高三數(shù)學北師大版文一輪課后限時集訓：42 空間圖形的基本關系與公理 Word版含解析

空間圖形的基本關系與公理建議用時：45分鐘一、選擇題1下列命題中，真命題的個數(shù)為()如果兩個平面有三個不在一條直線上的公共點，那么這兩個平面重合； 兩條直線可以確定一個平面；空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內；若M，M，l，則Ml.A1B2C3D4B根據(jù)公理2，可判斷是真命題；兩條異面直線不能確定一個平面，故是假命題；在空間，相交于同一點的三條直線不一定共面(如墻角)，故是假命題；根據(jù)平面的性質可知是真命題綜上，真命題的個數(shù)為2.2在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點，則直線A1B與直線EF的位置關系是()A相交B異面C平行D垂直A由BCAD，ADA1D1知，BCA1D1，從而四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1BCD1，又EF平面A1BCD1，EFD1CF，則A1B與EF相交3a，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是()A若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C若ab，則a，b與c所成的角相等D若ab，bc，則acC對于A，B，D，a與c可能相交、平行或異面，因此A，B，D不正確，根據(jù)異面直線所成角的定義知C正確4在空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF，GH相交于點P，那么()A點P必在直線AC上B點P必在直線BD上C點P必在平面DBC內D點P必在平面ABC外A如圖，因為EF平面ABC，而GH平面ADC，且EF和GH相交于點P，所以點P在兩平面的交線上，因為AC是兩平面的交線，所以點P必在直線AC上5如圖所示，在底面為正方形，側棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA12AB2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.B.C.D.D連接BC1，易證BC1AD1，則A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角連接A1C1，由AB1，AA12，則A1C1，A1BBC1，在A1BC1中，由余弦定理得cosA1BC1.二、填空題6已知AE是長方體ABCD­EFGH的一條棱，則在這個長方體的十二條棱中，與AE異面且垂直的棱共有_條4作出長方體ABCD­EFGH.在這個長方體的十二條棱中，與AE異面且垂直的棱有：GH、GF、BC、CD.共4條7已知在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點若AB2，CD4，EFAB，則EF與CD所成角的度數(shù)為_30°如圖，設G為AD的中點，連接GF，GE，則GF，GE分別為ABD，ACD的中位線由此可得GFAB，且GFAB1，GECD，且GECD2，F(xiàn)EG或其補角即為EF與CD所成的角又EFAB，GFAB，EFGF.因此，在RtEFG中，GF1，GE2，sinGEF，可得GEF30°，EF與CD所成角的度數(shù)為30°.8如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，GH與EF平行；BD與MN為異面直線；GH與MN成60°角；DE與MN垂直以上四個命題中，正確命題的序號是_如圖，把平面展開圖還原成正四面體，知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE與MN垂直，故正確三、解答題9已知空間四邊形ABCD(如圖所示)，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別是BC，CD上的點，且CGBC，CHDC.求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)三直線FH，EG，AC共點證明(1)連接EF，GH，因為E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，所以EFBD.又因為CGBC，CHDC，所以GHBD，所以EFGH，所以E，F(xiàn)，G，H四點共面(2)易知FH與直線AC不平行，但共面，所以設FHACM，所以M平面EFHG，M平面ABC.又因為平面EFHG平面ABCEG，所以MEG，所以FH，EG，AC共點10如圖所示，在三棱錐P­ABC中，PA底面ABC，D是PC的中點已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱錐P­ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值解(1)SABC×2×22，三棱錐P­ABC的體積為VSABC·PA×2×2.(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則EDBC，所以ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補角)在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故異面直線BC與AD所成角的余弦值為.1在正三棱柱ABC­A1B1C1中，ABBB1，則AB1與BC1所成角的大小為()A30°B60°C75°D90°D將正三棱柱ABC­A1B1C1補為四棱柱ABCD­A1B1C1D1，連接C1D，BD，則C1DB1A，BC1D為所求角或其補角設BB1，則BCCD2，BCD120°，BD2，又因為BC1C1D，所以BC1D90°.2在正方體ABCD­A1B1C1D1中，M，N分別為棱CC1，A1D1的中點，則異面直線A1B與MN所成的角為()A30°B45° C60°D90°A如圖，取C1D1的中點P，連接PM，PN，CD1.因為M為棱CC1的中點，P為C1D1的中點，所以PMCD1，所以PMA1B，則PMN是異面直線A1B與MN所成角的平面角設AB2，在PMN中，PMPN，MN，則cosPMN，即PMN30°.故選A.3.如圖所示，在四面體ABCD中作截面PQR，若PQ與CB的延長線交于點M，RQ與DB的延長線交于點N，RP與DC的延長線交于點K.給出以下命題：直線MN平面PQR；點K在直線MN上；M，N，K，A四點共面其中正確結論的序號為_由題意知，MPQ，NRQ，KRP，從而點M，N，K平面PQR.所以直線MN平面PQR，故正確同理可得點M，N，K平面BCD.從而點M，N，K在平面PQR與平面BCD的交線上，即點K在直線MN上，故正確因為A直線MN，從而點M，N，K，A四點共面，故正確4如圖，在四棱錐O­ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M為OA的中點(1)求四棱錐O­ABCD的體積；(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值解(1)由已知可求得正方形ABCD的面積S4，所以四棱錐O­ABCD的體積V×4×2.(2)如圖，連接AC，設線段AC的中點為E，連接ME，DE，又M為OA中點，MEOC，則EMD(或其補角)為異面直線OC與MD所成的角，由已知可得DE，EM，MD，()2()2()2，即DE2EM2MD2，DEM為直角三角形，且DEM90°，tanEMD.異面直線OC與MD所成角的正切值為.5如圖，平面ABEF平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，BADFAB90°，BCAD，BEFA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(1)求證：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？解(1)證明：由題設知，F(xiàn)GGA，F(xiàn)HHD，所以GHAD.又BCAD，故GHBC.所以四邊形BCHG是平行四邊形(2)C，D，F(xiàn)，E四點共面理由如下：由BEFA，G是FA的中點知，BEGF，所以EFBG.由(1)知BGCH，所以EFCH，故EC，F(xiàn)H共面又點D在直線FH上，所以C，D，F(xiàn)，E四點共面1平面過正方體ABCD­A1B1C1D1的頂點A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為()A.B.C.D.A根據(jù)平面與平面平行的性質，將m，n所成的角轉化為平面CB1D1與平面ABCD的交線及平面CB1D1與平面ABB1A1的交線所成的角設平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1，m1m.又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1.B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可證CD1n.因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角在正方體ABCD­A1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為.2在長方體ABCD­A1B1C1D1中，ABBC1，AA1，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.B.C.D.C如圖，在長方體ABCD­A1B1C1D1的一側補上一個相同的長方體EFBA­E1F1B1A1.連接B1F，由長方體性質可知，B1FAD1，所以DB1F為異面直線AD1與DB1所成的角或其補角連接DF，由題意，得DF，F(xiàn)B12，DB1.在DFB1中，由余弦定理，得DF2FBDB2FB1·DB1cosDB1F，即5452×2××cosDB1F，cosDB1F.