（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 考點(diǎn)規(guī)范練21 解三角形應(yīng)用舉例.docx

考點(diǎn)規(guī)范練21解三角形應(yīng)用舉例基礎(chǔ)鞏固組1.在相距2 km的A,B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C,若CAB=75,CBA=60,則A,C兩點(diǎn)之間的距離為()A.6 kmB.2 kmC.3 kmD.2 km答案A解析如圖,在ABC中,由已知可得ACB=45,ACsin60=2sin45,AC=2232=6(km).2.在地平面上有一旗桿OP(O在地面),為了測(cè)得它的高度h,在地平面上取一基線AB,測(cè)得其長(zhǎng)為20 m,在A處測(cè)得點(diǎn)P的仰角為30,在B處測(cè)得點(diǎn)P的仰角為45,又測(cè)得AOB=30,則旗桿的高h(yuǎn)等于()A.10 mB.20 mC.103 mD.203 m答案B解析由題意得PAO=30,PBO=45,AO=3h,BO=h,所以AB2=202=(3h)2+h2-23hhcos30,因此h2=400,h=20.故選B.3.一艘游輪航行到A處時(shí)看燈塔B在A的北偏東75,距離為126海里,燈塔C在A的北偏西30,距離為123海里,該游輪由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時(shí)再看燈塔B在其南偏東60方向,則此時(shí)燈塔C位于游輪的()A.正西方向B.南偏西75方向C.南偏西60方向D.南偏西45方向答案C解析如圖,在ABD中,B=45,由正弦定理有ADsin45=ABsin60=12632=242,AD=24.在ACD中,由余弦定理有CD2=AC2+AD2-2ACADcos30,因?yàn)锳C=123,AD=24,所以CD=12,由正弦定理有CDsin30=ACsinCDA,sinCDA=32,故CDA=60或120.因AD>CD,故CDA為銳角,所以CDA=60,故選C.4.某大學(xué)的大門蔚為壯觀,有個(gè)學(xué)生想搞清楚門洞拱頂D到其正上方點(diǎn)A的距離,他站在地面C處,利用皮尺量得BC=9 m,利用測(cè)角儀測(cè)得仰角ACB=45,測(cè)得仰角BCD后通過計(jì)算得到sinACD=2626,則AD的距離為()A.2 mB.2.5 mC.3 mD.4 m答案C解析設(shè)AD=xm,則BD=(9-x)m,CD=92+(9-x)2m.在ACD中應(yīng)用正弦定理得CDsinDAC=ADsinACD,即92+(9-x)222=x2626,則292+(9-x)2=26x2,整理,得2x2+3x-27=0,即(2x+9)(x-3)=0,解得x=3(m).5.如圖,要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔的高度,選擇甲、乙兩觀測(cè)點(diǎn).在甲、乙兩點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45,30,在水平面上測(cè)得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120,甲、乙兩地相距500 m,則電視塔的高度是()A.1002 mB.400 mC.2003 mD.500 m答案D解析設(shè)塔高為xm,則由已知可得BC=xm,BD=3xm,由余弦定理可得BD2=BC2+CD2-2BCCDcosBCD,即3x2=x2+5002+500x,解得x=500(m).6.在200 m高的山頂上,測(cè)得山下一塔頂和塔底的俯角分別是30,60,則塔高為m.答案4003解析如圖,由已知可得BAC=30,CAD=30,BCA=60,ACD=30,ADC=120.又AB=200m,AC=40033m.在ACD中,由余弦定理得,AC2=2CD2-2CD2cos120=3CD2,CD=13AC=4003m.7.如圖所示,長(zhǎng)為3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上,另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上,石堤的傾斜角為,則坡度值tan =.答案2315解析在ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且+ACB=.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(-),解得cos=516,則sin=23116,所以tan=sincos=2315.8.海島B上有一座高為10米的塔,塔頂?shù)囊粋€(gè)觀測(cè)站A,上午11時(shí)測(cè)得一游船位于島北偏東15方向上,且俯角為30的C處,一分鐘后測(cè)得該游船位于島北偏西75方向上,且俯角45的D處.(假設(shè)游船勻速行駛)則CD的長(zhǎng);又經(jīng)過一段時(shí)間后,游船到達(dá)海島B的正西方向E處,此時(shí)游船距離海島B米.答案2056解析(1)在RtABC中,BAC=60,AB=10米,則BC=103米.在RtABD中,BAD=45,AB=10米,則BD=10米.在RtBCD中,DBC=75+15=90,則CD=BD2+BC2=20(米).(2)在RtBCD中,BCD=30,又因?yàn)镈BE=15,所以CBE=105,所以CEB=45.在BCE中,由正弦定理可知EBsin30=BCsin45,所以EB=BCsin30sin45=56(米).能力提升組9.在某個(gè)位置測(cè)得某山峰仰角為,對(duì)著山峰在水平地面上前進(jìn)900 m后測(cè)得仰角為2,繼續(xù)在水平地面上前進(jìn)3003 m后,測(cè)得山峰的仰角為4,則該山峰的高度為()A.300 mB.450 mC.3003 mD.600 m答案B解析如圖所示,易知,在ADE中,DAE=2,ADE=180-4,AD=3003m,由正弦定理,得900sin4=3003sin2,解得cos2=32,則sin2=12,sin4=32,因此在RtABC中山峰的高度h=3003sin4=300332=450(m).10.如圖,一條河的兩岸平行,河的寬度d=0.6 km,一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對(duì)岸的碼頭B.已知AB=1 km,水的流速為2 km/h,若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時(shí)間為6 min,則客船在靜水中的速度為()A.8 km/hB.62 km/hC.234 km/hD.10 km/h答案B解析設(shè)AB與河岸線所成的角為,客船在靜水中的速度為vkm/h,由題意知,sin=0.61=35,從而cos=45,所以由余弦定理得110v2=11022+12-21102145,解得v=62.11.某人在汽車站M的北偏西20的方向上的A處(如圖所示),觀察到C處有一輛汽車沿公路向M站行駛,公路的走向是M站的北偏東40.開始時(shí),汽車到A處的距離為31 km,汽車前進(jìn)20 km后,到A處的距離縮短了10 km.問汽車還需行駛()km,才能到達(dá)汽車站M?A.5 kmB.10 kmC.15 kmD.20 km答案C解析設(shè)汽車前進(jìn)20km后到達(dá)B處,在ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理,得cosC=AC2+BC2-AB22ACBC=2331,則sinC=12331.所以sinMAC=sin(120-C)=sin120cosC-cos120sinC=35362.在MAC中,由正弦定理,得MC=ACsinMACsinAMC=313536232=35,從而有MB=MC-BC=15(km).12.為了豎一塊廣告牌,要制造三角形支架,如圖,要求ACB=60,BC的長(zhǎng)度大于1米,且AC比AB長(zhǎng)0.5米,為了穩(wěn)固廣告牌,要求AC越短越好,則AC最短為()A.1+32米B.2+32米C.1+3米D.2+3米答案D解析由題意設(shè)BC=x(x>1)米,AC=t(t>0)米,依題設(shè)AB=AC-0.5=t-0.5米,在ABC中,由余弦定理得:AB2=AC2+BC2-2ACBCcos60,即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化簡(jiǎn)并整理得:t=x2-0.25x-1(x>1),即t=x-1+0.75x-1+2,因x>1,故t=x-1+0.75x-1+22+3當(dāng)且僅當(dāng)x=1+32時(shí)取等號(hào),此時(shí)取最小值2+3,應(yīng)選答案D.13.如圖,從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75,30,此時(shí)氣球的高是60 m,則河流的寬度BC等于()A.240(3+1) mB.180(2-1) mC.120(3-1) mD.30(3+1) m答案C解析如圖,ACD=30,ABD=75,AD=60m,在RtACD中,CD=ADtanACD=60tan30=603(m),在RtABD中,BD=ADtanABD=60tan75=602+3=60(2-3)(m),BC=CD-BD=603-60(2-3)=120(3-1)(m).14.如圖,為測(cè)量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角MAN=60,C點(diǎn)的仰角CAB=45以及MAC=75;從C點(diǎn)測(cè)得MCA=60.已知山高BC=100 m,則山高M(jìn)N=m.答案150解析根據(jù)圖示,AC=1002m.在MAC中,CMA=180-75-60=45.由正弦定理得ACsin45=AMsin60AM=1003m.在AMN中,MNAM=sin60,MN=100332=150m.15.如圖,在某災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場(chǎng),一條搜救犬從點(diǎn)A出發(fā)沿正北方向行進(jìn)x m到達(dá)B處發(fā)現(xiàn)生命跡象,然后向右轉(zhuǎn)105,行進(jìn)10 m 到達(dá)C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象,這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135回到出發(fā)點(diǎn),那么x=.答案1063解析由題圖知,AB=x,ABC=180-105=75,BCA=180-135=45.BC=10,BAC=180-75-45=60,xsin45=10sin60,x=10sin45sin60=1063.16.如圖一塊長(zhǎng)方形區(qū)域ABCD,AD=2,AB=1,在邊AD的中點(diǎn)O處有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈,其照射角EOF始終為4,設(shè)AOE=034,探照燈O照射在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為S.(1)當(dāng)02時(shí),求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)04時(shí),求S的最大值;(3)若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個(gè)來回”(OE自O(shè)A轉(zhuǎn)到OC,再回到OA,稱“一個(gè)來回”,忽略O(shè)E在OA及OC反向旋轉(zhuǎn)時(shí)所用的時(shí)間),且轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小一定,設(shè)AB邊上有一點(diǎn)G,且AOG=6,求點(diǎn)G在“一個(gè)來回”中被照到的時(shí)間.解(1)當(dāng)04時(shí),E在AB上,F在BC上,S=1-12tan-12tan4-,當(dāng)4<2時(shí),E,F都在BC上,S=121tan+1tan34-.(2)當(dāng)04時(shí),S=2-121+tan+21+tan,由于tan0,1,所以當(dāng)tan=2-1時(shí),Smax=2-2.(3)在“一個(gè)來回”中,OE共轉(zhuǎn)動(dòng)了234=32,其中點(diǎn)G被照到時(shí),OE共轉(zhuǎn)動(dòng)了26=3,點(diǎn)G被照到的時(shí)間為t=9332=2(分鐘).17.如圖,已知扇形OPQ的半徑為1,圓心角為3,C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn),ABCD是扇形的內(nèi)接矩形,記COP=.(1)當(dāng)AB=3BC時(shí),求tan 2的值;(2)記矩形ABCD的面積為f(),求f()最大值,并求此時(shí)的值.解(1)tan3=ADOA=BCOA=3,OA=33BC,又tan=BCOB=BC33BC+3BC=34,所以tan2=2tan1-tan2=8313.(2)在RtOBC中,OB=cos,BC=sin,在RtOAD中,DAOA=tan60=3,OA=33DA=33BC=33sin,AB=OB-OA=cos-33sin.設(shè)矩形ABCD的面積為S,則S=ABBC=sincos-sin3=sincos-13sin2=12sin2-123(1-cos2)=12sin2+36cos2-36=13sin2+6-36.由于0<<3,當(dāng)2+66,56,當(dāng)2+6=2,即=6時(shí),S最大=13-36=36.因此f()max=36.