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高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書:第8章 第2節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理 Word版含解析

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高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書:第8章 第2節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理 Word版含解析

第二節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理最新考綱1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題1四個公理(1)公理1:過不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個平面(即可以確定一個平面)(2)公理2:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi), 那么這條直線在此平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))拓展:公理2的三個推論推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個平面推論2:經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面推論3:經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面(3)公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線(4)公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行2直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類(2)異面直線所成的角定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線aa,bb,把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍:(0°,90°拓展:異面直線判定的一個定理過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線,與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線,如圖所示3空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系(1)空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點(diǎn)直線在平面內(nèi)a無數(shù)個直線不在平面內(nèi)直線與平面平行a0個直線與平面相交直線與平面斜交aA1個直線與平面垂直a1個(2)空間中平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點(diǎn)兩平面平行0個兩平面相交l無數(shù)_個4等角定理空間中,如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補(bǔ)唯一性定理(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行(2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直(3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知平面平行(4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直一、思考辨析(正確的打“”,錯誤的打“×”)(1)兩個平面,有一個公共點(diǎn)A,就說,相交于過A點(diǎn)的任意一條直線()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面()(3)如果兩個平面有三個公共點(diǎn),則這兩個平面重合()(4)若直線a不平行于平面,且a,則內(nèi)的所有直線與a異面()答案(1)×(2)(3)×(4)×二、教材改編1已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么c與b()A一定是異面直線B一定是相交直線C不可能是平行直線D不可能是相交直線C由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線,但不可能為平行直線,若bc,則ab,與已知a,b為異面直線相矛盾2.如圖所示,在正方體ABCD­A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點(diǎn),則異面直線B1C與EF所成角的大小為()A30°B45°C60°D90°C連接B1D1,D1C(圖略),則B1D1EF,故D1B1C為所求的角,又B1D1B1CD1C,D1B1C60°.3下列命題正確的是()A兩個平面如果有公共點(diǎn),那么一定相交B兩個平面的公共點(diǎn)一定共線C兩個平面有3個公共點(diǎn)一定重合D過空間任意三點(diǎn),一定有一個平面D如果兩個平面重合,則排除A,B兩項;兩個平面相交,則有一條交線,交線上任取三個點(diǎn)都是兩個平面的公共點(diǎn),故排除C項;而D項中的三點(diǎn)不論共線還是不共線,則一定能找到一個平面過這三個點(diǎn)4.如圖,在三棱錐A­BCD中,E,F(xiàn),G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),則(1)當(dāng)AC,BD滿足條件_時,四邊形EFGH為菱形;(2)當(dāng)AC,BD滿足條件_時,四邊形EFGH為正方形(1)ACBD(2)ACBD且ACBD(1)四邊形EFGH為菱形,EFEH,ACBD.(2)四邊形EFGH為正方形,EFEH且EFEH,EFAC,EHBD,且EFAC,EHBD,ACBD且ACBD.考點(diǎn)1平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用共面、共線、共點(diǎn)問題的證明(1)證明共面的方法:先確定一個平面,然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個平面內(nèi);證兩平面重合(2)證明共線的方法:先由兩點(diǎn)確定一條直線,再證其他各點(diǎn)都在這條直線上;直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上(3)證明線共點(diǎn)問題的常用方法是:先證其中兩條直線交于一點(diǎn),再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)如圖所示,正方體ABCD­A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)求證:(1)E,C,D1,F(xiàn)四點(diǎn)共面;(2)CE,D1F,DA三線共點(diǎn)證明(1)如圖,連接EF,CD1,A1B.E,F(xiàn)分別是AB,AA1的中點(diǎn),EFBA1.又A1BD1C,EFCD1,E,C,D1,F(xiàn)四點(diǎn)共面(2)EFCD1,EF<CD1,CE與D1F必相交,設(shè)交點(diǎn)為P,則由P直線CE,CE平面ABCD,得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA,P直線DA,CE,D1F,DA三線共點(diǎn) 本例第(1)問的證明應(yīng)用了公理2的推論,采用線線共面,則線上的點(diǎn)必共面的思想;本例第(2)問的證明應(yīng)用了公理3,采用先證明CE與D1F相交,再證明交點(diǎn)在直線DA上1.(2019·衡水中學(xué)模擬)有下列四個命題:空間四點(diǎn)共面,則其中必有三點(diǎn)共線;空間四點(diǎn)不共面,則其中任意三點(diǎn)不共線;空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線,則此四點(diǎn)共面;空間四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線,則此四點(diǎn)不共面其中真命題的所有序號有_中,對于平面四邊形來說不成立,故是假命題;中,若四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線,則根據(jù)“直線與直線外一點(diǎn)可以確定一個平面”知四點(diǎn)共面,與四點(diǎn)不共面矛盾,故是真命題;由的分析可知是真命題;中,平面四邊形的四個頂點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線,但四點(diǎn)共面,故是假命題2.如圖所示,空間四邊形ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點(diǎn),G,H分別在BC,CD上,且BGGCDHHC12.(1)求證:E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面;(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P,求證:P,A,C三點(diǎn)共線證明(1)因?yàn)镋,F(xiàn)分別為AB,AD的中點(diǎn),所以EFBD.在BCD中,所以GHBD,所以EFGH.所以E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面(2)因?yàn)镋GFHP,PEG,EG平面ABC,所以P平面ABC.同理P平面ADC.所以P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)又平面ABC平面ADCAC,所以PAC,所以P,A,C三點(diǎn)共線考點(diǎn)2判斷空間兩直線的位置關(guān)系空間中兩直線位置關(guān)系的判定方法1.若直線l1和l2是異面直線,l1在平面內(nèi),l2在平面內(nèi),l是平面與平面的交線,則下列命題正確的是()Al與l1,l2都不相交Bl與l1,l2都相交Cl至多與l1,l2中的一條相交Dl至少與l1,l2中的一條相交D法一:(反證法)由于l與直線l1,l2分別共面,故直線l與l1,l2要么都不相交,要么至少與l1,l2中的一條相交若ll1,ll2,則l1l2,這與l1,l2是異面直線矛盾故l至少與l1,l2中的一條相交法二:(模型法)如圖(1),l1與l2是異面直線,l1與l平行,l2與l相交,故A,B不正確;如圖(2),l1與l2是異面直線,l1,l2都與l相交,故C不正確圖(1) 圖(2)2.(2019·全國卷)如圖,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,ECD為正三角形,平面ECD平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn),則()ABMEN,且直線BM、EN是相交直線BBMEN,且直線BM,EN是相交直線CBMEN,且直線BM、EN是異面直線DBMEN,且直線BM,EN是異面直線B如圖所示, 作EOCD于O,連接ON,過M作MFOD于F.連接BF,平面CDE平面ABCD,EOCD,EO平面CDE,EO平面ABCD,MF平面ABCD,MFB與EON均為直角三角形設(shè)正方形邊長為2,易知EO,ON1,EN2,MF,BF,BM.BMEN.連接BD,BE,點(diǎn)N是正方形ABCD的中點(diǎn),點(diǎn)N在BD上,且BNDN.又M為ED的中點(diǎn),BM,EN為DBE的中線,BM,EN必相交故選B.3在下列四個圖中,G,N,M,H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有_(填序號) 圖中,直線GHMN;圖中,G,H,N三點(diǎn)共面,但M平面GHN,因此直線GH與MN異面;圖中,連接MG,GMHN,因此GH與MN共面;圖中,G,M,N共面,但H平面GMN,因此GH與MN異面所以在圖中,GH與MN異面在直接判斷不好處理的情況下,反證法、模型法(如構(gòu)造幾何體:正方體、空間四邊形等)和特例排除法等是解決此類問題的三種常用便捷方法考點(diǎn)3異面直線所成的角1.平移法求異面直線所成角的一般步驟(1)作角用平移法找(或作)出符合題意的角(2)求角轉(zhuǎn)化為求一個三角形的內(nèi)角,通過解三角形,求出角的大小提醒:異面直線所成的角.2坐標(biāo)法求異面直線所成的角:當(dāng)題設(shè)中含有兩兩垂直的三邊關(guān)系時,常采用坐標(biāo)法提醒:如果求出的角是銳角或直角,則它就是要求的角;如果求出的角是鈍角,則它的補(bǔ)角才是要求的角(1)一題多解(2018·全國卷)在長方體ABCD­A1B1C1D1中,ABBC1,AA1,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.B.C.D.(2)如圖所示,A是BCD所在平面外的一點(diǎn),E,F(xiàn)分別是BC,AD的中點(diǎn)求證:直線EF與BD是異面直線;若ACBD,ACBD,求EF與BD所成的角(1)C法一:(平移法)如圖,連接BD1,交DB1于O,取AB的中點(diǎn)M,連接DM,OM.易知O為BD1的中點(diǎn),所以AD1OM,則MOD為異面直線AD1與DB1所成角因?yàn)樵陂L方體ABCD­A1B1C1D1中,ABBC1,AA1,AD12,DM,DB1,所以O(shè)MAD11,ODDB1,于是在DMO中,由余弦定理,得cosMOD,即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為.故選C.法二:(坐標(biāo)法)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示由條件可知D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,),B1(1,1,),所以(1,0,),(1,1,),則由向量夾角公式,得cos,即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為,故選C.法三:(補(bǔ)體法)如圖,在長方體ABCD­A1B1C1D1的一側(cè)補(bǔ)上一個相同的長方體ABBA­A1B1B1A1.連接B1B,由長方體性質(zhì)可知,B1BAD1,所以DB1B為異面直線AD1與DB1所成的角或其補(bǔ)角連接DB,由題意,得DB,BB12,DB1.在DBB1中,由余弦定理,得DB2BBDB2BB1·DB1·cosDB1B,即5452×2cosDB1B,cosDB1B.故選C.(2)解證明:假設(shè)EF與BD不是異面直線,則EF與BD共面,從而DF與BE共面,即AD與BC共面,所以A,B,C,D在同一平面內(nèi),這與A是BCD所在平面外的一點(diǎn)相矛盾故直線EF與BD是異面直線取CD的中點(diǎn)G,連接EG,F(xiàn)G,則ACFG,EGBD,所以相交直線EF與EG所成的角,即為異面直線EF與BD所成的角又因?yàn)锳CBD,則FGEG.在RtEGF中,由EGFGAC,求得FEG45°,即異面直線EF與BD所成的角為45°.平移法、坐標(biāo)法和補(bǔ)體法是求兩條異面直線所成角的大小的三種常用方法,其中平移法和補(bǔ)體法的實(shí)質(zhì)是平行移動直線,把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角,體現(xiàn)了化歸思想教師備選例題1(2016·全國卷)平面過正方體ABCD­A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,平面CB1D1,平面ABCDm,平面ABB1A1n,則m,n所成角的正弦值為()A.B.C.D.A如圖,設(shè)平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1,m1m.又平面ABCD平面A1B1C1D1,且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1,B1D1m1.B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1,且平面CB1D1平面DCC1D1CD1,同理可證CD1n.因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角在正方體ABCD­A1B1C1D1中,CB1D1是正三角形,故直線B1D1與CD1所成角為60°,其正弦值為.2(2017·全國卷)a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論:當(dāng)直線AB與a成60°角時,AB與b成30°角;當(dāng)直線AB與a成60°角時,AB與b成60°角;直線AB與a所成角的最小值為45°;直線AB與a所成角的最大值為60°.其中正確的是_(填寫所有正確結(jié)論的編號)依題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)等腰直角三角形ABC的直角邊長為1.由題意知點(diǎn)B在平面xOy中形成的軌跡是以C為圓心,1為半徑的圓設(shè)直線a的方向向量為a(0,1,0),直線b的方向向量為b(1,0,0),以O(shè)x軸為始邊沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角為,0,2),則B(cos ,sin ,0),(cos ,sin ,1),|.設(shè)直線AB與a所成夾角為,則cos |sin |,45°90°,正確,錯誤設(shè)直線AB與b所成夾角為,則cos |cos |.當(dāng)直線AB與a的夾角為60°,即60°時,則|sin |cos cos 60°,|cos |.cos |cos |.0°90°,60°,即直線AB與b的夾角為60°.正確,錯誤1. (2019·聊城一模)如圖,圓柱的軸截面ABCD為正方形,E為弧的中點(diǎn),則異面直線AE與BC所成角的余弦值為()A.B.C.D.D取BC的中點(diǎn)H,連接EH,AH,EHA90°,設(shè)AB2,則BHHE1,AH,所以AE,連接ED,ED,因?yàn)锽CAD,所以異面直線AE與BC所成角即為EAD,在EAD中cosEAD,故選D.2(2019·西安模擬)如圖是正四面體的平面展開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點(diǎn),在這個正四面體中,GH與EF平行;BD與MN為異面直線;GH與MN成60°角;DE與MN垂直以上四個命題中,正確命題的序號是_還原成正四面體A­DEF,其中H與N重合,A,B,C三點(diǎn)重合易知GH與EF異面,BD與MN異面連接GM,GMH為等邊三角形,GH與MN成60°角,易證DEAF,又MNAF,MNDE.因此正確命題的序號是.

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