(浙江專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)提分 第三篇 滲透數(shù)學(xué)思想提升學(xué)科素養(yǎng)(二)分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想試題.docx
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2分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想 一、概念、定理分類整合 概念、定理分類整合即利用數(shù)學(xué)中的基本概念、定理對研究對象進(jìn)行分類,如絕對值的定義、不等式的轉(zhuǎn)化、等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式等,然后分別對每類問題進(jìn)行解決.解決此問題可以分解為三個(gè)步驟:分類轉(zhuǎn)化、依次求解、匯總結(jié)論.匯總結(jié)論就是對分類討論的結(jié)果進(jìn)行整合. 1.若一條直線過點(diǎn)(5,2),且在x軸,y軸上截距相等,則這條直線的方程為( ) A.x+y-7=0 B.2x-5y=0 C.x+y-7=0或2x-5y=0 D.x+y+7=0或2y-5x=0 答案 C 解析 設(shè)該直線在x軸,y軸上的截距均為a,當(dāng)a=0時(shí),直線過原點(diǎn),此時(shí)直線方程為y=x,即2x-5y=0;當(dāng)a≠0時(shí),設(shè)直線方程為+=1,求得a=7,則直線方程為x+y-7=0. 2.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn=2an-2,則S5-S4的值為( ) A.8 B.10 C.16 D.32 答案 D 解析 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2a1-2,解得a1=2. 因?yàn)镾n=2an-2, 當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2an-1-2, 兩式相減得an=2an-2an-1,即an=2an-1, 則數(shù)列{an}為首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,則S5-S4=a5=25=32. 3.已知集合A=,B={x|mx-1=0,m∈R},若A∩B=B,則所有符合條件的實(shí)數(shù)m組成的集合是( ) A.{0,-1,2} B. C.{-1,2} D. 答案 A 解析 因?yàn)锳∩B=B,所以B?A.若B為?,則m=0; 若B≠?,則-m-1=0或m-1=0,解得m=-1或2.綜上,m∈{0,-1,2}.故選A. 4.已知函數(shù)f(x)=x|x-a|-a,a∈R,若對任意x∈[3,5],f(x)≥0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 答案 ∪ 解析 因?yàn)閷θ我鈞∈[3,5],f(x)≥0恒成立,所以f(x)min≥0. 當(dāng)a≤0時(shí),對任意x∈[3,5],f(x)=x|x-a|-a≥0恒成立; 當(dāng)a>0時(shí),f(x)=易知f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在[a,+∞)上單調(diào)遞增. 當(dāng)05時(shí),f(x)min=min{3(a-3)-a,5(a-5)-a}≥0, 解得a≥,所以a≥.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是∪. 二、圖形位置、形狀分類整合 圖形位置、形狀分類整合是指由幾何圖形的不確定性而引起的分類討論,這種方法適用于幾何圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的研究以及解析幾何中直線與圓錐曲線的位置關(guān)系. 5.已知正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形,則它的體積為( ) A. B.4 C. D.4或 答案 D 解析 當(dāng)6是下底面周長,4是三棱柱的高時(shí), 體積V=24=4; 當(dāng)4是下底面周長,6是三棱柱的高時(shí), 體積V=6=. 6.已知變量x,y滿足的不等式組表示的是一個(gè)直角三角形圍成的平面區(qū)域,則實(shí)數(shù)k等于( ) A.- B. C.0 D.0或- 答案 D 解析 不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示(含邊界),由圖可知,若要使不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形,只有當(dāng)直線y=kx+1與直線x=0或y=2x垂直時(shí)才滿足. 結(jié)合圖形可知斜率k的值為0或-. 7.已知雙曲線的離心率為,則其漸近線方程為______. 答案 y=x或y=x 解析 由e==, 得==,則a2=3b2. 若雙曲線焦點(diǎn)在x軸上,則漸近線方程為y=x. 若雙曲線焦點(diǎn)在y軸上,則漸近線方程為y=x. 8.拋物線y2=4px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P為其上的一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若△OPF為等腰三角形,則這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為________. 答案 4 解析 當(dāng)|PO|=|PF|時(shí),點(diǎn)P在線段OF的中垂線上,此時(shí),點(diǎn)P的位置有兩個(gè);當(dāng)|OP|=|OF|時(shí),點(diǎn)P的位置也有兩個(gè);對|FO|=|FP|的情形,點(diǎn)P不存在.事實(shí)上,F(xiàn)(p,0),若設(shè)P(x,y),則|FO|=p,|FP|=, 若=p,則有x2-2px+y2=0, 又∵y2=4px,∴x2+2px=0,解得x=0或x=-2p, 當(dāng)x=0時(shí),不構(gòu)成三角形.當(dāng)x=-2p(p>0)時(shí),與點(diǎn)P在拋物線上矛盾. ∴符合要求的點(diǎn)P有4個(gè). 三、含參問題分類整合 某些含有參數(shù)的問題,由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得的結(jié)果不同,需對參數(shù)進(jìn)行討論,如含參數(shù)的方程、不等式、函數(shù)等.解決這類問題要根據(jù)解決問題需要合理確定分類標(biāo)準(zhǔn),討論中做到不重不漏,結(jié)論整合要周全. 9.已知實(shí)數(shù)a,x,a>0且a≠1,則“ax>1”的充要條件為( ) A.01,x>0 C.(a-1)x>0 D.x≠0 答案 C 解析 由ax>1知,ax>a0,當(dāng)01時(shí),x>0.故“ax>1”的充要條件為“(a-1)x>0”. 10.若函數(shù)f(x)=ax2+4x-3在[0,2]上有最大值f(2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ) A.(-∞,-1] B.[-1,+∞) C.(-∞,0) D.(0,+∞) 答案 B 解析 方法一 當(dāng)a=0時(shí),f(x)=4x-3在[0,2]上為增函數(shù),最大值為f(2),滿足題意. 當(dāng)a≠0時(shí),函數(shù)f(x)=ax2+4x-3=a2-3-,其對稱軸為x=-. 當(dāng)a>0時(shí),f(x)=ax2+4x-3在[0,2]上為增函數(shù),最大值為f(2),滿足題意. 當(dāng)a<0時(shí),只有當(dāng)-≥2,即-1≤a<0時(shí),f(x)=ax2+4x-3在[0,2]上為增函數(shù),最大值為f(2),滿足題意. 綜上,當(dāng)a≥-1時(shí),函數(shù)f(x)=ax2+4x-3在[0,2]上有最大值f(2).故選B. 方法二 由f(x)=ax2+4x-3,得f′(x)=2ax+4, 要使函數(shù)f(x)=ax2+4x-3在[0,2]上有最大值f(2), 需使f(x)=ax2+4x-3在[0,2]上為增函數(shù),則f′(x)=2ax+4≥0在[0,2]上恒成立, 當(dāng)x=0時(shí)成立,當(dāng)x≠0時(shí),由x∈(0,2],得a≥-, 因?yàn)椋?0,2]上的最大值為-1,所以a≥-1. 綜上,當(dāng)a≥-1時(shí),函數(shù)f(x)=ax2+4x-3在[0,2]上有最大值f(2).故選B. 11.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-ax+a+3,g(x)=ax-2a,若存在x0∈R,使得f(x0)<0和g(x0)<0同時(shí)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ) A.(7,+∞) B.(-∞,-2)∪(6,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-2)∪(7,+∞) 答案 A 解析 由f(x)=x2-ax+a+3知,f(0)=a+3,f(1)=4.又存在x0∈R,使得f(x0)<0,所以Δ=a2-4(a+3)>0,解得a<-2或a>6.又g(x)=ax-2a的圖象恒過點(diǎn)(2,0),故當(dāng)a>6時(shí),作出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象如圖1所示,當(dāng)a<-2時(shí),作出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象如圖2所示. 由函數(shù)的圖象知,當(dāng)a>6時(shí),若g(x0)<0,則x0<2, ∴要使f(x0)<0,則需解得a>7. 當(dāng)a<-2時(shí),若g(x0)<0,則x0>2,此時(shí)函數(shù)f(x)=x2-ax+a+3的圖象的對稱軸x=<-1, 故函數(shù)f(x)在區(qū)間上為增函數(shù), 又f(1)=4,∴f(x0)<0不成立. 綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(7,+∞). 一、特殊與一般的轉(zhuǎn)化 一般問題特殊化,使問題處理變得直接、簡單,也可以通過一般問題的特殊情形找到一般思路;特殊問題一般化,可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律,從而達(dá)到成批處理問題的效果;對于某些選擇題、填空題,可以把題中變化的量用特殊值代替,得到問題答案或者思路. 1.據(jù)統(tǒng)計(jì)某超市兩種蔬菜A,B連續(xù)n天價(jià)格分別為a1,a2,a3,…,an和b1,b2,b3,…,bn,令M={m|am<bm,m=1,2,…,n},若M中元素個(gè)數(shù)大于n,則稱蔬菜A在這n天的價(jià)格低于蔬菜B的價(jià)格,記作:A<B,現(xiàn)有三種蔬菜A,B,C,下列說法正確的是( ) A.若A<B,B<C,則A<C B.若A<B,B<C同時(shí)不成立,則A<C不成立 C.A<B,B<A可同時(shí)不成立 D.A<B,B<A可同時(shí)成立 答案 C 解析 特例法:例如蔬菜A連續(xù)10天價(jià)格分別為1,2,3,4,…,10,蔬菜B連續(xù)10天價(jià)格分別為10,9,…,1時(shí),A<B,B<A同時(shí)不成立,故選C. 2.過拋物線y=ax2(a>0)的焦點(diǎn)F,作一直線交拋物線于P,Q兩點(diǎn).若線段PF與FQ的長度分別為p,q,則+等于( ) A.2aB.C.4aD. 答案 C 解析 拋物線y=ax2(a>0)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y(tǒng)(a>0),焦點(diǎn)F. 過焦點(diǎn)F作直線垂直于y軸,則|PF|=|QF|=, ∴+=4a. 3.已知函數(shù)f(x)=(a-3)x-ax3在[-1,1]上的最小值為-3,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A.(-∞,-1] B.[12,+∞) C.[-1,12]D. 答案 D 解析 當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)=-3x,x∈[-1,1],顯然滿足條件,故排除A,B; 當(dāng)a=-時(shí),函數(shù)f(x)=x3-x,f′(x)=x2-=(x2-1), 當(dāng)-1≤x≤1時(shí),f′(x)≤0,所以f(x)在[-1,1]上為減函數(shù), 所以f(x)min=f(1)=-=-3,滿足條件,故排除C. 綜上,選D. 4.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a,b,c成等差數(shù)列,則=________. 答案 解析 令a=b=c,則△ABC為等邊三角形,且cosA=cosC=,代入所求式子,得==. 二、命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化 將題目已知條件或結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使深奧的問題淺顯化、繁雜的問題簡單化,讓題目得以解決.一般包括數(shù)與形的轉(zhuǎn)化,正與反的轉(zhuǎn)化,常量與變量的轉(zhuǎn)化,圖形形體及位置的轉(zhuǎn)化. 5.若對于任意t∈[1,2],函數(shù)g(x)=x3+x2-2x在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________. 答案 解析 g′(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調(diào)函數(shù),則①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立,或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立.由①得3x2+(m+4)x-2≥0,即m+4≥-3x在x∈(t,3)上恒成立,∵函數(shù)y=-3x在(t,3)上為減函數(shù),∴m+4≥-3t恒成立,則m+4≥-1,即m≥-5;由②得m+4≤-3x在x∈(t,3)上恒成立,∵函數(shù)y=-3x在(t,3)上為減函數(shù),則m+4≤-9,即m≤-.∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)時(shí)m的取值范圍為. 6.如圖所示,已知三棱錐P-ABC,PA=BC=2,PB=AC=10,PC=AB=2,則三棱錐P-ABC的體積為( ) A.40B.80 C.160D.240 答案 C 解析 因?yàn)槿忮FP-ABC的三組對棱兩兩相等,則可將此三棱錐放在一個(gè)特定的長方體中(如圖所示),把三棱錐P-ABC補(bǔ)成一個(gè)長方體AEBG-FPDC, 可知三棱錐P-ABC的各棱分別是此長方體的面對角線. 不妨令PE=x,EB=y(tǒng),EA=z, 則由已知,可得解得 從而知VP-ABC=VAEBG-FPDC-VP-AEB-VC-ABG-VB-PDC-VA-FPC=VAEBG-FPDC-4VP-AEB=6810-46810=160. 7.對于滿足0≤p≤4的所有實(shí)數(shù)p,使不等式x2+px>4x+p-3成立的x的取值范圍是________________. 答案 (-∞,-1)∪(3,+∞) 解析 設(shè)f(p)=(x-1)p+x2-4x+3, 則當(dāng)x=1時(shí),f(p)=0,所以x≠1. f(p)在[0,4]上恒為正等價(jià)于 即解得x>3或x<-1. 8.如果實(shí)數(shù)x,y滿足等式(x-2)2+y2=1,那么的取值范圍是________. 答案 解析 設(shè)k=,則y表示點(diǎn)P(1,-3)和圓(x-2)2+y2=1上的點(diǎn)的連線的斜率(如圖).從圖中可知,當(dāng)過P的直線與圓相切時(shí)斜率取最值,此時(shí)對應(yīng)的直線斜率分別為kPB和kPA,其中kPB不存在.由圓心C(2,0)到直線y=kx-(k+3)的距離=r=1,解得k=,所以的取值范圍是. 三、 函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化 函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”,解決方程、不等式的問題需要函數(shù)的幫助,解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的協(xié)作. 9.已知偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,f(2)=0,若f(x-1)>0,則x的取值范圍為________. 答案 (-1,3) 解析 ∵f(x)是偶函數(shù),且f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,f(2)=0, ∴不等式f(x-1)>0等價(jià)于f(|x-1|)>f(2), 即|x-1|<2,則-1- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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