9、∴CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．
本例第(1)問(wèn)的證明應(yīng)用了公理2的推論，采用線線共面，則線上的點(diǎn)必共面的思想；本例第(2)問(wèn)的證明應(yīng)用了公理3，采用先證明CE與D1F相交，再證明交點(diǎn)在直線DA上．
1.(2019·衡水中學(xué)模擬)有下列四個(gè)命題：
①空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線；
②空間四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線；
③空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)共面；
④空間四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)不共面．
其中真命題的所有序號(hào)有________．
②③ [①中，對(duì)于平面四邊形來(lái)說(shuō)不成立，故①是假命題；②中，若四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則根據(jù)“直線與直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面”知
10、四點(diǎn)共面，與四點(diǎn)不共面矛盾，故②是真命題；由②的分析可知③是真命題；④中，平面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，故④是假命題．]
2.如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．
[證明] (1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，
所以EF∥BD.
在△BCD中，＝＝，
所以GH∥BD，
所以EF∥GH.
所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．
(2)因?yàn)镋G∩FH＝P，P∈EG，EG平面ABC，
11、
所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
所以P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)．
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
所以P∈AC，
所以P，A，C三點(diǎn)共線．
考點(diǎn)2 判斷空間兩直線的位置關(guān)系
空間中兩直線位置關(guān)系的判定方法
1.若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是( )
A．l與l1，l2都不相交
B．l與l1，l2都相交
C．l至多與l1，l2中的一條相交
D．l至少與l1，l2中的一條相交
D [法一：(反證法) 由于l與直線l1，l2分別共面，故直線l與l1，l2要么都不相交，要
12、么至少與l1，l2中的一條相交．若l∥l1，l∥l2，則l1∥l2，這與l1，l2是異面直線矛盾．故l至少與l1，l2中的一條相交．
法二：(模型法)如圖(1)，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖(2)，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確．
]
圖(1) 圖(2)
2.(2019·全國(guó)卷Ⅲ)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則( )
A．BM＝EN，且直線BM、EN是相交直線
B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線
C．BM＝EN，且直線BM、
13、EN是異面直線
D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線
B [如圖所示， 作EO⊥CD于O，連接ON，過(guò)M作MF⊥OD于F.
連接BF，∵平面CDE⊥平面ABCD，EO⊥CD，EO平面CDE，∴EO⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，
∴△MFB與△EON均為直角三角形．設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，易知EO＝，ON＝1，EN＝2，
MF＝，BF＝，
∴BM＝.
∴BM≠EN.連接BD，BE，∵點(diǎn)N是正方形ABCD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)N在BD上，且BN＝DN.
又∵M(jìn)為ED的中點(diǎn)，
∴BM，EN為△DBE的中線，
∴BM，EN必相交．故選B.]
3．在下列四個(gè)圖中，G，N，M，
14、H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．(填序號(hào))
① ?、凇 ? ③ ?、?
②④ [圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．所以在圖②④中，GH與MN異面．]
在直接判斷不好處理的情況下，反證法、模型法(如構(gòu)造幾何體：正方體、空間四邊形等)和特例排除法等是解決此類問(wèn)題的三種常用便捷方法．
考點(diǎn)3 異面直線所成的角
1.平移法求異面直線所成角
15、的一般步驟
(1)作角——用平移法找(或作)出符合題意的角．
(2)求角——轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過(guò)解三角形，求出角的大?。?
提醒：異面直線所成的角θ∈.
2．坐標(biāo)法求異面直線所成的角：當(dāng)題設(shè)中含有兩兩垂直的三邊關(guān)系時(shí)，常采用坐標(biāo)法．
提醒：如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．
(1)[一題多解](2018·全國(guó)卷Ⅱ)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為( )
A. B.
C. D.
(2)如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)
16、，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)．
①求證：直線EF與BD是異面直線；
②若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．
(1)C [法一：(平移法)如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點(diǎn)M，連接DM，OM.易知O為BD1的中點(diǎn)，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角．因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2，
DM＝＝，
DB1＝＝，所以O(shè)M＝AD1＝1，OD＝DB1＝，于是在△DMO中，由余弦定理，
得cos∠MOD＝＝，
即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為.
故選C.
法二：(坐標(biāo)法)以D為坐標(biāo)
17、原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．由條件可知D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，所以＝(－1,0，)，＝(1,1，)，則由向量夾角公式，得cos〈，〉＝＝＝，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為，故選C.
法三：(補(bǔ)體法)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的一側(cè)補(bǔ)上一個(gè)相同的長(zhǎng)方體A′B′BA-A1′B1′B1A1.連接B1B′，由長(zhǎng)方體性質(zhì)可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′為異面直線AD1與DB1所成的角或其補(bǔ)角．連接DB′，由題意，得DB′＝＝，B′B1＝＝2，DB1＝＝.
在△D
18、B′B1中，由余弦定理，得
DB′2＝B′B＋DB－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，
即5＝4＋5－2×2cos∠DB1B′，
∴cos∠DB1B′＝.故選C.]
(2)[解]?、僮C明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)相矛盾．故直線EF與BD是異面直線．
②取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則AC∥FG，EG∥BD，
所以相交直線EF與EG所成的角，
即為異面直線EF與BD所成的角．
又因?yàn)锳C⊥BD，則FG⊥EG.
在Rt△EGF中，由EG＝FG
19、＝AC，求得∠FEG＝45°，
即異面直線EF與BD所成的角為45°.
平移法、坐標(biāo)法和補(bǔ)體法是求兩條異面直線所成角的大小的三種常用方法，其中平移法和補(bǔ)體法的實(shí)質(zhì)是平行移動(dòng)直線，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角，體現(xiàn)了化歸思想．
[教師備選例題]
1．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)平面α過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為( )
A. B.
C. D.
A [如圖，設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.
∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.
又平面A
20、BCD∥平面A1B1C1D1，
且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m.
∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可證CD1∥n.
因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角．
在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，
故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為.]
2．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：
①當(dāng)直線AB與a
21、成60°角時(shí)，AB與b成30°角；
②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角；
③直線AB與a所成角的最小值為45°；
④直線AB與a所成角的最大值為60°.
其中正確的是________．(填寫所有正確結(jié)論的編號(hào))
②③ [依題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)等腰直角三角形ABC的直角邊長(zhǎng)為1.
由題意知點(diǎn)B在平面xOy中形成的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓．
設(shè)直線a的方向向量為a＝(0,1,0)，直線b的方向向量為b＝(1,0,0)，以O(shè)x軸為始邊沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角為θ，θ∈[0,2π)，則B(cos θ，sin θ，0)，
∴＝(cos θ，sin θ，
22、－1)，||＝.
設(shè)直線AB與a所成夾角為α，
則cos α＝＝|sin θ|∈，
∴45°≤α≤90°，∴③正確，④錯(cuò)誤．
設(shè)直線AB與b所成夾角為β，
則cos β＝＝|cos θ|.
當(dāng)直線AB與a的夾角為60°，即α＝60°時(shí)，
則|sin θ|＝cos α＝cos 60°＝，
∴|cos θ|＝.∴cos β＝|cos θ|＝.
∵0°≤β≤90°，∴β＝60°，即直線AB與b的夾角為60°.
∴②正確，①錯(cuò)誤．]
1. (2019·聊城一模)如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為弧的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為( )
A. B.
C.
23、D.
D [取BC的中點(diǎn)H，連接EH，AH，∠EHA＝90°，設(shè)AB＝2，則BH＝HE＝1，AH＝，所以AE＝，連接ED，ED＝，因?yàn)锽C∥AD，所以異面直線AE與BC所成角即為∠EAD，在△EAD中cos∠EAD＝＝，故選D.]
2．(2019·西安模擬)如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________．
②③④ [還原成正四面體A-DEF，其中H與N重合，A，B，C三點(diǎn)重合．
易知GH與EF異面，BD與MN異面．
連接GM，∵△GMH為等邊三角形，
∴GH與MN成60°角，
易證DE⊥AF，又MN∥AF，
∴MN⊥DE.
因此正確命題的序號(hào)是②③④.]
高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第8章 第2節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理 Word版含解析
