新編與名師對(duì)話高三數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練:第七章 不等式 推理與證明 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練38 Word版含解析

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1、 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(三十八) [基礎(chǔ)鞏固] 一、選擇題 1.觀察下面關(guān)于循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的等式:0.==,0. ==,0. =,0.000 =×=,據(jù)此推測循環(huán)小數(shù)0.2可化成分?jǐn)?shù)(  ) A. B. C. D. [解析] 0.2=0.2+0.1×0.=+×=. 選D. [答案] D 2.已知數(shù)列{an}為,,,,,,,,,,…,依它的前10項(xiàng)的規(guī)律,則a99+a100的值為(  ) A. B. C. D. [解析] 由給出的數(shù)列{an}的前10項(xiàng)得出規(guī)律,此數(shù)列中,分子與分母的和等于2的有1項(xiàng),等于3的有2項(xiàng),等于4的有3項(xiàng),…,等于n的有n-1項(xiàng),且分母由1逐

2、漸增大到n-1,分子由n-1逐漸減小到1(n≥2),當(dāng)n=14時(shí)即分子與分母的和為14時(shí),數(shù)列到91項(xiàng),當(dāng)n=15即分子與分母的和為15時(shí),數(shù)列到104項(xiàng),所以a99與a100是分子與分母和為15中的第8項(xiàng)與第9項(xiàng),分別為,,∴a99+a100=+=,選A. [答案] A 3.觀察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,則520xx的末四位數(shù)字為(  ) A.3125 B.5625 C.0625 D.8125 [解析] ∵55=3125,56=15625,57=78125, 58=390625,59=1953125,…,∴最后四位應(yīng)為每四個(gè)循環(huán),20x

3、x=4×504+2,∴520xx最后四位應(yīng)為5625. [答案] B 4.(20xx·安徽合肥一中模擬)《聊齋志異》中有這樣一首詩:“挑水砍柴不堪苦,請(qǐng)歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無所阻,額上墳起終不悟.”在這里,我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”:2=,3=,4=,5=,…,則按照以上規(guī)律,若9=具有“穿墻術(shù)”,則n=(  ) A.25 B.48 C.63 D.80 [解析] 由2=,3=,4=,5=,…, 可得若9=具有“穿墻術(shù)”,則n=92-1=80,故選D. [答案] D 5.(20xx·湖北宜昌一中、龍泉中學(xué)聯(lián)考)老師帶甲、乙、丙、丁四名學(xué)生去參加自主招生考試,考試

4、結(jié)束后老師向四名學(xué)生了解考試情況,四名學(xué)生回答如下:甲說:“我們四人都沒考好”;乙說:“我們四人中有人考得好”;丙說:“乙和丁至少有一人沒考好”;丁說:“我沒考好”.結(jié)果,四名學(xué)生中有兩人說對(duì)了,則四名學(xué)生中說對(duì)了的兩人是(  ) A.甲 丙 B.乙 丁 C.丙 丁 D.乙 丙 [解析] 如果甲對(duì),則丙、丁都對(duì),與題意不符,故甲錯(cuò),乙對(duì);如果丙錯(cuò),則丁錯(cuò),因此只能是丙對(duì),丁錯(cuò),故選D. [答案] D 6.如圖所示,面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai(i=1,2,3,4),此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第i條邊的距離記為hi(i=1,2,3,4),若====k,則1×h1+2

5、×h2+3×h3+4×h4=.類比以上性質(zhì),體積為V的三棱錐的第i個(gè)面的面積記為Si(i=1,2,3,4),此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到第i個(gè)面的距離記為Hi(i=1,2,3,4),若====k,則H1+2H2+3H3+4H4值為(  ) A. B. C. D. [解析] ∵V=S1H1+S2H2+S3H3+S4H4 =(kH1+2kH2+3kH3+4kH4) ∴H1+2H2+3H3+4H4=. [答案] B 二、填空題 7.半徑為x(x>0)的圓的面積函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)等于該圓的周長的函數(shù).對(duì)于半徑為R(R>0)的球,類似的結(jié)論為________. [解析]  因?yàn)榘霃綖閤

6、(x>0)的圓的面積函數(shù)f(x)=πx2,所以f′(x) =2πx. 類似地,半徑為R(R>0)的球的體積函數(shù)V(R)=πR3,所以V′(R)=4πR2. 故對(duì)于半徑為R(R>0)的球,類似的結(jié)論為半徑為R(R>0)的球的體積函數(shù)V(R)的導(dǎo)數(shù)等于該球的表面積的函數(shù). [答案] 半徑為R(R>0)的球的體積函數(shù)V(R)的導(dǎo)數(shù)等于該球的表面積的函數(shù) 8.(20xx·河北卓越聯(lián)盟月考)在平面內(nèi),三角形的面積為S,周長為C,則它的內(nèi)切圓的半徑r=.在空間中,三棱錐的體積為V,表面積為S,利用類比推理的方法,可得三棱錐的內(nèi)切球(球面與三棱錐的各個(gè)面均相切)的半徑R=________. [解析

7、] 若三棱錐表面積為S,體積為V,則其內(nèi)切球半徑R=.理由如下: 設(shè)三棱錐的四個(gè)面的面積分別為S1,S2,S3,S4, 由于內(nèi)切球的球心到各面的距離等于內(nèi)切球的半徑, 所以V=S1R+S2R+S3R+S4R=SR, 所以內(nèi)切球的半徑R=. [答案]  9.某種平面分形圖如圖所示,一級(jí)分形圖是由一點(diǎn)出發(fā)的三條線段,長度均為1,兩兩夾角為120°;二級(jí)分形圖是在一級(jí)分段形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的線段,且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120°,…,依此規(guī)律得到n級(jí)分形圖. n級(jí)分形圖中共有________條線段. [解析] 分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條線

8、段,由題圖知,一級(jí)分形圖有3=(3×2-3)條線段,二級(jí)分形圖有9=(3×22-3)條線段,三級(jí)分形圖中有21=(3×23-3)條線段,按此規(guī)律n級(jí)分形圖中的線段條數(shù)an=3×2n-3. [答案] 3×2n-3 三、解答題 10.(20xx·山西運(yùn)城4月模擬改編)宋元時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家朱世杰在其數(shù)學(xué)巨著《四元玉鑒》中提出了一個(gè)“茭草形段”問題:“今有茭草六百八十束,欲令‘落一形’(同垛)之,問底子幾何?”他在這一問題中探討了“垛積術(shù)”中的落一形垛(“落一形”即是指頂上一束,下一層3束,再下一層6束,……,)成三角錐的堆垛,故也稱三角垛,如圖,表示從上往下第二層開始的每層茭草束數(shù),求本問題中

9、三角垛倒數(shù)第二層茭草總束數(shù)為多少? [解析] 由題意得,從上往下第n層茭草束數(shù)為1+2+3+…+n=, ∴1+3+6+…+=680, 即=n(n+1)(n+2)=680, ∴n(n+1)(n+2)=15×16×17,∴n=15. 故倒數(shù)第二層為第14層,該層茭草總束數(shù)為=105. [答案] 105 [能力提升] 11.(20xx·江西贛州十四縣聯(lián)考)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有人持金出五關(guān),前關(guān)二而稅一,次關(guān)三而稅一,次關(guān)四而稅一,次關(guān)五而稅一,次關(guān)六而稅一.并五關(guān)所稅,適重一下.問本持金幾何?”其意思為“今有人持金出五關(guān),第1關(guān)收稅金,第2關(guān)收稅金為剩余

10、的,第3關(guān)收稅金為剩余的,第4關(guān)收稅金為剩余的,第5關(guān)收稅金為剩余的,5關(guān)所收稅金之和,恰好重1斤,問原本持金多少?”若將“5關(guān)所收稅金之和,恰好重1斤,問原本持金多少?”改成“假設(shè)這個(gè)人原本持金為x,按此規(guī)律通過第8關(guān)”,則第8關(guān)所收稅金為________x. [解析] 第1關(guān)收稅金:x; 第2關(guān)收稅金:x==; 第3關(guān)收稅金:x==; …… 第8關(guān)收稅金:=. [答案]  12.(20xx·安徽合肥模擬)“已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為(1,2),解關(guān)于x的不等式cx2+bx+a>0.”給出如下的一種解法: 解:由ax2+bx+c>0的解集為(1,2),得a

11、2+b+c>0的解集為,即關(guān)于x的不等式cx2+bx+a>0的解集為. 類比上述解法:若關(guān)于x的不等式+<0的解集為∪,則關(guān)于x的不等式->0的解集為______________________. [解析] 根據(jù)題意, 由+<0的解集為 ∪, 得+<0的解集為 ∪, 即->0的解集為 ∪. [答案] ∪ 13.(20xx·河北唐山三模)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若Sn+an=4-(n∈N*),則an=________. [解析] 解法一:已知Sn+an=4-?、?,當(dāng)n=1時(shí),S1+a1=4-=2,解得a1=1.當(dāng)n≥2時(shí),用n-1代換n,得Sn-1+an-1=4- ②

12、.①-②,得Sn-Sn-1+an-an-1=-,整理得2an-an-1=.兩邊同時(shí)乘2n-1,得2nan-2n-1an-1=2. 令bn=2nan,則bn-bn-1=2. 所以數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列,首項(xiàng)b1=21a1=2. 所以bn=2+(n-1)×2=2n,即2nan=2n. 所以an==. 解法二:(歸納法):已知Sn+an=4-?、?,當(dāng)n=1時(shí),S1+a1=4-=2,解得a1=1;當(dāng)n=2時(shí),S2+a2=4-,即2a2+a1=3,解得a2=1;當(dāng)n=3時(shí),S3+a3=4-,即2a3+S2=,解得a3=;當(dāng)n=4時(shí),S4+a4=4-,即2a4+S3=,解得a4=;當(dāng)n

13、=5時(shí),S5+a5=4-,即2a5+S4=,解得a5=;…,a1和a2可以寫成分?jǐn)?shù)的形式,顯然該數(shù)列中每一項(xiàng)的分母都是2的整數(shù)冪,分子對(duì)應(yīng)項(xiàng)的序號(hào),即a1=,a2=,a3=,a4=,a5=,…,所以an=. [答案]  14.已知函數(shù)y=f(x)滿足:對(duì)任意a,b∈R,a≠b,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a),試證明:f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù). [證明] 設(shè)任意x1,x2∈R,取x1x1f(x2)+x2f(x1), ∴x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]>0,[f(x2)-f(x1)](

14、x2-x1)>0, ∵x10, 即f(x2)>f(x1). ∴y=f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù). 15.△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c. (1)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sinA+sinC=2sin(A+C); (2)若a,b,c成等比數(shù)列,求cosB的最小值. [解] (1)證明:∵a,b,c成等差數(shù)列,∴a+c=2b. 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB. ∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sinA+sinC=2sin(A+C). (2)∵a,b,c成等比數(shù)列,∴b2=ac.

15、由余弦定理得 cosB==≥=, 當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立. ∴cosB的最小值為. [延伸拓展] 中國古代十進(jìn)位制的算籌記數(shù)法,在世界數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造.如圖所示,算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算.算籌的擺放形式有縱、橫兩種,據(jù)《孫子算經(jīng)》記載,算籌記數(shù)法則是:凡算之法,先識(shí)其位,一縱十橫,百立千僵,千十相望,萬百相當(dāng).即表示多位數(shù)時(shí),個(gè)位用縱式,十位用橫式,百位用縱式,千位用橫式,以此類推,遇零則置空.例如20xx用算籌表示就是,則8227可表示為________. [解析] 千位數(shù)字8為模式,百位數(shù)字2為縱式,十位數(shù)字2為橫式,個(gè)位數(shù)字7為縱式,所以8227可表示為. [答案] 

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