＝ 49 解析 當n＝1時，a1＝S1＝3； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋1－[(n－1)2＋(n－1)＋1]＝2n，當n＝1時不滿足上式，故則其通項公式為an＝ 當n＝1時，b1＝－1； 當n≥2時，bn＝(－1)n(an－2)＝(－1)n2(n－1)，則數(shù)列{bn}的前50項和為－1＋21－22＋23－…＋249＝－1＋2(1－2＋3－…＋49)＝－1＋225＝49. (2)(2018全國Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和．若Sn＝2an＋1，則S6＝________. 答案?。?3 解析 ∵Sn＝2an＋1，當n≥2時，Sn－1＝2an－1＋1， ∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)， 即an＝2an－1(n≥2)． 當n＝1時，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1. ∴數(shù)列{an}是首項a1＝－1，公比q＝2的等比數(shù)列， ∴Sn＝＝＝1－2n， ∴S6＝1－26＝－63. (3)已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，則an＝________. 答案 解析 當n＝1時，由已知，可得a1＝21＝2， ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，① 故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，② 由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1， ∴an＝. 顯然當n＝1時不滿足上式， ∴an＝ 思維升華已知Sn求an的常用方法是利用an＝一定要檢驗a1的情況． 跟蹤訓練2(1)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n＋1，則an＝________. 答案 解析 當n＝1時，a1＝S1＝3＋1＝4； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝ 23n－1. 當n＝1時，231－1＝2≠a1， 所以an＝ (2)設數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，則an＝________. 答案 解析 因為a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，① 則當n≥2時， a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，② ①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2)． 由題意知a1＝符合上式，所以an＝. (3)若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an＋，則{an}的通項公式是an＝________. 答案 (－2)n－1 解析 當n＝1時，a1＝S1＝a1＋，即a1＝1； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 故＝－2，故an＝(－2)n－1. 題型三 由數(shù)列的遞推關系求通項公式 例3設數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則an＝________. 答案 解析 由條件知an＋1－an＝n＋1， 則當n≥2時an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2＋3＋4＋…＋n)＋2＝. 當n＝1時，符合上式，因此an＝. 引申探究 1．若將“an＋1＝an＋n＋1”改為“an＋1＝an”，如何求解？ 解 ∵an＋1＝an，a1＝2，∴an≠0， ∴＝. ∴當n≥2時an＝…a1 ＝…2＝. 當n＝1時，符合上式，因此an＝. 2．若將“an＋1＝an＋n＋1”改為“an＋1＝2an＋3”，如何求解？ 解 設遞推公式an＋1＝2an＋3可以轉(zhuǎn)化為an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3.故an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，則b1＝a1＋3＝5，且＝＝2.所以{bn}是以5為首項，2為公比的等比數(shù)列． 所以bn＝52n－1，故an＝52n－1－3. 3．若將“an＋1＝an＋n＋1”改為“an＋1＝”，如何求解？ 解 ∵an＋1＝，a1＝2，∴an≠0， ∴＝＋，即－＝， 又a1＝2，則＝， ∴是以為首項，為公差的等差數(shù)列． ∴＝＋(n－1)＝.∴an＝. 4．若將本例條件換為“a1＝1，an＋1＋an＝2n”，如何求解？ 解 ∵an＋1＋an＝2n，∴an＋2＋an＋1＝2n＋2， 故an＋2－an＝2. 即數(shù)列{an}的奇數(shù)項與偶數(shù)項都是公差為2的等差數(shù)列． 當n為偶數(shù)時，a2＝1，故an＝a2＋2＝n－1. 當n為奇數(shù)時，∵an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1為偶數(shù))，故an＝n. 綜上所述，an＝n∈N*. 思維升華已知數(shù)列的遞推關系求通項公式的典型方法 (1)當出現(xiàn)an＝an－1＋m時，構造等差數(shù)列． (2)當出現(xiàn)an＝xan－1＋y時，構造等比數(shù)列． (3)當出現(xiàn)an＝an－1＋f(n)時，用累加法求解． (4)當出現(xiàn)＝f(n)時，用累乘法求解． 跟蹤訓練3(1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝______________. 答案 32n－1－2 解析 由an＋2＋2an－3an＋1＝0， 得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)， ∴數(shù)列{an＋1－an}是以a2－a1＝3為首項，2為公比的等比數(shù)列， ∴an＋1－an＝32n－1， ∴當n≥2時，an－an－1＝32n－2，…，a3－a2＝32，a2－a1＝3， 將以上各式累加，得 an－a1＝32n－2＋…＋32＋3＝3(2n－1－1)， ∴an＝32n－1－2(當n＝1時，也滿足)． (2)在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，則通項公式an＝________. 答案 4－ 解析 原遞推公式可化為an＋1＝an＋－， 則當n≥2時，a2＝a1＋－，a3＝a2＋－， a4＝a3＋－，…，an－1＝an－2＋－， an＝an－1＋－，逐項相加得an＝a1＋1－， 故an＝4－，經(jīng)驗證當n＝1時也符合． 題型四 數(shù)列的性質(zhì) 命題點1 數(shù)列的單調(diào)性 例4已知an＝，那么數(shù)列{an}是( ) A．遞減數(shù)列 B．遞增數(shù)列 C．常數(shù)列 D．擺動數(shù)列 答案 B 解析 an＝1－，將an看作關于n的函數(shù)，n∈N*，易知{an}是遞增數(shù)列． 命題點2 數(shù)列的周期性 例5(2018臺州質(zhì)檢)在數(shù)列{an}中，a1＝0，an＋1＝，則S2020＝________. 答案 0 解析 ∵a1＝0，an＋1＝， ∴a2＝＝，a3＝＝＝－， a4＝＝0， 即數(shù)列{an}的取值具有周期性，周期為3， 且a1＋a2＋a3＝0，則S2020＝S3673＋1＝a1＝0. 命題點3 數(shù)列的最值 例6已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，則nSn的最小值為( ) A．－3 B．－5 C．－6 D．－9 答案 D 解析 由Sm－1＝－2，Sm＝0， Sm＋1＝3(m≥2)可知am＝2，am＋1＝3， 設等差數(shù)列{an}的公差為d，則d＝1， ∵Sm＝0，∴a1＝－am＝－2， 則an＝n－3，Sn＝，nSn＝. 設f(x)＝，x>0，f′(x)＝x2－5x，x>0， ∴f(x)的極小值點為x＝， ∵n∈N*，且f(3)＝－9，f(4)＝－8， ∴f(n)min＝－9. 思維升華應用數(shù)列單調(diào)性的關鍵是判斷單調(diào)性，判斷數(shù)列單調(diào)性的常用方法有兩個：(1)利用數(shù)列對應的函數(shù)的單調(diào)性判斷；(2)對數(shù)列的前后項作差(或作商)，利用比較法判斷． 跟蹤訓練4(1)(2018浙江杭州二中期中)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，則a2020等于( ) A．－2B．－1C．2D. 答案 C 解析 由a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，得a2＝＝－1，a3＝＝，a4＝＝2，…，以此類推知數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列，所以a2020＝a3673＋1＝a1＝2，故選C. (2)若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－10n(n∈N*)，則數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項是( ) A．第2項 B．第3項 C．第4項 D．第5項 答案 B 解析 ∵Sn＝n2－10n， ∴當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－11； 當n＝1時，a1＝S1＝－9也適合上式． ∴an＝2n－11(n∈N*)． 記f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n， 此函數(shù)圖象的對稱軸為直線n＝，但n∈N*， ∴當n＝3時，f(n)取最小值． ∴數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項是第3項． 1．(2018嘉興期末檢測)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝，則是它的( ) A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項 答案 B 解析 由＝，n∈N*，得n＝5，所以是數(shù)列{an}的第5項，故選B. 2．記Sn為數(shù)列{an}的前n項和．“任意正整數(shù)n，均有an>0”是“{Sn}是遞增數(shù)列”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案 A 解析 ∵“an>0”?“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”， ∴“an>0”是“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”的充分條件． 如數(shù)列{an}為－1,1,3,5,7,9，…，顯然數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，但是an不一定大于零，還有可能小于零， ∴“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”不能推出“an>0”， ∴“an>0”是“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”的不必要條件． ∴“an>0”是“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”的充分不必要條件． 3．若Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝2an－2，則S8等于( ) A．255B．256C．510D．511 答案 C 解析 當n＝1時，a1＝S1＝2a1－2，據(jù)此可得a1＝2， 當n≥2時，Sn＝2an－2，Sn－1＝2an－1－2， 兩式作差可得an＝2an－2an－1，則an＝2an－1， 據(jù)此可得數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列， 其前8項和為S8＝＝29－2＝512－2＝510. 4．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋2n，則數(shù)列的前6項和為( ) A.B.C.D. 答案 A 解析 數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋2n，Sn－1＝n2－1，兩式作差得到an＝2n＋1(n≥2)， 又當n＝1時，a1＝S1＝12＋21＝3，符合上式， 所以an＝2n＋1， ＝＝ 裂項求和得到S6＝＝，故選A. 5．在數(shù)列{an}中，a1＝2，＝＋ln，則an等于( ) A．2＋nlnn B．2n＋(n－1)lnn C．2n＋nlnn D．1＋n＋nlnn 答案 C 解析 由題意得－＝ln(n＋1)－lnn，n分別用1,2,3，…，(n－1)取代，累加得－＝lnn－ln1＝lnn，＝2＋lnn，∴an＝(lnn＋2)n，故選C. 6．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝，若a1a2…an≤a1a2…ak對n∈N*恒成立，則正整數(shù)k的值為( ) A．5B．6C．7D．8 答案 A 解析 an＝，當n≤5時，an>1；當n≥6時，an<1， 由題意知，a1a2…ak是{an}的前n項乘積的最大值，所以k＝5.故選A. 7．若數(shù)列{an}滿足關系an＋1＝1＋，a8＝，則a5＝________. 答案 解析 借助遞推關系，由a8遞推依次得到a7＝，a6＝，a5＝. 8．(2018浙江“七彩陽光”新高考研究聯(lián)盟第二學期期初)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋2n－1(n∈N*)，則a1＝________；數(shù)列{an}的通項公式為an＝________. 答案 2 解析 由題意易得a1＝S1＝2，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋2n－1)－[(n－1)2＋2(n－1)－1]＝2n＋1，而a1＝2≠3，所以an＝ 9．(2018紹興柯橋第二學期質(zhì)檢)已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn和2的等比中項等于an和2的等差中項，則a1＝________；Sn＝________. 答案 2 2n2 解析 由題意，得＝，即(an＋2)2＝8Sn，① 所以(a1＋2)2＝8a1，解得a1＝2； 當n≥2時，(an－1＋2)2＝8Sn－1，② ①－②，得(an－an－1)(an＋an－1)＝4(an＋an－1)， 又an>0，所以an－an－1＝4，所以數(shù)列{an}是首項為2，公差為4的等差數(shù)列，所以Sn＝2n＋4＝2n2. 10．(2019衢州質(zhì)檢)在數(shù)列{an}中，a1＝1，(n2＋2n)(an＋1－an)＝1(n∈N*)，則通項公式an＝________. 答案?。? 解析 由(n2＋2n)(an＋1－an)＝1得an＋1－an＝＝，所以當n≥2時，a2－a1＝，a3－a2＝，…，an－1－an－2＝，an－an－1＝，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝＋1＝－，當n＝1時，滿足上式，故an＝－. 11．已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項和Sn＝an. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通項公式． 解 (1)由S2＝a2，得3(a1＋a2)＝4a2， 解得a2＝3a1＝3； 由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3， 解得a3＝(a1＋a2)＝6. (2)由題設知a1＝1. 當n>1時，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 整理，得an＝an－1. 于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…， an－1＝an－2，an＝an－1， 將以上n個等式兩端分別相乘，整理，得an＝. 經(jīng)檢驗，當n＝1時，a1＝1符合上式， 綜上，{an}的通項公式an＝. 12．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，其前n項和為Sn，且滿足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)記bn＝3n－λa，若數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列，求λ的取值范圍． 解 (1)∵2Sn＝(n＋1)an， ∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1， ∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 即nan＋1＝(n＋1)an，∴＝， ∴＝＝…＝＝1， ∴an＝n(n∈N*)． (2)bn＝3n－λn2. bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2) ＝23n－λ(2n＋1)． ∵數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列， ∴23n－λ(2n＋1)>0，即λ<. 令cn＝， 即＝＝>1. ∴{cn}為遞增數(shù)列，∴λ
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