數(shù)學人教A版選修45優(yōu)化練習:第一講 一 不等式 3 三個正數(shù)的算術幾何平均不等式 Word版含解析

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1、 [課時作業(yè)] [A組 基礎鞏固] 1.設x,y,z>0且x+y+z=6,則lg x+lg y+lg z的取值范圍是(  ) A.(-∞,lg 6]      B.(-∞,3lg 2] C.[lg 6,+∞) D.[3lg 2,+∞) 解析:∵lg x+lg y+lg z=lg(xyz), 而xyz≤3=23, ∴l(xiāng)g x+lg y+lg z≤lg 23=3lg 2,當且僅當x=y(tǒng)=z=2時,取等號. 答案:B 2.函數(shù)y=x2·(1-5x)(0≤x≤)的最大值為(  ) A. B. C. D. 解析:∵0≤x≤,∴1-5x≥0,

2、∴y=x2·(1-5x)=[x·x·(1-5x)] ≤[]3=. 當且僅當x=1-5x, 即x=時取“=”,故選A. 答案:A 3.已知圓柱的軸截面周長為6,體積為V,則下列不等式正確的是(  ) A.V≥π B.V≤π C.V≥π D.V≤π 解析:如圖,設圓柱半徑為R,高為h,則4R+2h=6,即2R+h=3. V=S·h=πR2·h=π·R·R·h≤π3=π,當且僅當R=R=h=1時取等號. 答案:B 4.設a,b,c∈R+,且a+b+c=1,若M=··,則必有(  ) A.0≤M< B.≤M<1 C.1≤M<8 D.M≥8 解析:M=·=≥=

3、8, 當且僅當a=b=c時等號成立. 答案:D 5.已知x為正數(shù),下列各題求得的最值正確的是(  ) A.y=x2+2x+≥3=6,∴ymin=6 B.y=2+x+≥3=3,∴ymin=3 C.y=2+x+≥4,∴ymin=4 D.y=x(1-x)(1-2x)≤[]3=, ∴ymax= 解析:A,B,D在使用不等式a+b+c≥3(a,b,c∈R+)和abc≤()3(a,b,c∈R+)都不能保證等號成立,最值取不到.C中,∵x>0,∴y=2+x+=2+(x+)≥2+2=4,當且僅當x=,即x=1時取等號. 答案:C 6.若x>0,則函數(shù)y=4x2+的最小值是________

4、. 解析:∵x>0, ∴y=4x2+=4x2++ ≥3 =3. 當且僅當4x2=(x>0), 即x=時,取“=”, ∴當x=時, y=4x2+(x>0)的最小值為3. 答案:3 7.若a>2,b>3,則a+b+的最小值為________. 解析:∵a>2,b>3,∴a-2>0,b-3>0, ∴a+b+ =(a-2)+(b-3)++5 ≥3 +5 =3+5=8(當且僅當a=3,b=4時等號成立). 答案:8 8.設底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V,那么其表面積最小時,底面邊長為________. 解析:設底面邊長為x,高為h,則 x2·h=V, 所以h=,

5、 又S表=2·x2+3xh =x2+3x·=x2+ == ≥×3=3×, 當且僅當x2=,即x=時,S表最?。? 答案: 9.已知x,y均為正數(shù),且x>y,求證:2x+≥2y+3. 證明:因為x>0,y>0,x-y>0, 2x+-2y =2(x-y)+ =(x-y)+(x-y)+ ≥3=3, 所以2x+≥2y+3. 10.如圖(1)所示,將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形,再沿虛線折起,做成一個無蓋的正六棱柱容器,如圖(2)所示,求這個正六棱柱容器的容積最大值. 解析:設正六棱柱容器底面邊長為x(x>0),高為h,由圖可有2h+x=,

6、∴h=(1-x), V=S底·h=6×x2·h =x2··(1-x) =2××××(1-x) ≤9×3=. 當且僅當==1-x, 即x=時,等號成立. 所以當?shù)酌孢呴L為時,正六棱柱容器的容積最大,為. [B組 能力提升] 1.已知a,b,c∈R+,x=,y=,z= ,則(  ) A.x≤y≤z B.y≤x≤z C.y≤z≤x D.z≤y≤x 解析:∵a,b,c∈R+,∴≥, ∴x≥y,又x2=,z2=, ∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac, 三式相加得:a2+b2+c2≥ab+bc+ca. ∴3a2+3b2+3c2≥(a+b+c

7、)2, ∴z2≥x2,∴z≥x,即y≤x≤z. 答案:B 2.若實數(shù)x,y滿足xy>0,且x2y=2,則xy+x2的最小值是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:xy+x2=xy+xy+x2 ≥3 =3 =3=3. 答案:C 3.設x∈,則函數(shù)y=4sin2x·cos x的最大值為________. 解析:∵y2=16sin2x·sin2x·cos2x =8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8()3=8×=, ∴y2≤,當且僅當sin2x=2cos2x, 即tan x=時,等號成立.∴ymax=. 答案: 4.設正數(shù)a,b,c滿足a+b+

8、c=1,則++的最小值為________. 解析:∵a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1, ∴(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)=9. ∴(++)·[(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)]≥ 3··3=9. 當且僅當a=b=c=時等號成立. 即++≥1. 故++的最小值為1. 答案:1 5.設a,b,c為正實數(shù),求證:+++abc≥2. 證明:因為a,b,c為正實數(shù),由算術—幾何平均不等式可得 ++≥3 , 即++≥(當且僅當a=b=c時,等號成立). 所以+++abc≥+abc. 而+abc≥2 =2(當且僅當a2b2c2=3時,等號成立), 所以++

9、+abc≥2(當且僅當a=b=c=時,等號成立). 6.已知某輪船速度為每小時10千米,燃料費為每小時30元,其余費用(不隨速度變化)為每小時480元,設輪船的燃料費用與其速度的立方成正比,問輪船航行的速度為每小時多少千米時,每千米航行費用總和為最?。? 解析:設船速為V千米/小時,燃料費為A元/小時,則依題意有A=k·V3,且有30=k·103,∴k=. ∴A=V3. 設每千米的航行費用為R,需時間為小時, ∴R=(V3+480)=V2+ =V2++ ≥3 =36. 當且僅當V2=,即V=20時取最小值. 答:輪船航行速度為20千米/小時時,每千米航行費用總和最?。? 最新精品語文資料

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