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階段質量檢測（三） 不等式
(時間120分鐘 滿分150分)
一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全體實數(shù)的條件是( )
A. .
C. .
解析：選D 結合二次函數(shù)的圖象，可知若ax2＋bx＋c<0，則
2．不等式組所表示的平面區(qū)域是( )
解析：選D 不等式x－y＋5≥0表示的區(qū)域為直線x－y＋5＝0及其右下方的區(qū)域，不等式x＋y＋1>0表示的區(qū)域為直線x＋y＋1＝0右上方的區(qū)域，故不等式組表示的平面區(qū)域為選項D.
3．已知a
B．ab<1
C.>1 D．a2>b2
解析：選D 由ab2，故選D.
4．若－40.
∴f(x)＝－≤－1.
當且僅當x－1＝，即x＝0時等號成立．
5．已知關于x的不等式：|2x－m|≤1的整數(shù)解有且僅有一個值為2(其中m∈N*)，則關于x的不等式：|x－1|＋|x－3|≥m的解集為( )
A．(－∞，0] B．[4，＋∞)
C．(0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
解析：選D 由不等式|2x－m|≤1，可得≤x≤ ，
∵不等式的整數(shù)解為2，
∴≤2≤，解得 3≤m≤5.再由不等式僅有一個整數(shù)解2，∴m＝4.問題轉化為解不等式|x－1|＋|x－3|≥4，
當x≤1時，不等式為 1－x＋3－x≥4，解得 x≤0；
當1＜x≤3時，不等式為 x－1＋3－x≥4，解得x∈?.
當x＞3時，不等式為x－1＋x－3≥4，解得x≥4.
綜上，不等式解為(－∞，0]∪[4，＋∞)．故選D.
6．若關于x的不等式x2－4x－2－a>0在區(qū)間(1,4)內有解，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
解析：選A 令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，則不等式x2－4x－2－a>0在區(qū)間(1,4)內有解等價于a0，y>0，若不等式2log[(a－1)x＋ay]≤1＋log(xy)恒成立，則4a的最小值為( )
A. B.
C.＋2 D.＋
解析：選C 由于 2log [(a－1)x＋ay]≤1＋log(xy)得log [(a－1)x＋ay]≤＋log (xy)，即log [(a－1)x＋ay]≤log，所以(a－1)x＋ay≥，所以a≥，整理得a≥，令1＋＝t>1，則＝(t－1)，所以a≥＝＝，而≤＝，所以4a≥＋2.故選C.
二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．把答案填在題中橫線上)
9．已知函數(shù)f(x)＝，a∈R的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是______．
解析：函數(shù)f(x)＝，a∈R的定義域為R，所以|x＋1|＋|x－a|≥2恒成立，|x＋1|＋|x－a|幾何意義是數(shù)軸上的點到－1，a的距離的和，到－1，a的距離的和大于或等于2的a滿足a≤－3或a≥1.
答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)
10．若一次函數(shù)f(x)滿足f(f(x))＝x＋1，則f(x)＝________，g(x)＝(x>0)的值域為________．
解析：試題分析：由已知可設f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b，又因為f(f(x))＝x＋1，所以有?故有f(x)＝x＋；從而g(x)＝＝x＋＋1≥2＋1＝2，當且僅當x＝(x>0)即x＝時等號成立．故g(x)的值域為[2，＋∞)．
答案：x＋ [2，＋∞)
11．當x∈(1,2)時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則m的取值范圍是________．
解析：設f(x)＝x2＋mx＋4，要使x∈(1,2)時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．則有即解得m≤－5.
答案：(－∞，－5]
12．已知實數(shù)x，y滿足若此不等式組所表示的平面區(qū)域形狀為三角形，則m的取值范圍為________，如果目標函數(shù)z＝2x－y的最小值為－1，則實數(shù)m＝________.
解析：作出可行域如圖所示，由解得要使不等式組所表示的平面區(qū)域形狀為三角形，則點A(1,1)在直線x＋y＝m的左下方， 即1＋12.當目標函數(shù)z＝2x－y經過點B(1，m－1)時，z取得最小值－1，即2－(m－1)＝－1，所以m＝4.
答案：(2，＋∞) 4
13．若正實數(shù)x，y滿足xy＋x＋2y＝6，則xy的最大值為________，x＋y的最小值為________．
解析：因為6＝xy＋x＋2y≥xy＋2，所以(－)(＋3)≤0，≤，即xy≤2 ，所以xy的最大值為2.
由xy＋x＋2y＝6得x＝，0－5的解集為________．
解析：先解不等式f(t)>－5，即或解得t≤0或0－5的解集為(－∞，2)，所以要求解不等式f(x2－x)>－5的解集，只需求x2－x<2，解得－10)與曲線y＝x2＋相切，聯(lián)立?x2－4kx＋1＝0?Δ＝16k2－4＝0?k＝，所以∈?∈[1,2]，又＝＝1＋＝1＋，令t＝∈[1,2]，令f(t)＝＋＝t＋，t∈[1,2]，所以可知f(t)在[1，)上單調遞減；f(t)在 (，2]上單調遞增；所以f(t)max＝3，f(t)min＝2，所以的取值范圍為.
答案：[1,2]
三、解答題(本大題共5小題，共74分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
16．(14分)解下列不等式(組)：
(1)
(2)6－2x≤x2－3x<18.
解：(1)原不等式組可化為即00，解關于x的不等式f(x)≤0.
解：(1)當a＝時， 有不等式f(x)＝x2－x＋1≤0，
∴(x－2)≤0，∴≤x≤2，
即所求不等式的解集為.
(2)∵f(x)＝(x－a)≤0，a>0，且方程(x－a)＝0的兩根為x1＝a，x2＝，
∴當>a，即01時，不等式的解集為；
當＝a，即a＝1時，不等式的解集為{1}．
19．(15分)某公司計劃在2017年同時出售變頻空調和智能洗衣機，由于這兩種產品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據實際情況(如資金、勞動力)確定產品的月供應量，以使得總利潤最大．已知這兩種產品的直接限制因素是資金和勞動力，經調查，得到這兩種產品的有關數(shù)據如下表：
每臺產品所需資金(百元)
月投入資金(百元)
空調
洗衣機
成本
30
20
300
勞動力
(工資)
5
10
110
利潤
6
8
試問：怎樣確定兩種產品的月供應量，才能使總利潤最大？最大利潤是多少？
解：設空調、洗衣機的月供應量分別是x臺，y臺，總利潤是z百元，可得
即
目標函數(shù)為z＝6x＋8y.
作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．
由z＝6x＋8y得y＝－x＋，由圖可得，當直線經過可行域上的點M時，截距最大，即z最大．
解方程組得點M的坐標為(4,9)，滿足x，y∈N，
所以zmax＝64＋89＝96.
答：當空調的月供應量為4臺，洗衣機的月供應量為9臺時，可獲得最大利潤，最大利潤為9 600元．
20．(15分)如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B點在AM上，D點在AN上，且對角線MN過C點，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米．
(1)要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長度應在什么范圍內？
(2)當AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈担?
解：設AN的長為x米(x>2)，
由＝，得|AM|＝，
∴S矩形AMPN＝|AN||AM|＝.
(1)由S矩形AMPN>32，得>32，
又x>2，則3x2－32x＋64>0，解得28，
即AN長的取值范圍為∪(8，＋∞)．
(2)y＝＝
＝3(x－2)＋＋12
≥2＋12＝24，
當且僅當3(x－2)＝，即x＝4時，取等號，
∴當AN的長度是4米時，矩形AMPN的面積最小，最小值為24平方米．
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