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課時跟蹤檢測(二十) 小題考法——不等式
A組——10+7提速練
一、選擇題
1.在R上定義運算:x?y=x(1-y).若不等式(x-a)?(x-b)>0的解集是(2,3),則a+b=( )
A.1 B.2
C.4 D.8
解析:選C 由題知(x-a)?(x-b)=(x-a)[1-(x-b)]>0,即(x-a)[x-(b+1)]<0,由于該不等式的解集為(2,3),所以方程(x-a)[x-(b+1)]=0的兩根之和等于5,即a+b+1=5,故a+b=4.
2.已知正數(shù)a,b的等比中項是2,且m=b+,n=a+,則m+n的最小值是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
解析:選C 由正數(shù)a,b的等比中項是2,可得ab=4,又m=b+,n=a+,所以m+n=a+b++=a+b+=(a+b)≥2=5,當且僅當a=b=2時等號成立,故m+n的最小值為5.
3.設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標函數(shù)z=x+2y的最大值為( )
A.5 B.6
C. D.7
解析:選C 作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,由圖易知,當直線z=x+2y經(jīng)過直線x-y=-1與x+y=4的交點,即時,z取得最大值,zmax=+2=,故選C.
4.(2017全國卷Ⅲ)設(shè)x,y滿足約束條件則z=x-y的取值范圍是( )
A.[-3,0] B.[-3,2]
C.[0,2] D.[0,3]
解析:選B 作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示,作出直線l0:y=x,平移直線l0,當直線z=x-y過點A(2,0)時,z取得最大值2,當直線z=x-y過點B(0,3)時,z取得最小值-3,所以z=x-y的取值范圍是[-3,2].
5.(2017全國卷Ⅱ)設(shè)x,y滿足約束條件則z=2x+y的最小值是( )
A.-15 B.-9
C.1 D.9
解析:選A 作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示.
易求得可行域的頂點A(0,1),B(-6,-3),C(6,-3),當直線z=2x+y過點B(-6,-3)時,z取得最小值,zmin=2(-6)-3=-15.
6.設(shè)不等式組所表示的區(qū)域面積為S.若S≤1,則m的取值范圍為( )
A.(-∞,-2] B.[-2,0]
C.(0,2] D.[2,+∞)
解析:選A 如圖,當x+y=1與y=mx交點為(-1,2)時,不等式組所表示的區(qū)域面積為1,此時m=-2,若S≤1,則m≤-2,故選A.
7.已知實數(shù)x,y滿足若z=x+2y的最小值為-4,則實數(shù)a=( )
A.1 B.2
C.4 D.8
解析:選B 作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,
當直線z=x+2y經(jīng)過點C時,z取得最小值-4,所以-a+2=-4,解得a=2,故選B.
8.(2019屆高三浙江六校協(xié)作體聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-x(a>0,b>0)在x=1處取得極小值,則+的最小值為( )
A.4 B.5
C.9 D.10
解析:選C 由f(x)=ax3+bx2-x(a>0,b>0),得f′(x)=ax2+bx-1,則f′(1)=a+b-1=0,∴a+b=1,∴+=(a+b)=5++≥5+2=9,當且僅當=,即a=,b=時,等號成立,故選C.
9.(2017衢州二中交流卷)若實數(shù)x,y滿足|[x]|+|y|≤1([x]表示不超過x的最大整數(shù)),則的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析:選A 因為|[x]|≤1-|y|≤1,所以-1≤[x]≤1,再根據(jù)[x]的具體值進行分類:
①當[x]=-1,即-1≤x<0時,y=0;
②當[x]=0,即0≤x<1時,|y|≤1,即-1≤y≤1;
③當[x]=1,即1≤x<2時,y=0.
在平面直角坐標系內(nèi)作出可行域,如圖所示.
=1+,其幾何意義為可行域內(nèi)的點(x,y)與點(-2,-2)所確定的直線的斜率加1.而由圖可知,點(-1,0)與點(-2,-2)所確定的直線的斜率最大,最大值為=2;點(1,-1)與點(-2,-2)所確定的直線的斜率最小,最小值為=,又由圖知取不到最小值,所以∈,故選A.
10.(2017天津高考)已知函數(shù)f(x)=設(shè)a∈R,若關(guān)于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,則a的取值范圍是( )
A. B.
C.[-2,2] D.
解析:選A 法一:根據(jù)題意,作出f(x)的大致圖象,如圖所示.
當x≤1時,若要f(x)≥恒成立,結(jié)合圖象,只需x2-x+3≥-,即x2-+3+a≥0,故對于方程x2-+3+a=0,Δ=2-4(3+a)≤0,解得a≥-;當x>1時,若要f(x)≥恒成立,結(jié)合圖象,只需x+≥+a,即+≥a.又+≥2,當且僅當=,即x=2時等號成立,所以a≤2.綜上,a的取值范圍是.
法二:關(guān)于x的不等式f(x)≥在R上恒成立等價于-f(x)≤a+≤f(x),
即-f(x)-≤a≤f(x)-在R上恒成立,
令g(x)=-f(x)-.
當x≤1時,g(x)=-(x2-x+3)-=-x2+-3
=-2-,
當x=時,g(x)max=-;
當x>1時,g(x)=--=-≤-2,
當且僅當=,且x>1,即x=時,“=”成立,
故g(x)max=-2.
綜上,g(x)max=-.
令h(x)=f(x)-,
當x≤1時,h(x)=x2-x+3-=x2-+3
=2+,
當x=時,h(x)min=;
當x>1時,h(x)=x+-=+≥2,
當且僅當=,且x>1,即x=2時,“=”成立,
故h(x)min=2.綜上,h(x)min=2.
故a的取值范圍為.
二、填空題
11.若兩個正實數(shù)x,y滿足+=1,且不等式x+
x+≥≥4,故m2-3m>4,化簡得(m+1)(m-4)>0,解得m<-1或m>4,即實數(shù)m的取值范圍為(-∞,-1)∪(4,+∞).
答案:(-∞,-1)∪(4,+∞)
12.設(shè)函數(shù)f(x)=則不等式f(x)>f(1)的解集是________________.
解析:由題意得,f(1)=3,所以f(x)>f(1),即f(x)>3.當x<0時,x+6>3,解得-33,解得x>3或0≤x<1.綜上,不等式的解集為(-3,1)∪(3,+∞).
答案:(-3,1)∪(3,+∞)
13.(2018紹興一中調(diào)研)已知實數(shù)x,y滿足則由不等式組確定的可行域的面積為________,z=2x-y的最大值為________.
解析:作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示,所以可行域的面積為1,因為目標函數(shù)z=2x-y的斜率為2,所以過點A(3,0)時取到最大值6.
答案:1 6
14.(2018杭州二中調(diào)研)已知x>3y>0或x<3y<0,則(x-2y)2+的最小值是________.
解析:(x-2y)2+≥(x-2y)2+=(x-2y)2+≥8,當4y=x,x-2y=2時取等號.
答案:8
15.如果實數(shù)x,y滿足條件且z=的最小值為,則正數(shù)a的值為________.
解析:根據(jù)約束條件畫出可行域如圖中陰影部分所示,經(jīng)分析可知當x=1,y=1時,z取最小值,即=,所以a=1.
答案:1
16.(2018紹興質(zhì)量調(diào)測)已知正實數(shù)x,y滿足xy+2x+3y=42,則xy+5x+4y的最小值為________.
解析:由題知,xy+5x+4y=(xy+2x+3y)+3x+y=42+3x+y,
而(x+3)(y+2)=48,因此144=(3x+9)(y+2)≤2,因此3x+y≥13,當且僅當3x+9=y(tǒng)+2,即時取等號.故xy+5x+4y=42+3x+y≥55,則xy+5x+4y的最小值為55.
答案:55
17.若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)(a≠0)恒成立,則實數(shù)x的取值范圍是________.
解析:不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)(a≠0)恒成立,即|2+x|+|2-x|≤恒成立,故|2+x|+|2-x|≤min.因為≥==4,當且僅當(2a+b)(2a-b)≥0,即2|a|≥|b|時等號成立,所以的最小值為4,所以|2+x|+|2-x|≤4,解得-2≤x≤2.故實數(shù)x的取值范圍為[-2,2].
答案:[-2,2]
B組——能力小題保分練
1.已知x,y滿足則z=8-xy的最小值為( )
A.1 B.
C. D.
解析:選D 作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,而z=8-xy=2-3x-y,欲使z最小,只需使-3x-y最小即可.由圖知當x=1,y=2時,-3x-y的值最小,且-31-2=-5,此時2-3x-y最小,最小值為.故選D.
2.設(shè)x,y滿足約束條件若目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為6,則+的最小值為( )
A.1 B.3
C.2 D.4
解析:選B 依題意畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示.
∵a>0,b>0,
∴當直線z=ax+by經(jīng)過點(2,4)時,z取得最大值6,
∴2a+4b=6,即a+2b=3.
∴+=(a+2b)=++≥3,當且僅當a=b=1時等號成立,∴+的最小值為3.故選B.
3.設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域為Dn,記Dn內(nèi)的整點(橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點)個數(shù)為an(n∈N*),若m>++…+對于任意的正整數(shù)恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析:選A 不等式組表示的平面區(qū)域為直線x=0,y=0,y=-nx+3n圍成的直角三角形(不含直角邊),區(qū)域內(nèi)橫坐標為1的整點有2n個,橫坐標為2的整點有n個,所以an=3n,所以==,所以++…+==,數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,故當n趨近于無窮大時,趨近于,所以m≥.故選A.
4.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的導(dǎo)函數(shù)為f′(x).若?x∈R,不等式f(x)≥f′(x)恒成立,則的最大值為( )
A.+2 B.-2
C.2+2 D.2-2
解析:選B 由題意得f′(x)=2ax+b,由f(x)≥f′(x)在R上恒成立,得ax2+(b-2a)x+c-b≥0在R上恒成立,則a>0且Δ≤0,可得b2≤4ac-4a2,則≤=,又4ac-4a2≥0,∴4-4≥0,∴-1≥0,令t=-1,則t≥0.當t>0時,≤=≤=-2,當t=0時,=0<-2,故的最大值為-2,故選B.
5.(2019屆高三浙江新高考聯(lián)盟聯(lián)考)過P(-1,1)的光線經(jīng)x軸上點A反射后,經(jīng)過不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)某點(記為B),則|PA|+|AB|的取值范圍是________.
解析:作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,點P關(guān)于x軸的對稱點為P1(-1,-1),|PA|+|AB|=|P1B|,過點P1作直線x+y-2=0的垂線,則|PA|+|AB|=|P1B|的最小值為=2.由得B0(2,3),則|PA|+|AB|=|P1B|的最大值為|P1B0|==5.
故2≤|PA|+|AB|≤5.
答案:[2,5]
6.(2018浙江“七彩陽光”聯(lián)盟期中)設(shè)實數(shù)x,y滿足不等式組且目標函數(shù)z=3x+y的最大值為15,則實數(shù)m=________;設(shè)min{a,b}=則z=min{x+y+2,2x+y}的取值范圍是________.
解析:因為直線x+y-3=0與x-3y+5=0交于點A(1,2),而直線x+my-1=0過點(1,0),則當m>0時,不等式組不能構(gòu)成可行域.當m=0時,可行域為點A(1,2),不符合題意.當->,即-3
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