(浙江專(zhuān)用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)提分 第一篇 小考點(diǎn)搶先練基礎(chǔ)題不失分 第4練 平面向量試題.docx
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第4練 平面向量 [明晰考情] 1.命題角度:向量常與三角函數(shù)、不等式、解析幾何等知識(shí)交匯命題,綜合考查向量的有關(guān)知識(shí),一般以選擇、填空題的形式考查.2.題目難度:中低檔難度. 考點(diǎn)一 平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算 要點(diǎn)重組 (1)平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算:加法、減法、數(shù)乘. (2)共線(xiàn)向量定理. (3)平面向量基本定理. 方法技巧 (1)向量加法的平行四邊形法則:共起點(diǎn);三角形法則:首尾相連;向量減法的三角形法則:共起點(diǎn)連終點(diǎn),指向被減. (2)已知O為平面上任意一點(diǎn),則A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是存在s,t,使得=s+t,且s+t=1,s,t∈R. (3)證明三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為向量共線(xiàn)解決. 1.(2018全國(guó)Ⅰ)在△ABC中,AD為BC邊上的中線(xiàn),E為AD的中點(diǎn),則等于( ) A.- B.- C.+ D.+ 答案 A 解析 作出示意圖如圖所示. =+=+=(+)+(-) =-. 故選A. 2.如圖,在△ABC中,N是AC邊上一點(diǎn),且=,P是BN上的一點(diǎn),若=m+,則實(shí)數(shù)m的值為( ) A. B. C.1 D.3 答案 B 解析 ∵=,∴=, ∴=m+=m+. 又B,N,P三點(diǎn)共線(xiàn), ∴m=. 3.如圖,在正方形ABCD中,M,N分別是BC,CD的中點(diǎn),若=λ+μ,則λ+μ等于( ) A.2B. C.D. 答案 D 解析 方法一 如圖以AB,AD為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,=,=,=(1,1). ∵=λ+μ=λ+μ=, ∴解得故λ+μ=. 方法二 以,作為基底, ∵M(jìn),N分別為BC,CD的中點(diǎn), ∴=+=+, =+=-, ∴=λ+μ=+, 又=+, 因此解得 所以λ+μ=. 4.已知AB,DC為梯形ABCD的兩腰,若=(-1,3),=(1-x,2x),則x=_____. 答案 3 解析 由梯形的性質(zhì)知,∥,且同向, 則-12x-3(1-x)=0,解得x=3. 5.在△ABC中,點(diǎn)M是線(xiàn)段BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),且滿(mǎn)足BM=3CM,若=x+y,則x-y=________. 答案?。? 解析 因?yàn)椋剑剑?,=-? 所以=+(-)=-, 所以x=-,y=,則x-y=-2. 考點(diǎn)二 平面向量的數(shù)量積 要點(diǎn)重組 (1)ab=|a||b|cosθ. (2)|a|2=aa;cosθ=. 方法技巧 (1)向量數(shù)量積的求法:定義法,幾何法(利用數(shù)量積的幾何意義),坐標(biāo)法. (2)向量運(yùn)算的兩種基本方法:基向量法,坐標(biāo)法. 6.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ為實(shí)數(shù),(b+λa)⊥c,則λ的值為( ) A.-B.- C.D. 答案 A 解析 b+λa=(1,0)+λ(1,2)=(1+λ,2λ),又c=(3,4),且(b+λa)⊥c,所以(b+λa)c=0,即3(1+λ)+2λ4=3+3λ+8λ=0,解得λ=-. 7.已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則(+)的最小值是( ) A.-2 B.- C.- D.-1 答案 B 解析 方法一 (解析法) 建立坐標(biāo)系如圖①所示,則A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,),B(-1,0),C(1,0).設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y), 圖① 則=(-x,-y), =(-1-x,-y), =(1-x,-y), ∴(+)=(-x,-y)(-2x,-2y) =2(x2+y2-y)=2≥2=-. 當(dāng)且僅當(dāng)x=0,y=時(shí),(+)取得最小值,最小值為-. 故選B. 方法二 (幾何法) 如圖②所示,+=2(D為BC的中點(diǎn)),則(+)=2. 圖② 要使最小,則與方向相反,即點(diǎn)P在線(xiàn)段AD上,則(2)min=-2||||, 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求||||的最大值. 又當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AD上時(shí), ||+||=||=2=, ∴||||≤2=2=, ∴[(+)]min=(2)min=-2=-. 故選B. 8.已知向量=,=,則∠ABC等于( ) A.30 B.45 C.60 D.120 答案 A 解析 ||=1,||=1,cos∠ABC==. 又∵0≤∠ABC≤180,∴∠ABC=30. 9.(2016浙江)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若對(duì)任意單位向量e,均有|ae|+|be|≤,則ab的最大值是________. 答案 解析 由已知可得≥|ae|+|be|≥|ae+be|=|(a+b)e|, 由于上式對(duì)任意單位向量e都成立. ∴≥|a+b|成立. ∴6≥(a+b)2=a2+b2+2ab=12+22+2ab. 即6≥5+2ab,∴ab≤. 10.在平面內(nèi),===6,動(dòng)點(diǎn)P,M滿(mǎn)足||=2,=,則||2的最大值是________. 答案 16 解析 由已知易得△ABC是等邊三角形且邊長(zhǎng)為2.設(shè)O是△ABC的中心,則||=||=||=2. 以O(shè)為原點(diǎn),直線(xiàn)OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系, 如圖所示, 則A(2,0),B(-1,-),C(-1,). 設(shè)P(x,y),由已知||=2, 得(x-2)2+y2=4.∵=, ∴M,∴=, ∴||2=, 它表示圓(x-2)2+y2=4上的點(diǎn)P(x,y)與點(diǎn)D(-1,-3)的距離的平方的, ∵||max=+2=+2=8, ∴||==16. 考點(diǎn)三 平面向量的綜合應(yīng)用 方法技巧 (1)以向量為載體的綜合問(wèn)題,要準(zhǔn)確使用平面向量知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,最后歸結(jié)為不含向量的問(wèn)題. (2)平面向量常與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等相結(jié)合,利用向量共線(xiàn)或數(shù)量積的知識(shí)解題. 11.(2018溫州模擬)如圖已知△ABC的邊BC的垂直平分線(xiàn)交BC于Q,交AC于P,若||=1,||=2,則的值為( ) A.3B.C.D. 答案 B 解析 因?yàn)锽C的垂直平分線(xiàn)交AC于Q,所以=0,==+===,故選B. 12.如圖,半徑為1的扇形AOB中,∠AOB=120,P是弧AB上的一點(diǎn),且滿(mǎn)足OP⊥OB, M,N分別是線(xiàn)段OA,OB上的動(dòng)點(diǎn),則的最大值為( ) A. B. C.1 D. 答案 C 解析 ==2++ =1+||cos150+||||cos120≤1+0+0=1,當(dāng)且僅當(dāng)M點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)取等號(hào),故選C. 13.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E是線(xiàn)段BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且+=x+y,則+的最小值為( ) A. B.2 C. D. 答案 D 解析 由題圖可知x,y均為正,設(shè)=m+n,=λ+μ,∵B,D,E,C共線(xiàn), ∴m+n=1,λ+μ=1, ∵+=x+y=(m+λ)+(n+μ), 則x+y=m+n+λ+μ=2, ∴+==≥=, 當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=時(shí),等號(hào)成立. 則+的最小值為,故選D. 14.(2018浙江省名校協(xié)作體聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{xn}的各項(xiàng)都為正數(shù)且x1=1.△ABC內(nèi)的點(diǎn)Pn(n∈N*)均滿(mǎn)足△PnAB與△PnAC的面積比為2∶1,若+xn+1+(2xn+1)=0,則x4的值為( ) A.15 B.17 C.29 D.31 答案 A 解析 由+xn+1+=0得+(2xn+1)=-xn+1, 設(shè)=(2xn+1), 以線(xiàn)段PnA,PnD作出平行四邊形AEDPn,如圖, 則+==-xn+1, ∴=, ∴= , ==, ∴==, 則==, 即xn+1=2xn+1, ∴xn+1+1=2(xn+1), 則{xn+1}構(gòu)成以2為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列, 所以x4+1=223=16,所以x4=15.故選A. 15.在△ABC中,∠ACB為鈍角,AC=BC=1, =x+y且x+y=1,函數(shù)f(m)=|-m|的最小值為,則||的最小值為_(kāi)_______. 答案 解析 在△ABC中,∠ACB為鈍角,AC=BC=1, 函數(shù)f(m)的最小值為. ∴函數(shù)f(m)=|-m| = =≥, 化為4m2-8mcos∠ACB+1≥0恒成立. 當(dāng)且僅當(dāng)m==cos∠ACB時(shí)等號(hào)成立, 代入得到cos∠ACB=-(舍去正值), ∴∠ACB=. ∴2=x22+y22+2xy =x2+y2+2xycos =x2+(1-x)2-x(1-x) =32+, 當(dāng)且僅當(dāng)x==y(tǒng)時(shí),2取得最小值, ∴的最小值為. 1.對(duì)任意向量a,b,下列關(guān)系式中不恒成立的是( ) A.|ab|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2 答案 B 解析 選項(xiàng)B中,當(dāng)向量a,b反向及不共線(xiàn)時(shí), 有|a-b|>,故B中關(guān)系式不恒成立. 2.△ABC的外接圓的圓心為O,半徑為1,若++=0,且||=||,則等于( ) A.B.C.3D.2 答案 C 解析 ∵++=0,∴=-,故點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),且△ABC為直角三角形, 又△ABC的外接圓的半徑為1,||=||,∴BC=2,AB=1,CA=,∠BCA=30, ∴=||||cos30=2=3. 3.已知向量a=(1,2),b=(1,1),且a與a+λb的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是__________. 答案 ∪ 解析 a+λb=(1+λ,2+λ),由a(a+λb)>0,可得λ>-. 又a與a+λb不共線(xiàn),∴λ≠0.故λ>-且λ≠0. 4.向量a,b滿(mǎn)足|a|=4,b(a-b)=0,若|λa-b|的最小值為2(λ∈R),則ab=______. 答案 8 解析 向量a,b滿(mǎn)足|a|=4,b(a-b)=0, 即ab=b2. 若|λa-b|==≥2(λ∈R), 化為16λ2-2λab+ab-4≥0對(duì)于λ∈R恒成立, ∴Δ=4(ab)2-64(ab-4)≤0, 化為(ab-8)2≤0, ∴ab=8. 解題秘籍 (1)熟練掌握向量數(shù)量積的概念,并且要從幾何意義理解數(shù)量積的性質(zhì). (2)注意向量夾角的定義和范圍.在△ABC中,和的夾角為π-B;向量a,b的夾角為銳角要和ab>0區(qū)別開(kāi)來(lái)(不要忽視向量共線(xiàn)情況,兩向量夾角為鈍角類(lèi)似處理). 1.(2018金華模擬)已知平面向量a,b,c,滿(mǎn)足+=,且|a|+|b|+|c|=4,則c(a+b)的最大值為( ) A.1B.2C.3D.4 答案 B 解析 由題意可得+=, 可得〈a,c〉=60,〈b,c〉=60, 故c(a+b)=, 將|a|+|b|+|c|=4兩邊同時(shí)乘以|c|, 可得|a||c|+|b||c|=-|c|2+4|c|, 故c(a+b)===, 故[c(a+b)]max==2. 2.若||=1,||=4,=2,+=,則△ABC的面積是( ) A.1B.2C.D.2 答案 C 解析 因?yàn)椋剑? 所以=-=,=-=, 又||=1,||=4, 所以||=1,||=4,=2,即=2. 設(shè)與的夾角為θ,易知θ與∠BCA互為對(duì)頂角, 所以θ=∠BCA. 由=||||cosθ=14cosθ=2, 得cosθ=,∠BCA是三角形的內(nèi)角,sin∠BCA=sinθ=, 所以S△ABC=||||sin∠BCA=. 3.(2018諸暨月考)平行四邊形ABCD中,,在上的投影分別為3,-1,則在上的投影的取值范圍是( ) A.(-1,+∞) B.(-1,3) C.(0,+∞) D.(0,3) 答案 A 解析 以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線(xiàn)為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)B(a,0),∠CBD=θ, 則C(3,b),D(a-1,b), 則3-(a-1)=a,解得a=2. 所以D(1,b),C(3,b) . 在上的投影為||cosθ=cosθ. 當(dāng)b→0時(shí),cosθ→-1,得BM→-1. 當(dāng)b→+∞時(shí),θ→0,得BM→+∞. 故選A. 4.(2018浙江湖州、衢州、麗水三市聯(lián)考)已知O是△ABC的外心,∠C=45,則=m+n(m,n∈R),則m+n的取值范圍是( ) A.[-,] B.[-,1) C.[-,-1] D.(1,] 答案 B 解析 由題意∠C=45,所以∠AOB=90,以O(shè)A,OB為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,不妨設(shè)A(1,0),B(0,1),則C在圓O的優(yōu)弧AB上,設(shè)C(cosα,sinα),則α∈, 顯然=cosα+sinα, 即m=cosα,n=sinα,m+n=cosα+sinα=sin, 由于α∈,所以α+∈,sin∈, 所以m+n∈[-,1),故選B. 5.(2018浙江省金華十校模擬)已知平面內(nèi)任意不共線(xiàn)的三點(diǎn)A,B,C,則++的值為( ) A.正數(shù) B.負(fù)數(shù) C.0 D.以上說(shuō)法都有可能 答案 B 解析?。? =2(++) =[(+)+(+)+(+)] =[(+)+(+)+(+)] =(++) =(-2-2-2)<0. 即++的值為負(fù)數(shù). 6.設(shè)O是△ABC的內(nèi)心,AB=c,AC=b,若=λ1+λ2,則( ) A.= B.= C.= D.= 答案 A 解析 設(shè)=λ1,=λ2.因?yàn)镺是△ABC的內(nèi)心,所以AO平分∠BAC,所以平行四邊形AMON為菱形,且λ1>0,λ2>0,由||=||,得|λ1|=|λ2|,即λ1c=λ2b,亦即=,故選A. 7.(2018浙江省新昌中學(xué)、臺(tái)州中學(xué)等聯(lián)考)如圖,點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上,其中AB=2,過(guò)A向點(diǎn)C處的切線(xiàn)作垂線(xiàn),垂足為P,則的最大值是( ) A.2B.1C.0D.-1 答案 B 解析 連接BC,則∠ACB=90, ∵AP⊥PC, ∴====2, 依題意可證Rt△APC∽R(shí)t△ACB,則=, 即|PC|=. ∵|AC|2+|CB|2=|AB|2, ∴|AC|2+|CB|2=4≥2|AC||CB|, 即|AC||CB|≤2,當(dāng)且僅當(dāng)|AC|=|CB|=時(shí)取等號(hào), ∴|PC|≤1, ∴=2≤1, ∴的最大值為1,故選B. 8.(2018浙江省嘉興一中、杭州高級(jí)中學(xué)等聯(lián)考)設(shè)a1,a2,a3,a4∈R,且a1a4-a2a3=1,記f(a1,a2,a3,a4)=a+a+a+a+a1a3+a2a4,則f(a1,a2,a3,a4)的最小值為( ) A.1B.C.2D.2 答案 B 解析 設(shè)m=(a1,a2),n=, 因?yàn)閍1a4-a2a3≠0,所以m,n不共線(xiàn), 則f(a1,a2,a3,a4)=|m|2+|n|2+mn, 記cosθ=,θ∈(0,π), 則S△=|m||n|sinθ=|m||n| =|a1a4-a2a3|=?|m||n|=?f(a1,a2,a3,a4) ≥2|m||n|+mn=+≥(利用三角函數(shù)的有界性). 9.(2018浙江省嘉興市第一中學(xué)模擬)設(shè)e1,e2為單位向量,其中a=2e1+e2,b=e2,且a在b上的投影為2,則ab=________,e1與e2的夾角為_(kāi)_______. 答案 2 解析 因?yàn)椋?,所以ab=2. 設(shè)e1與e2的夾角為θ,則= ==2|e1||e2|cosθ+1=2, 解得cosθ=,又因?yàn)棣取蔥0,π],所以θ=. 10.在△ABC中,AB=3,AC=2,A=60,=m+,則的最小值為_(kāi)_______,又若⊥,則m=________. 答案 解析 因?yàn)椋絴|||cosA=3, 所以2=2 =m22+2m+2 =9m2+6m+4=(3m+1)2+3, 所以當(dāng)3m+1=0時(shí),取最小值; 因?yàn)椤停? 所以= =(m-1)-m2+2=3(m-1)-9m+4=0, 解得m=. 11.(2018浙江省杭州市第二中學(xué)月考)已知點(diǎn)M為單位圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在直線(xiàn)x=2上,則的最小值為_(kāi)_______. 答案 2 解析 設(shè)A(2,t),M(cosθ,sinθ)θ∈[0,2π], 則=(cosθ-2,sinθ-t),=(-2,-t), 所以=4+t2-2cosθ-tsinθ. 又(2cosθ+tsinθ)max=, 故≥4+t2-. 令s=,則s≥2,又4+t2-=s2-s≥2, 當(dāng)s=2即t=0時(shí)等號(hào)成立,故min=2. 12.若向量a,b滿(mǎn)足a2+ab+b2=1,則的最大值為_(kāi)_______. 答案 解析 因?yàn)?+2=2a2+2b2,2-2=4ab, 所以+=1, 即+=1, 即2=-≤, 故≤.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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