（文理通用）2019屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專(zhuān)題7 概率與統(tǒng)計(jì) 第3講 概率、隨機(jī)變量及其分布列練習(xí).doc

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第一部分 專(zhuān)題七 第三講 概率、隨機(jī)變量及其分布列 A組 1．小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是( C ) A．　　　 B．　　　　 C．　　　 D． [解析]　根據(jù)題意可以知道，所輸入密碼所有可能發(fā)生的情況如下：M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5共15種情況，而正確的情況只有其中一種，所以輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是. 2．(2018濰坊模擬)在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.8，則ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為( C ) A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.8 [解析]　因?yàn)棣蹋?，所以P(0<ξ<2)＝0.8＝2P(0<ξ<1)，故P(0<ξ<1)＝0.4. 3．某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是( A ) A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 [解析]　本題考查條件概率的求法． 設(shè)A＝“某一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，B＝“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，則 P(B|A)＝＝＝0.8，故選A． 4．隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝. [解析]　設(shè)P(ξ＝1)＝p，則P(ξ＝2)＝－p，從而由E(ξ)＝0＋1p＋2(－p)＝1，得p＝.故D(ξ)＝(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＝. 5．(2018河南信陽(yáng)二模)如圖所示，A，B兩點(diǎn)由5條連線(xiàn)并聯(lián)，它們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)能通過(guò)的最大信息量依次為2,3,4,3,2.現(xiàn)記從中任取三條線(xiàn)且在單位時(shí)間內(nèi)都通過(guò)的最大信息總量為ξ，則P(ξ≥8)＝. [解析]　解法一(直接法)：由已知得，ξ的可能取值為7,8,9,10， ∵P(ξ＝7)＝＝， P(ξ＝8)＝＝， P(ξ＝9)＝＝， P(ξ＝10)＝＝， ∴ξ的概率分布列為： ξ 7 8 9 10 P ∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝＋＋＝. 解法二(間接法)：由已知得，ξ的可能取值為7,8,9,10，故P(ξ≥8)與P(ξ＝7)是對(duì)立事件，所以P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－＝. 6．某小型玩具廠(chǎng)擬對(duì)n件產(chǎn)品在出廠(chǎng)前進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，若一件產(chǎn)品通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)能獲利潤(rùn)10元；否則產(chǎn)品報(bào)廢，虧損10元．設(shè)該廠(chǎng)的每件產(chǎn)品能通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)的概率為，每件產(chǎn)品能否通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)相互獨(dú)立，現(xiàn)記對(duì)n件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)后的總利潤(rùn)為Sn. (1)若n＝6時(shí)，求恰有4件產(chǎn)品通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)的概率； (2)記X＝S5，求X的分布列，并計(jì)算數(shù)學(xué)期望EX. [解析]　(1)n＝6時(shí)，恰有4件產(chǎn)品通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)的概率： P＝C()4(1－)2＝. (2)因?yàn)閄＝S5，所以X的可能取值為－50，－30，－10,10,30,50， P(X＝－50)＝C()0(1－)5＝， P(X＝－30)＝C()1(1－)4＝， P(X＝－10)＝C()2(1－)3＝， P(X＝10)＝C()3(1－)2＝， P(X＝30)＝C()4(1－)1＝， P(X＝50)＝C()5(1－)0＝， 所以X的分布列為： X －50 －30 －10 10 30 50 P EX＝－50－30－10＋10＋30＋50＝. 7．甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒(méi)猜對(duì)，則“星隊(duì)”得0分．已知甲每輪猜對(duì)的概率是，乙每輪猜對(duì)的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求： (1)“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率； (2)“星隊(duì)”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX. [解析]　(1)記事件A：“甲第一輪猜對(duì)”，記事件B：“乙第一輪猜對(duì)”， 記事件C：“甲第二輪猜對(duì)”，記事件D：“乙第二輪猜對(duì)”， 記事件E：“‘星隊(duì)’至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”． 由題意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC. 由事件的獨(dú)立性與互斥性，得 P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC) ＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P() ＝＋2(＋) ＝. 所以“星隊(duì)”至少猜對(duì)2個(gè)成語(yǔ)的概率為. (Ⅱ)由題意，隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6. 由事件的獨(dú)立性與互斥性，得 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝2(＋)＝＝， P(X＝2)＝＋＋＋＝， P(X＝3)＝＋＝＝， P(X＝4)＝2(＋)＝＝， P(X＝6)＝＝＝. 可得隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 6 P 所以數(shù)學(xué)期望EX＝0＋1＋2＋3＋4＋6＝. B組 1．為了了解今年某校高三畢業(yè)班準(zhǔn)備報(bào)考飛行員學(xué)生的身體素質(zhì)，學(xué)校對(duì)他們的體重進(jìn)行了測(cè)量，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出了頻率分布直方圖(如圖)，已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為123，其中第2小組的頻數(shù)為12. (1)求該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)； (2)以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)全省的總體數(shù)據(jù)，若從全省報(bào)考飛行員的學(xué)生中(人數(shù)很多)任選3人，設(shè)X表示體重超過(guò)60kg的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． [解析]　(1)設(shè)報(bào)考飛行員的人數(shù)為n，前3個(gè)小組的頻率分別為p1，p2，p3，則由條件可得： 解得p1＝0.125，p2＝0.25，p3＝0.375. 又因?yàn)閜2＝0.25＝，故n＝48. (2)由(1)可得，一個(gè)報(bào)考學(xué)生體重超過(guò)60kg的概率為 P＝p3＋(0.037＋0.013)5＝， 由題意知X服從二項(xiàng)分布B(3，)， P(x＝k)＝C()k()3－k(k＝0,1,2,3)， 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)＝0＋1＋2＋3＝. 2．從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，. (1)記X表示一輛車(chē)從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望； (2)若有2輛車(chē)獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車(chē)共遇到1個(gè)紅燈的概率． [解析]　(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝(1－)(1－)(1－)＝， P(X＝1)＝(1－)(1－)＋(1－)(1－)＋(1－)(1－)＝， P(X＝2)＝(1－)＋(1－)＋(1－)＝， P(X＝3)＝＝. 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0＋1＋2＋3＝. (2)設(shè)Y表示第一輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)，Z表示第二輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為 P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0) ＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0) ＝＋＝. 所以這2輛車(chē)共遇到1個(gè)紅燈的概率為. 3．已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束． (1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率； (2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)． [解析]　(1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A． P(A)＝＝. (2)X的可能取值為200,300,400. P(X＝200)＝＝. P(X＝300)＝＝. P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝. 故X的分布列為 X 200 300 400 P EX＝200＋300＋400＝350. 4．某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買(mǎi)，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù)． (1)求X的分布列． (2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值． (3)以購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？ 【解析】(1)每臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11， 記事件Ai為第一臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)換掉i＋7個(gè)零件(i＝1,2,3,4) 記事件Bi為第二臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)換掉i＋7個(gè)零件(i＝1,2,3,4) 由題知P(A1)＝P(A3)＝P(A4)＝P(B1)＝P(B3)＝P(B4)＝0.2，P(A2)＝P(B2)＝0.4. 設(shè)2臺(tái)機(jī)器共需更換的易損零件數(shù)的隨機(jī)變量為X，則X的可能的取值為16,17,18,19,20,21,22， P(X＝16)＝P(A1)P(B1)＝0.20.2＝0.04， P(X＝17)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＝0.20.4＋0.40.2＝0.16， P(X＝18)＝P(A1)P(B3)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B1)＝0.20.2＋0.40.4＋0.20.2＝0.24， P(X＝19)＝P(A1)P(B4)＋P(A2)P(B3)＋P(A3)P(B2)＋P(A4)P(B1)＝0.20.2＋0.40.2＋0.20.4＋0.20.2＝0.24， P(X＝20)＝P(A2)P(B4)＋P(A3)P(B3)＋P(A4)P(B2)＝0.40.2＋0.20.2＋0.20.4＝0.2， P(X＝21)＝P(A3)P(B4)＋P(A4)P(B3)＝0.20.2＋0.20.2＝0.08， P(X＝22)＝P(A4)P(B4)＝0.20.2＝0.04. 所以X的分布列為 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)要令P(X≤n)≥0.5， ∵0.04＋0.16＋0.24<0.5,0.04＋0.16＋0.24＋0.24≥0.5， 則n的最小值為19. (3)購(gòu)買(mǎi)零件所需費(fèi)用含兩部分，一部分為購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)購(gòu)買(mǎi)零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時(shí)額外購(gòu)買(mǎi)的費(fèi)用， 當(dāng)n＝19時(shí)，費(fèi)用的期望為19200＋5000.2＋1 0000.08＋1 5000.04＝4 040， 當(dāng)n＝20時(shí)，費(fèi)用的期望為20200＋5000.08＋1 0000.04＝4 080. 所以應(yīng)選用n＝19.