新版全國通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題26 函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想含解析
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1、 1
2、 1 【走向高考】(全國通用)20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題26 函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想(含解析) 一、選擇題 1.(文)方程m+=x有解,則m的最大值為( ) A.1 B.0 C.-1 D.-2 [答案] A [解析] m=x-,令t=≥0,則x=1-t2, ∴m=1-t2-t=-(t+)2+≤1,故選A.
3、
(理)已知對于任意的a∈[-1,1],函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值總大于0,則x的取值范圍是( )
A.1
4、f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通過方程進(jìn)行研究. 2.應(yīng)用函數(shù)與方程思想解決函數(shù)、方程、不等式問題,是多元問題中的常見題型,常見的解題思路有以下兩種: (1)分離變量,構(gòu)造函數(shù),將不等式恒成立、方程求解等轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值(或值域),然后求解. (2)換元,將問題轉(zhuǎn)化為一次不等式、二次不等式或二次方程,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)加以解決. 2.(文)(20xx·哈三中二模)一只螞蟻從正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A處出發(fā),經(jīng)正方體的表面,按最短路線爬行到頂點(diǎn)C1處,則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻?zhàn)疃膛佬新肪€的正視圖的是( ) A.(1)(2) B.(1)(3)
5、 C.(2)(4) D.(3)(4) [答案] C [解析] 爬行路線為時正視圖為(2);爬行路線是時,正視圖為(4),故選C. [方法點(diǎn)撥] 若幾何圖形的位置不確定時,常常要對各種不同情況加以討論. (理)有四根長都為2的直鐵條,若再選兩根長都為a的直鐵條,使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個三棱錐形的鐵架,則a的取值范圍是( ) A.(0,+) B.(1,2) C.(-,+) D.(0,2) [答案] A [解析] 若構(gòu)成三棱錐有兩種情形. 一種情形是三條長為2的線段圍成三角形作為棱錐的底面,過BC的中點(diǎn)M作與BC垂直的平面α,在平面α內(nèi),以A為圓心AP=2為半徑
6、畫圓,點(diǎn)P在此圓周上,且不在平面ABC內(nèi)時,構(gòu)成三棱錐P-ABC,此時PB=PC=a,易求得-a,
∴02>-,
取兩者的并集得,0
7、、對數(shù)函數(shù)、一次、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)、復(fù)數(shù)的概念、三角函數(shù)的定義域.
(2)由性質(zhì)、定理、公式、法則的限制條件引起的分類討論,如等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式、不等式的一些性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、根式的性質(zhì).
(3)由數(shù)學(xué)運(yùn)算引起的分類,如除數(shù)不為0,偶次方根的被開方數(shù)非負(fù),對數(shù)函數(shù)的底數(shù)a>0且a≠1,指數(shù)運(yùn)算中對底數(shù)的限制,不等式兩邊同乘以一個正數(shù)(負(fù)數(shù)),排列組合中的分類計(jì)數(shù).
(4)由圖形的不確定性引起的討論,如圖形的類型、位置,角的終邊所在象限、點(diǎn)線面位置等,點(diǎn)斜式(斜截式)直線方程適用范圍,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.
(5)由參數(shù)的變化引起的分類討論:含參數(shù)的問題( 8、方程、不等式、函數(shù)等),由于參數(shù)的不同取值會導(dǎo)致結(jié)果不同或不同的參數(shù)求解、證明的方法不同等.
(6)由實(shí)際問題的實(shí)際意義引起的分類討論.
3.(文)圓錐曲線+=1的離心率e=,則a的值為( )
A.-1 B.
C.-1或 D.以上均不正確
[答案] C
[解析] 因焦點(diǎn)在x軸上和y軸上的不同,離心率e關(guān)于a的表達(dá)式發(fā)生變化,故需分類.當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時,
e2==,解得a=;
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時,
e2==,解得a=-1.故選C.
(理)將1,2,3,4,5排成一列a1a2a3a4a5(如43215中,a1=4,a2=3,a3=2,a4=1,a5=5),則滿足a1 9、a2>a3,a3 10、5位置也只有一種排法,∴有C種.
綜上知,共有AA+A·A+C=16種.
4.若a>1,則雙曲線-=1的離心率e的取值范圍是( )
A.(1,) B.(,)
C.[,] D.(,)
[答案] B
[解析] e2=()2==1+(1+)2,因?yàn)楫?dāng)a>1時,0<<1,所以2 11、的拋物線,且f(2)=1;
當(dāng)2 12、=α+β,∴則α+β==x+y+2,當(dāng)點(diǎn)P在如圖陰影部分所示的平面區(qū)域內(nèi)時,可作平行直線系x+y+2=z,當(dāng)直線過點(diǎn)E或C時,α+β取得最小值,(α+β)最小值=×2+×0+2=3;當(dāng)直線過點(diǎn)D時,α+β取得最大值,(α+β)最大值=×1+×+2=4,則α+β的取值范圍是[3,4].
[方法點(diǎn)撥] 和函數(shù)與方程思想密切關(guān)聯(lián)的知識點(diǎn)
(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化.對函數(shù)y=f(x),當(dāng)y>0時,就化為不等式f(x)>0,借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題,而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式.
(2)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù),用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題十分重要.
(3)解析 13、幾何中的許多問題,例如直線與二次曲線的位置關(guān)系問題,需要通過解二元方程組才能解決.這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論.
(4)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算,經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)關(guān)系的方法加以解決,引進(jìn)空間向量后,立體幾何與函數(shù)的關(guān)系就更加密切.
(5)(理)函數(shù)f(x)=(a+bx)n(n∈N*)與二項(xiàng)式定理密切相關(guān),利用這個函數(shù),用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多有關(guān)二項(xiàng)式定理的問題及求和問題.
7.(文)若關(guān)于x的方程cos2x-2cosx+m=0有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
[分析] 將方程變形為m=-cos2x+2cosx,則當(dāng)方程有實(shí)數(shù) 14、根時,-cos2x+2cosx的取值范圍就是m的取值范圍.
[答案]
[解析] 原方程可化為m=-cos2x+2cosx.
令f(x)=-cos2x+2cosx,
則f(x)=-2cos2x+1+2cosx
=-22+,
由于-1≤cosx≤1,
所以當(dāng)cosx=時,f(x)取得最大值,
當(dāng)cosx=-1時,f(x)取得最小值-3,
故函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?
即m∈.
[方法點(diǎn)撥] 本題若令cosx=t,則可通過換元法將原方程化為關(guān)于t的一元二次方程,但求解過程將非常繁瑣,而通過分離參數(shù),引進(jìn)函數(shù),便可通過函數(shù)的值域較為簡單地求得參數(shù)m的取值范圍.
(理)如果方程co 15、s2x-sinx+a=0在(0,]上有解,則a的取值范圍是________.
[答案] (-1,1]
[分析] 可分離變量為a=-cos2x+sinx,轉(zhuǎn)化為確定的相關(guān)函數(shù)的值域.
[解析] 解法1:把方程變?yōu)閍=-cos2x+sinx.
設(shè)f(x)=-cos2x+sinx(x∈(0,]).
顯然當(dāng)且僅當(dāng)a∈f(x)的值域時,a=f(x)有解.
∵f(x)=-(1-sin2x)+sinx=(sinx+)2-,且由x∈(0,]知,sinx∈(0,1].
∴f(x)的值域?yàn)?-1,1],
∴a的取值范圍是(-1,1].
解法2:令t=sinx,由x∈(0,]可得t∈(0,1].
16、
把原方程變?yōu)閠2+t-1-a=0,
依題意,該方程在(0,1]上有解,
設(shè)f(t)=t2+t-1-a.
其圖象是開口向上的拋物線,對稱軸為x=-,在區(qū)間(0,1]的左側(cè),如下圖所示.
因此f(t)=0在(0,1]上有解,
當(dāng)且僅當(dāng),即,
∴-1
17、線y=kx+2和橢圓+=1在y軸左側(cè)部分交于A、B兩點(diǎn),直線l過點(diǎn)P(0,-2)和線段AB的中點(diǎn)M,則l在x軸上的截距a的取值范圍為________.
[答案] [-,0)
[分析] 將直線與橢圓方程聯(lián)立消去y,得關(guān)于x的二次方程,則直線與橢圓在y軸左側(cè)部分交于A、B兩點(diǎn),轉(zhuǎn)化為方程有兩個負(fù)根的問題.
[解析] 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),直線l與x軸的交點(diǎn)為N(a,0).
由得(3+4k2)x2+16kx+4=0.(*)
因?yàn)橹本€y=kx+2和橢圓+=1在y軸左側(cè)部分交于A,B兩點(diǎn),
所以
解得k>.
因?yàn)镸是線段AB的中點(diǎn),所以
因?yàn)镻(0 18、,-2),M(x0,y0),N(a,0)三點(diǎn)共線,
所以=,所以=,
即-=2k+.
因?yàn)閗>,所以2k+≥2,
當(dāng)且僅當(dāng)k=時等號成立,
所以-≥2,則-≤a<0.
三、解答題
9.(文)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-p(x-1),p∈R.
(1)當(dāng)p=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=xf(x)+p(2x2-x-1)對任意x≥1都有g(shù)(x)≤0成立,求p的取值范圍.
[解析] (1)當(dāng)p=1時,f(x)=lnx-x+1,其定義域?yàn)?0,+∞).
所以f ′(x)=-1.
由f ′(x)=-1≥0得0 19、,
單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).
(2)由函數(shù)g(x)=xf(x)+p(2x2-x-1)
=xlnx+p(x2-1),
得g′(x)=lnx+1+2px.
由(1)知,當(dāng)p=1時,f(x)≤f(1)=0,
即不等式lnx≤x-1成立.
①當(dāng)p≤-時,g′(x)=lnx+1+2px≤(x-1)+1+2px=(1+2p)x≤0,即g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,從而g(x)≤g(1)=0滿足題意;
②當(dāng)- 0,1+2px>0,從而g′(x)=lnx+1+2px>0,即g(x)在(1,-)上單調(diào)遞增,從而存在x0∈(1,-)使得g(x0)≥g
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