2018屆高三數(shù)學一輪復習： 選修4-4 第1節(jié) 坐標系

選修44坐標系與參數(shù)方程第一節(jié)坐標系 考綱傳真1.理解坐標系的作用，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.2.了解極坐標的基本概念，會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化.3.能在極坐標系中給出簡單圖形表示的極坐標方程1平面直角坐標系中的坐標伸縮變換設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換：的作用下，點P(x，y)對應(yīng)到點P(x，y)，稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換2極坐標系與點的極坐標(1)極坐標系：如圖1所示，在平面內(nèi)取一個定點O(極點)，自極點O引一條射線Ox(極軸)；再選定一個長度單位，一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系圖1(2)極坐標：平面上任一點M的位置可以由線段OM的長度和從Ox到OM的角度來刻畫，這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對(，)稱為點M的極坐標其中稱為點M的極徑，稱為點M的極角3極坐標與直角坐標的互化點M直角坐標(x，y)極坐標(，)互化公式2x2y2tan (x0)4.圓的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點，半徑為r的圓r(02)圓心為(r,0)，半徑為r的圓2rcos_圓心為，半徑為r的圓2rsin_(00)5.直線的極坐標方程(1)直線l過極點，且極軸到此直線的角為，則直線l的極坐標方程是(R)(2)直線l過點M(a,0)且垂直于極軸，則直線l的極坐標方程為cos a.(3)直線過M且平行于極軸，則直線l的極坐標方程為sin_b(0)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)平面直角坐標系內(nèi)的點與坐標能建立一一對應(yīng)關(guān)系，在極坐標系中點與坐標也是一一對應(yīng)關(guān)系()(2)若點P的直角坐標為(1，)，則點P的一個極坐標是.()(3)在極坐標系中，曲線的極坐標方程不是唯一的()(4)極坐標方程(0)表示的曲線是一條直線()答案(1)×(2)(3)(4)×2(教材改編)若以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，則線段y1x(0x1)的極坐標方程為()A，0B，0Ccos sin ，0Dcos sin ，0Ay1x(0x1)，sin 1cos (0cos 1)，.3(教材改編)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系若曲線C的極坐標方程為2sin ，則曲線C的直角坐標方程為_x2y22y0由2sin ，得22sin .所以曲線C的直角坐標方程為x2y22y0.4已知直線l的極坐標方程為2sin，點A的極坐標為A，則點A到直線l的距離為_由2sin，得2，yx1.由A，得點A的直角坐標為(2，2)點A到直線l的距離d.5(2015·江蘇高考)已知圓C的極坐標方程為22sin40，求圓C的半徑解以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標系xOy.2分圓C的極坐標方程可化為2240，4分化簡，得22sin 2cos 40.6分則圓C的直角坐標方程為x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圓C的半徑為.10分平面直角坐標系中的伸縮變換將圓x2y21上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)直線l：2xy20與C的交點為P1，P2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程解(1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(x，y)，依題意，得2分由xy1得x221，故曲線C的方程為x21.5分(2)由解得或6分不妨設(shè)P1(1,0)，P2(0,2)，則線段P1P2的中點坐標為，所求直線斜率為k，8分于是所求直線方程為y1，化為極坐標方程，并整理得2cos 4sin 3，故所求直線的極坐標方程為.10分規(guī)律方法1.解答該類問題應(yīng)明確兩點：一是根據(jù)平面直角坐標系中的伸縮變換公式的意義與作用；二是明確變換前的點P(x，y)與變換后的點P(x，y)的坐標關(guān)系，利用方程思想求解2求交點坐標，得直線方程，最后化為極坐標方程，其實質(zhì)是將xcos ，ysin 代入轉(zhuǎn)化變式訓練1在平面直角坐標系中，已知伸縮變換： 【導學號：01772437】(1)求點A經(jīng)過變換所得點A的坐標；(2)求直線l：y6x經(jīng)過變換后所得直線l的方程解(1)設(shè)點A(x，y)，由伸縮變換：得2分x×31，y1.點A的坐標為(1，1).5分(2)設(shè)P(x，y)是直線l上任意一點由伸縮變換：得8分代入y6x，得2y6·2x，yx為所求直線l的方程.10分極坐標與直角坐標的互化(2015·全國卷)在直角坐標系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系(1)求C1，C2的極坐標方程；(2)若直線C3的極坐標方程為(R)，設(shè)C2與C3的交點為M，N，求C2MN的面積解(1)因為xcos ，ysin ，所以C1的極坐標方程為cos 2，C2的極坐標方程為22cos 4sin 40.4分(2)將代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.8分故12，即|MN|.由于C2的半徑為1，所以C2MN的面積為.10分遷移探究1若本例條件不變，求直線C1與C2的交點的極坐標解聯(lián)立方程解得且2.6分所以交點的極坐標為.10分遷移探究2本例條件不變，求圓C2關(guān)于極點的對稱圓的方程解因為點(，)與點(，)關(guān)于極點對稱，設(shè)點(，)為對稱圓上任意一點，則(，)在圓C2上，所以()22cos 4sin 40.6分故所求圓C2關(guān)于極點的對稱圓的方程為x2y22x4y40.10分規(guī)律方法1.進行極坐標方程與直角坐標方程互化的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用互化公式：xcos ，ysin ，2x2y2，tan (x0)2進行極坐標方程與直角坐標方程互化時，要注意，的取值范圍及其影響；要善于對方程進行合理變形，并重視公式的逆向與變形使用；要靈活運用代入法和平方法等方法變式訓練2(2016·北京高考改編)在極坐標系中，已知極坐標方程C1：cos sin 10，C2：2cos .(1)求曲線C1，C2的直角坐標方程，并判斷兩曲線的形狀；(2)若曲線C1，C2交于A，B兩點，求兩交點間的距離解(1)由C1：cos sin 10，xy10，表示一條直線.2分由C2：2cos ，得22cos ，x2y22x，則(x1)2y21.C2是圓心為(1,0)，半徑r1的圓.4分(2)由(1)知點(1,0)在直線xy10上，因此直線C1過圓C2的圓心.6分兩交點A，B的連線段是圓C2的直徑因此兩交點A，B間的距離|AB|2r2.10分直線與圓的極坐標方程的應(yīng)用(2016·全國卷)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：4cos .(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；(2)直線C3的極坐標方程為0，其中0滿足tan 02，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a.解(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2(y1)2a2，則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓.2分將xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為22sin 1a20.4分(2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組若0，由方程組得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，得16cos28sin cos 0，8分從而1a20，解得a1(舍去)或a1.當a1時，極點也為C1，C2的公共點，且在C3上所以a1.10分規(guī)律方法1.第(1)問將曲線C1的參數(shù)方程先化為普通方程，再化為極坐標方程，考查學生的化歸與轉(zhuǎn)化能力第(2)問中關(guān)鍵是理解極坐標方程，有意識地將問題簡單化，進而求解2由極坐標方程求曲線交點、距離等幾何問題時，如果不能直接用極坐標方程解決，可先轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，然后求解變式訓練3(2017·太原市質(zhì)檢)已知曲線C1：xy和C2：(為參數(shù))以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且兩種坐標系中取相同的長度單位(1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標方程；(2)設(shè)C1與x，y軸交于M，N兩點，且線段MN的中點為P.若射線OP與C1，C2交于P，Q兩點，求P，Q兩點間的距離解(1)曲線C1化為cos sin .sin.2分曲線C2化為1.(*)將xcos ，ysin 代入(*)式得cos2sin21，即2(cos23sin2)6.曲線C2的極坐標方程為2.4分(2)M(，0)，N(0,1)，P，OP的極坐標方程為，6分把代入sin得11，P.把代入2得22，Q.8分|PQ|21|1，即P，Q兩點間的距離為1.10分思想與方法1曲線的極坐標方程與直角坐標方程互化：對于簡單的可以直接代入公式cos x，sin y，2x2y2，但有時需要作適當?shù)淖兓?，如將式子的兩邊同時平方，兩邊同乘以等2確定極坐標方程的四要素：極點、極軸、長度單位、角度單位及其正方向，四者缺一不可易錯與防范1平面上點的直角坐標的表示形式是唯一的，但點的極坐標的表示形式不唯一極坐標與P點之間不是一一對應(yīng)的，所以我們又規(guī)定0,02，來使平面上的點與它的極坐標之間是一一對應(yīng)的，但仍然不包括極點2進行極坐標方程與直角坐標方程互化時，應(yīng)注意兩點：(1)注意，的取值范圍及其影響(2)重視方程的變形及公式的正用、逆用、變形使用