《數(shù)學人教A版選修45優(yōu)化練習:第一講 一 不等式 3 三個正數(shù)的算術幾何平均不等式 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《數(shù)學人教A版選修45優(yōu)化練習:第一講 一 不等式 3 三個正數(shù)的算術幾何平均不等式 Word版含解析(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
[課時作業(yè)]
[A組 基礎鞏固]
1.設x,y,z>0且x+y+z=6,則lg x+lg y+lg z的取值范圍是( )
A.(-∞,lg 6] B.(-∞,3lg 2]
C.[lg 6,+∞) D.[3lg 2,+∞)
解析:∵lg x+lg y+lg z=lg(xyz),
而xyz≤3=23,
∴l(xiāng)g x+lg y+lg z≤lg 23=3lg 2,當且僅當x=y(tǒng)=z=2時,取等號.
答案:B
2.函數(shù)y=x2·(1-5x)(0≤x≤)的最大值為( )
A. B.
C. D.
解析:∵0≤x≤,∴1-5x≥0,
2、∴y=x2·(1-5x)=[x·x·(1-5x)]
≤[]3=.
當且僅當x=1-5x,
即x=時取“=”,故選A.
答案:A
3.已知圓柱的軸截面周長為6,體積為V,則下列不等式正確的是( )
A.V≥π B.V≤π
C.V≥π D.V≤π
解析:如圖,設圓柱半徑為R,高為h,則4R+2h=6,即2R+h=3.
V=S·h=πR2·h=π·R·R·h≤π3=π,當且僅當R=R=h=1時取等號.
答案:B
4.設a,b,c∈R+,且a+b+c=1,若M=··,則必有( )
A.0≤M< B.≤M<1
C.1≤M<8 D.M≥8
解析:M=·=≥=
3、8,
當且僅當a=b=c時等號成立.
答案:D
5.已知x為正數(shù),下列各題求得的最值正確的是( )
A.y=x2+2x+≥3=6,∴ymin=6
B.y=2+x+≥3=3,∴ymin=3
C.y=2+x+≥4,∴ymin=4
D.y=x(1-x)(1-2x)≤[]3=,
∴ymax=
解析:A,B,D在使用不等式a+b+c≥3(a,b,c∈R+)和abc≤()3(a,b,c∈R+)都不能保證等號成立,最值取不到.C中,∵x>0,∴y=2+x+=2+(x+)≥2+2=4,當且僅當x=,即x=1時取等號.
答案:C
6.若x>0,則函數(shù)y=4x2+的最小值是________
4、.
解析:∵x>0,
∴y=4x2+=4x2++
≥3 =3.
當且僅當4x2=(x>0),
即x=時,取“=”,
∴當x=時,
y=4x2+(x>0)的最小值為3.
答案:3
7.若a>2,b>3,則a+b+的最小值為________.
解析:∵a>2,b>3,∴a-2>0,b-3>0,
∴a+b+
=(a-2)+(b-3)++5
≥3 +5
=3+5=8(當且僅當a=3,b=4時等號成立).
答案:8
8.設底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V,那么其表面積最小時,底面邊長為________.
解析:設底面邊長為x,高為h,則
x2·h=V,
所以h=,
5、
又S表=2·x2+3xh
=x2+3x·=x2+
==
≥×3=3×,
當且僅當x2=,即x=時,S表最?。?
答案:
9.已知x,y均為正數(shù),且x>y,求證:2x+≥2y+3.
證明:因為x>0,y>0,x-y>0,
2x+-2y
=2(x-y)+
=(x-y)+(x-y)+
≥3=3,
所以2x+≥2y+3.
10.如圖(1)所示,將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形,再沿虛線折起,做成一個無蓋的正六棱柱容器,如圖(2)所示,求這個正六棱柱容器的容積最大值.
解析:設正六棱柱容器底面邊長為x(x>0),高為h,由圖可有2h+x=,
6、∴h=(1-x),
V=S底·h=6×x2·h
=x2··(1-x)
=2××××(1-x)
≤9×3=.
當且僅當==1-x,
即x=時,等號成立.
所以當?shù)酌孢呴L為時,正六棱柱容器的容積最大,為.
[B組 能力提升]
1.已知a,b,c∈R+,x=,y=,z= ,則( )
A.x≤y≤z B.y≤x≤z
C.y≤z≤x D.z≤y≤x
解析:∵a,b,c∈R+,∴≥,
∴x≥y,又x2=,z2=,
∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,
三式相加得:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
∴3a2+3b2+3c2≥(a+b+c
7、)2,
∴z2≥x2,∴z≥x,即y≤x≤z.
答案:B
2.若實數(shù)x,y滿足xy>0,且x2y=2,則xy+x2的最小值是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:xy+x2=xy+xy+x2
≥3 =3 =3=3.
答案:C
3.設x∈,則函數(shù)y=4sin2x·cos x的最大值為________.
解析:∵y2=16sin2x·sin2x·cos2x
=8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8()3=8×=,
∴y2≤,當且僅當sin2x=2cos2x,
即tan x=時,等號成立.∴ymax=.
答案:
4.設正數(shù)a,b,c滿足a+b+
8、c=1,則++的最小值為________.
解析:∵a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,
∴(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)=9.
∴(++)·[(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)]≥
3··3=9.
當且僅當a=b=c=時等號成立.
即++≥1.
故++的最小值為1.
答案:1
5.設a,b,c為正實數(shù),求證:+++abc≥2.
證明:因為a,b,c為正實數(shù),由算術—幾何平均不等式可得
++≥3 ,
即++≥(當且僅當a=b=c時,等號成立).
所以+++abc≥+abc.
而+abc≥2 =2(當且僅當a2b2c2=3時,等號成立),
所以++
9、+abc≥2(當且僅當a=b=c=時,等號成立).
6.已知某輪船速度為每小時10千米,燃料費為每小時30元,其余費用(不隨速度變化)為每小時480元,設輪船的燃料費用與其速度的立方成正比,問輪船航行的速度為每小時多少千米時,每千米航行費用總和為最?。?
解析:設船速為V千米/小時,燃料費為A元/小時,則依題意有A=k·V3,且有30=k·103,∴k=.
∴A=V3.
設每千米的航行費用為R,需時間為小時,
∴R=(V3+480)=V2+
=V2++
≥3 =36.
當且僅當V2=,即V=20時取最小值.
答:輪船航行速度為20千米/小時時,每千米航行費用總和最?。?
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