陜西省周至縣高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 1.4 數(shù)學(xué)歸納法（1）教案 北師大版選修2-2.doc

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數(shù)學(xué)歸納法(第一課時) 【教學(xué)目標(biāo)】 知識與技能： （1）初步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理； （2）掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的兩個步驟； （3）會用數(shù)學(xué)證明一些與正整數(shù)相關(guān)的簡單恒等式。 過程與方法 親歷知識的構(gòu)建過程----發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題；體會類比的數(shù)學(xué)思想；感受無限的問題用有限的步驟來解決的思想方法。 情感目標(biāo) 體會數(shù)學(xué)源于實際，高于實際的科學(xué)價值與文化價值；培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證的思維素質(zhì)和科學(xué)精神；通過發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題、合作交流等環(huán)節(jié)培養(yǎng)數(shù)學(xué)交流能力和合作精神。 【教學(xué)重點】 借助具體實例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運用它證明一些與正整數(shù)有關(guān)的簡單恒等式，特別要注意遞推步驟中歸納假設(shè)的運用。 【教學(xué)難點】 （1）理解數(shù)學(xué)歸納法整體的嚴(yán)密性和有效性。 （2）遞推步驟中如何利用歸納假設(shè)，即如何利用假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論正確。 【教學(xué)過程設(shè)計】 教學(xué)環(huán) 節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 設(shè)計意圖 提出問題，激發(fā)興趣 情境1如何證明盒中的球都是黃色的？（逐一驗證） 情境2 數(shù)列{an},已知，猜想其通項公式. 情境2中的猜想無法逐一驗證，則提出問題：如何證明這類有關(guān)正整數(shù)的命題呢？ 從提出問題，到分析問題、解決問題，感受數(shù)學(xué)自然發(fā)生、發(fā)展的過程。從實例中感受數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的必要性，我們需要將無限步驟的問題轉(zhuǎn)化為有限步驟來解決。 創(chuàng)設(shè)情境，啟動思維 1. 多媒體演示一排自行車的圖片和多米諾骨牌游戲的視頻。 引導(dǎo)學(xué)生探討多米諾骨牌全部依次倒下的條件： （1）第一塊要倒下; （2）當(dāng)前面一塊倒下時，后面一塊必須被第一塊砸倒; 強調(diào)條件（2）的作用：是一種遞推關(guān)系（第k塊倒下，使第k+1塊倒下）。 播放視頻活躍課堂氛圍，激發(fā)學(xué)生的興趣。 通過對生活實例的分析，使抽象的原理寓于簡單的事例當(dāng)中，通俗易懂，為深刻理解數(shù)學(xué)歸納法原理打好基礎(chǔ)。 通過探討骨牌全部倒下的條件，為類比得出數(shù)學(xué)歸納法做鋪墊 。 培養(yǎng)學(xué)生合作交流和歸納抽象的能力。 類比聯(lián)想，形成概念 (引導(dǎo)學(xué)生分組討論后，由小組代表歸納) 證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下 (1) 證明當(dāng)n取第一個值時結(jié)論正確；（歸納奠基） (2) 假設(shè)當(dāng)n＝k (k∈，k≥) 時結(jié)論正確, 證明當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論也正確．（歸納遞推） 完成這兩個步驟后, 就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都正確． 這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法． 辯證說理，理解升華 思考：為什么這兩個步驟可以證明原命題對所有正整數(shù)n成立？ 讓學(xué)生對以上邏輯推理進行充分置疑師生共同探討數(shù)學(xué)歸納法的合理性。 師生共同探討數(shù)學(xué)歸納法的原理，理解他的嚴(yán)密性、合理性。從而由感性認識上升為理性認識。 實例分析，具體應(yīng)用 試用數(shù)學(xué)歸納法證明問題2的猜想。 體現(xiàn)“歸納---猜想---證明”的整個過程，教師可通過投影，糾正學(xué)生在證明過程中暴露出來的問題，最后板演證明過程，幫助學(xué)生規(guī)范步驟。 【慧眼識對錯】 1.下面的證明過程有沒錯？ (缺少歸納奠基) (3)分析下列證明的過程是否正確？ 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 其中第二步的過程如下：設(shè)n=k時等式成立，即 則當(dāng)n=k+1時，有 即n=k+1時等式也成立。 （沒用歸納假設(shè)） 如果缺少歸納奠基或歸納遞推，那么即使是錯誤的結(jié)論也能驗證。讓學(xué)生認識到數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟缺一不可。 學(xué)生易錯點和理解上的難點，通過此題與多米諾骨牌的實例進行類比，讓學(xué)生認識到：步驟（2）中必須用到歸納假設(shè)。 　 反饋練習(xí)，深化認識 練習(xí)用數(shù)學(xué)歸納法證明 證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊， 右邊，等式成立。 （2） 假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立， 即 則當(dāng)n=k+1時， 左邊= =右邊 即當(dāng)n=k+1時等式也成立。 由（1）、（2）可知，n∈時，等式成立。 學(xué)生自主練習(xí)，個別同學(xué)板演 ,對出現(xiàn)的問題暢所欲言,最后由教師總結(jié)反饋，充分暴露學(xué)生的思維盲區(qū),檢驗本節(jié)課難點是否突破。 總結(jié)歸納，提煉思想 學(xué)完本節(jié)課，你有哪些收獲？ 知識上：數(shù)學(xué)歸納法：兩個步驟、一個結(jié)論； 注意：遞推基礎(chǔ)不可少， 　　　歸納假設(shè)要用到， 　　　結(jié)論寫明莫忘掉。 方法上：類比，歸納---猜想---證明 其他：數(shù)學(xué)源于生活；嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神…… 鍛煉學(xué)生歸納總結(jié)的能力，鞏固學(xué)習(xí)效果，加深理解和記憶，激發(fā)成就感，體味探索的艱辛和成功的快樂。 布置作業(yè)，及時檢測 選做：平面內(nèi)有n條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不共點，設(shè)f(n)為n條直線的交點個數(shù)，求證： 鞏固本節(jié)課的學(xué)習(xí)效果，讓不同層次的學(xué)生都學(xué)有所獲，為下節(jié)課的內(nèi)容作鋪墊。 附：板書設(shè)計 4數(shù)學(xué)歸納法 引例1 數(shù)學(xué)歸納法 練習(xí)：（學(xué)生展示） 小結(jié)