高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第9章 第1節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 Word版含解析

全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式高考在本章一般命制12道小題，1道解答題，分值占2024分2.考查內(nèi)容(1)對直線方程、圓及圓錐曲線的概念和性質(zhì)的考查一般以選擇題或填空題為主，重在考查學(xué)生的雙基(2)對直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查，常以定點問題、最值問題及探索性問題為載體，重在考查等價轉(zhuǎn)化思想、方程思想及數(shù)學(xué)運算能力3.備考策略從2019年高考試題可以看出，高考對圓錐曲線的考查在注重基礎(chǔ)、突出轉(zhuǎn)化能力的同時運算量有所減小.第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程最新考綱1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3.掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的三種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系1直線的傾斜角(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸交的直線l，把x軸(正方向)按逆時針方向繞著交點旋轉(zhuǎn)到和直線l重合所成的角，叫做直線l的傾斜角，當(dāng)直線l與x軸平行時，它的傾斜角為0.(2)范圍：直線l傾斜角的取值范圍是0，)2斜率公式(1)直線l的傾斜角為90°，則斜率ktan_.當(dāng)90°時，直線斜率不存在(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1x2，則l的斜率k.3直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式y(tǒng)y0k(xx0)不含直線xx0斜截式y(tǒng)kxb不含垂直于x軸的直線兩點式不含直線xx1(x1x2)和直線yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線一般式AxByC0(A2B20)平面內(nèi)所有直線都適用1直線的斜率k和傾斜角之間的函數(shù)關(guān)系如圖，當(dāng)時，斜率k0，)；當(dāng)時，斜率不存在；當(dāng)時，斜率k(，0)2求直線方程時要注意判斷直線斜率是否存在；每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存在斜率3截距為一個實數(shù)，既可以為正數(shù)，也可以為負(fù)數(shù)，還可以為0，這是解題時容易忽略的一點一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)直線的斜率為tan ，則其傾斜角為.()(2)直線的傾斜角越大，其斜率就越大()(3)過定點P0(x0，y0)的直線都可用方程yy0k(xx0)表示()(4)經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)×(2)×(3)×(4)二、教材改編1已知兩點A(3，)，B(，1)，則直線AB的斜率是()A.BC. DDkAB，故選D.2過點(1,2)且傾斜角為30°的直線方程為()A.x3y60B.x3y60C.x3y60D.x3y60A直線的斜率ktan 30°.由點斜式方程得y2(x1)，即x3y60，故選A.3如果AC0且BC0，那么直線AxByC0不通過()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限C法一：由AxByC0得yx.又AC0，BC0，故AB0，從而0，0，故直線不通過第三象限故選C.法二：取AB1，C1，則直線xy10，其不過第三象限，故選C.4過點M(3，4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為_4x3y0或xy10若直線過原點，則k，所以yx，即4x3y0.若直線不過原點，設(shè)1，即xya，則a3(4)1，所以直線方程為xy10. 考點1直線的傾斜角與斜率求傾斜角的取值范圍的一般步驟(1)求出斜率ktan 的取值范圍(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖像，確定傾斜角的取值范圍提醒：求傾斜角時要注意斜率是否存在(1)直線2xcos y30的傾斜角的取值范圍是()A.B.C. D.(2)直線l過點P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為_(1)B(2)(，1，)(1)直線2xcos y30的斜率k2cos .由于，所以cos ，因此k2cos 1，設(shè)直線的傾斜角為，則有tan 1，由于0，)，所以，即傾斜角的取值范圍是.(2)如圖，kAP1，kBP，要使過點P的直線l與線段AB有公共點，只需k1或k，即直線l斜率的取值范圍為(，1，)母題探究1若將本例(2)中P(1,0)改為P(1,0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍解P(1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP，kBP.如圖可知，直線l斜率的取值范圍為.2若將本例(2)中的B點坐標(biāo)改為B(2，1)，其他條件不變，求直線l傾斜角的范圍解如圖，直線PA的傾斜角為45°，直線PB的傾斜角為135°，由圖像知l的傾斜角的范圍為0°，45°135°，180°)(1)解決直線的傾斜角與斜率問題，常采用數(shù)形結(jié)合思想；(2)根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時，要分與兩種情況討論1.若平面內(nèi)三點A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a等于()A.1±或0 B.或0C. D.或0A平面內(nèi)三點A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，kABkAC，即，即a(a22a1)0，解得a0或a1±.故選A.2直線l經(jīng)過A(3,1)，B(2，m2)(mR)兩點，則直線l的傾斜角的取值范圍是_直線l的斜率k1m21，所以ktan 1.又ytan 在上是增函數(shù)，因此<.考點2直線方程的求法求直線方程的2種方法(1)直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程，選擇時，應(yīng)注意各種形式的方程的適用范圍，必要時要分類討論(2)待定系數(shù)法：即設(shè)定含有參數(shù)的直線方程，由條件列出方程(組)，再求出參數(shù)，最后將其代入直線方程求適合下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過點P(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；(2)過點A(1，3)，斜率是直線y3x的斜率的；(3)過點A(1，1)與已知直線l1：2xy60相交于B點且|AB|5.解(1)法一：設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a0，即l過點(0,0)和(3,2)，l的方程為yx，即2x3y0.若a0，則設(shè)l的方程為1，l過點(3,2)，1，a5，l的方程為xy50，綜上可知，直線l的方程為2x3y0或xy50.法二：由題意，所求直線的斜率k存在且k0，設(shè)直線方程為y2k(x3)，令y0，得x3，令x0，得y23k，由已知323k，解得k1或k，直線l的方程為y2(x3)或y2(x3)，即xy50或2x3y0.(2)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k×3.又直線經(jīng)過點A(1，3)，因此所求直線方程為y3(x1)，即3x4y150.(3)過點A(1，1)與y軸平行的直線為x1.解方程組求得B點坐標(biāo)為(1,4)，此時|AB|5，即x1為所求設(shè)過A(1，1)且與y軸不平行的直線為y1k(x1)，解方程組得兩直線交點為(k2，否則與已知直線平行)則B點坐標(biāo)為.由已知2252，解得k，y1(x1)，即3x4y10.綜上可知，所求直線的方程為x1或3x4y10.求直線方程應(yīng)注意2點(1)對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運用(若采用點斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)判斷截距是否為零)(2)截距可正、可負(fù)、可為0，因此在解與截距有關(guān)的問題時，一定要注意“截距為0”的情況，以防漏解教師備選例題求適合下列條件的直線的方程：(1)在y軸上的截距為5，傾斜角的正弦值是；(2)經(jīng)過點(，3)，且傾斜角為直線xy10的傾斜角的一半；(3)直線過點(5,10)，且到原點的距離為5.解(1)設(shè)直線的傾斜角為，則sin .cos ±，直線的斜率ktan ±.又直線在y軸上的截距是5，由斜截式得直線方程為y±x5.即3x4y200或3x4y200.(2)由xy10得此直線的斜率為，所以傾斜角為120°，從而所求直線的傾斜角為60°，故所求直線的斜率為.又過點(，3)，所以所求直線方程為y3(x)，即xy60.(3)由題意知，當(dāng)直線的斜率不存在時符合題意，此時直線方程為x50.當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)其方程為y10k(x5)，即kxy(105k)0.由點到直線的距離公式，得5，解得k.此時直線方程為3x4y250.綜上知，所求直線方程為x50或3x4y250.已知ABC的三個頂點分別為A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC邊所在直線的方程；(2)BC邊上中線AD所在直線的方程； (3)BC邊的垂直平分線DE的方程解(1)因為直線BC經(jīng)過B(2,1)和C(2,3)兩點，得BC的方程為，即x2y40.(2)設(shè)BC邊的中點D(x，y)，則x0，y2.BC邊的中線AD過A(3,0)，D(0,2)兩點，所在直線方程為1，即2x3y60.(3)由(1)知，直線BC的斜率k1，則直線BC的垂直平分線DE的斜率k22.由(2)知，點D的坐標(biāo)為(0,2)所求直線方程為y22(x0)，即2xy20.考點3直線方程的綜合應(yīng)用處理直線方程綜合應(yīng)用的2大策略(1)求解與直線方程有關(guān)的最值問題，先求出斜率或設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值(2)含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過定點的直線系，即能夠看出“動中有定”(1)已知直線l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，當(dāng)0<a<2時，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時，則a_.(2)過點P(4,1)作直線l分別交x軸，y軸正半軸于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點當(dāng)AOB面積最小時，求直線l的方程；當(dāng)|OA|OB|取最小值時，求直線l的方程(1)由題意知直線l1，l2恒過定點(2,2)，直線l1的縱截距為2a，直線l2的橫截距為a22，所以四邊形的面積S×2×(2a)×2×(a22)a2a42，又0<a<2，所以當(dāng)a時，面積最小(2)解設(shè)直線l：1(a0，b0)，因為直線l經(jīng)過點P(4,1)，所以1.12，所以ab16，當(dāng)且僅當(dāng)a8，b2時等號成立，所以當(dāng)a8，b2時，AOB的面積最小，此時直線l的方程為1，即x4y80.因為1，a0，b0，所以|OA|OB|ab(ab)552 9，當(dāng)且僅當(dāng)a6，b3時等號成立，所以當(dāng)|OA|OB|取最小值時，直線l的方程為1，即x2y60.本例(2)借助直線方程間接給出等量關(guān)系“1”，在求最值中基本不等式起了“穿針引線”的作用1.設(shè)mR，過定點A的動直線xmy0和過定點B的動直線mxym30交于點P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是_5由動直線xmy0求得定點A(0,0)，動直線mxym30，即y3m(x1)，所以得定點B(1,3)當(dāng)m0時，兩條動直線垂直，當(dāng)m0時，因為·m1，所以兩條動直線也垂直，因為P為直線xmy0與mxym30的交點，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|·|PB|5(當(dāng)且僅當(dāng)|PA|PB|時，等號成立)，所以|PA|·|PB|的最大值是5.2已知直線l過點M(2,1)，且與x軸、y軸的正半軸分別相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則當(dāng)|·|取得最小值時直線l的方程為_xy30設(shè)A(a,0)，B(0，b)，則a>0，b>0，直線l的方程為1，所以1.|·|·(a2，1)·(2，b1)2(a2)b12ab5(2ab)54，當(dāng)且僅當(dāng)ab3時取等號，此時直線l的方程為xy30.