2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 選修4-4 第1節(jié) 坐標(biāo)系

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1、選修44坐標(biāo)系與參數(shù)方程第一節(jié)坐標(biāo)系 考綱傳真1.理解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.2.了解極坐標(biāo)的基本概念，會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.3.能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形表示的極坐標(biāo)方程1平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P(x，y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換2極坐標(biāo)系與點(diǎn)的極坐標(biāo)(1)極坐標(biāo)系：如圖1所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O(極點(diǎn))，自極點(diǎn)O引一條射線Ox(極軸)；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位，一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常

2、取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系圖1(2)極坐標(biāo)：平面上任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長(zhǎng)度和從Ox到OM的角度來(lái)刻畫，這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(duì)(，)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo)其中稱為點(diǎn)M的極徑，稱為點(diǎn)M的極角3極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化點(diǎn)M直角坐標(biāo)(x，y)極坐標(biāo)(，)互化公式2x2y2tan (x0)4.圓的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓r(02)圓心為(r,0)，半徑為r的圓2rcos_圓心為，半徑為r的圓2rsin_(00)5.直線的極坐標(biāo)方程(1)直線l過(guò)極點(diǎn)，且極軸到此直線的角為，則直線l的極坐標(biāo)方程是(R)(2)直線l過(guò)點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸，則直線l的極坐標(biāo)方程

3、為cos a.(3)直線過(guò)M且平行于極軸，則直線l的極坐標(biāo)方程為sin_b(0)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在極坐標(biāo)系中點(diǎn)與坐標(biāo)也是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系()(2)若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，)，則點(diǎn)P的一個(gè)極坐標(biāo)是.()(3)在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程不是唯一的()(4)極坐標(biāo)方程(0)表示的曲線是一條直線()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y1x(0x1)的極坐標(biāo)方程為()A，0B，0Ccos sin ，0Dcos sin ，0Ay1x(

4、0x1)，sin 1cos (0cos 1)，.3(教材改編)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系若曲線C的極坐標(biāo)方程為2sin ，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為_(kāi)x2y22y0由2sin ，得22sin .所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0.4已知直線l的極坐標(biāo)方程為2sin，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為A，則點(diǎn)A到直線l的距離為_(kāi)由2sin，得2，yx1.由A，得點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(2，2)點(diǎn)A到直線l的距離d.5(2015江蘇高考)已知圓C的極坐標(biāo)方程為22sin40，求圓C的半徑解以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy.2

5、分圓C的極坐標(biāo)方程可化為2240，4分化簡(jiǎn)，得22sin 2cos 40.6分則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圓C的半徑為.10分平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換將圓x2y21上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)直線l：2xy20與C的交點(diǎn)為P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程解(1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(diǎn)(x，y)，依題意，得2分由xy1得x221，故曲線C的方程為x21.5分(2)由解得或6分不妨

6、設(shè)P1(1,0)，P2(0,2)，則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所求直線斜率為k，8分于是所求直線方程為y1，化為極坐標(biāo)方程，并整理得2cos 4sin 3，故所求直線的極坐標(biāo)方程為.10分規(guī)律方法1.解答該類問(wèn)題應(yīng)明確兩點(diǎn)：一是根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換公式的意義與作用；二是明確變換前的點(diǎn)P(x，y)與變換后的點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)關(guān)系，利用方程思想求解2求交點(diǎn)坐標(biāo)，得直線方程，最后化為極坐標(biāo)方程，其實(shí)質(zhì)是將xcos ，ysin 代入轉(zhuǎn)化變式訓(xùn)練1在平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換： 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772437】(1)求點(diǎn)A經(jīng)過(guò)變換所得點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求直線l：y6x經(jīng)過(guò)變換后所得直線l的方

7、程解(1)設(shè)點(diǎn)A(x，y)，由伸縮變換：得2分x31，y1.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，1).5分(2)設(shè)P(x，y)是直線l上任意一點(diǎn)由伸縮變換：得8分代入y6x，得2y62x，yx為所求直線l的方程.10分極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化(2015全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為(R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求C2MN的面積解(1)因?yàn)閤cos ，ysin ，所以C1的極坐標(biāo)方程為cos 2，C2的極坐標(biāo)方程為22cos 4sin 40.4分(2)將

8、代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.8分故12，即|MN|.由于C2的半徑為1，所以C2MN的面積為.10分遷移探究1若本例條件不變，求直線C1與C2的交點(diǎn)的極坐標(biāo)解聯(lián)立方程解得且2.6分所以交點(diǎn)的極坐標(biāo)為.10分遷移探究2本例條件不變，求圓C2關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱圓的方程解因?yàn)辄c(diǎn)(，)與點(diǎn)(，)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)(，)為對(duì)稱圓上任意一點(diǎn)，則(，)在圓C2上，所以()22cos 4sin 40.6分故所求圓C2關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱圓的方程為x2y22x4y40.10分規(guī)律方法1.進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用互化公式：xcos ，ysin ，2x2y2，tan (x

9、0)2進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時(shí)，要注意，的取值范圍及其影響；要善于對(duì)方程進(jìn)行合理變形，并重視公式的逆向與變形使用；要靈活運(yùn)用代入法和平方法等方法變式訓(xùn)練2(2016北京高考改編)在極坐標(biāo)系中，已知極坐標(biāo)方程C1：cos sin 10，C2：2cos .(1)求曲線C1，C2的直角坐標(biāo)方程，并判斷兩曲線的形狀；(2)若曲線C1，C2交于A，B兩點(diǎn)，求兩交點(diǎn)間的距離解(1)由C1：cos sin 10，xy10，表示一條直線.2分由C2：2cos ，得22cos ，x2y22x，則(x1)2y21.C2是圓心為(1,0)，半徑r1的圓.4分(2)由(1)知點(diǎn)(1,0)在直線xy10上，因

10、此直線C1過(guò)圓C2的圓心.6分兩交點(diǎn)A，B的連線段是圓C2的直徑因此兩交點(diǎn)A，B間的距離|AB|2r2.10分直線與圓的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用(2016全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a0)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：4cos .(1)說(shuō)明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為0，其中0滿足tan 02，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.解(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2(y1)2a2，則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓.2分將xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1

11、的極坐標(biāo)方程為22sin 1a20.4分(2)曲線C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組若0，由方程組得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，得16cos28sin cos 0，8分從而1a20，解得a1(舍去)或a1.當(dāng)a1時(shí)，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，且在C3上所以a1.10分規(guī)律方法1.第(1)問(wèn)將曲線C1的參數(shù)方程先化為普通方程，再化為極坐標(biāo)方程，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力第(2)問(wèn)中關(guān)鍵是理解極坐標(biāo)方程，有意識(shí)地將問(wèn)題簡(jiǎn)單化，進(jìn)而求解2由極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離等幾何問(wèn)題時(shí)，如果不能直接用極坐標(biāo)方程解決，可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后求解變式訓(xùn)練3(2017太原市質(zhì)

12、檢)已知曲線C1：xy和C2：(為參數(shù))以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位(1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)C1與x，y軸交于M，N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)為P.若射線OP與C1，C2交于P，Q兩點(diǎn)，求P，Q兩點(diǎn)間的距離解(1)曲線C1化為cos sin .sin.2分曲線C2化為1.(*)將xcos ，ysin 代入(*)式得cos2sin21，即2(cos23sin2)6.曲線C2的極坐標(biāo)方程為2.4分(2)M(，0)，N(0,1)，P，OP的極坐標(biāo)方程為，6分把代入sin得11，P.把代入2得22，Q.8分|PQ|21|1，即

13、P，Q兩點(diǎn)間的距離為1.10分思想與方法1曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化：對(duì)于簡(jiǎn)單的可以直接代入公式cos x，sin y，2x2y2，但有時(shí)需要作適當(dāng)?shù)淖兓鐚⑹阶拥膬蛇呁瑫r(shí)平方，兩邊同乘以等2確定極坐標(biāo)方程的四要素：極點(diǎn)、極軸、長(zhǎng)度單位、角度單位及其正方向，四者缺一不可易錯(cuò)與防范1平面上點(diǎn)的直角坐標(biāo)的表示形式是唯一的，但點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一極坐標(biāo)與P點(diǎn)之間不是一一對(duì)應(yīng)的，所以我們又規(guī)定0,02，來(lái)使平面上的點(diǎn)與它的極坐標(biāo)之間是一一對(duì)應(yīng)的，但仍然不包括極點(diǎn)2進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)注意，的取值范圍及其影響(2)重視方程的變形及公式的正用、逆用、變形使用