大學(xué)物理：第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

第第 2 頁頁第二節(jié)第二節(jié) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述一、參考系一、參考系 坐標(biāo)系坐標(biāo)系 參考系（參考系（Reference Frame） ：確定一個(gè)物體的位置總是相對于某一物體或某一物體系來確定，那確定一個(gè)物體的位置總是相對于某一物體或某一物體系來確定，那么這么這物體或物體系就作為描述物體位置的基準(zhǔn)，稱為參考系。物體或物體系就作為描述物體位置的基準(zhǔn)，稱為參考系。 坐標(biāo)系（坐標(biāo)系（Coordinates） ：確定了參考系后，為了能夠定量地描確定了參考系后，為了能夠定量地描述一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，必需在選定的參述一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，必需在選定的參考系上建立一個(gè)合適的坐標(biāo)系考系上建立一個(gè)合適的坐標(biāo)系 。常見。常見的坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、自然坐標(biāo)系、的坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、自然坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系等。球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系等。參考系參考系rzyxo第第 3 頁頁二、質(zhì)點(diǎn)二、質(zhì)點(diǎn) 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系 質(zhì)點(diǎn)（質(zhì)點(diǎn)（Particle）: :將宏觀物理抽象為只有質(zhì)量而不計(jì)大小、形狀的將宏觀物理抽象為只有質(zhì)量而不計(jì)大小、形狀的點(diǎn)（粒子），是力學(xué)中的一個(gè)重要的理想模型。點(diǎn)（粒子），是力學(xué)中的一個(gè)重要的理想模型。質(zhì)點(diǎn)系（質(zhì)點(diǎn)系（Particle System）：很多質(zhì)點(diǎn)按一定規(guī)律組成的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)）：很多質(zhì)點(diǎn)按一定規(guī)律組成的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)。通過描述質(zhì)點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)。通過描述質(zhì)點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，從而了解整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)運(yùn)動(dòng)情況，從而了解整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)（求和，積分）。動(dòng)（求和，積分）。地球的運(yùn)動(dòng)：地球的運(yùn)動(dòng)：公轉(zhuǎn)：質(zhì)點(diǎn)模型公轉(zhuǎn)：質(zhì)點(diǎn)模型自轉(zhuǎn)：質(zhì)點(diǎn)系模型自轉(zhuǎn)：質(zhì)點(diǎn)系模型第第 4 頁頁三、位置矢量（三、位置矢量（Position Vector）位矢用坐標(biāo)值表示為：位矢用坐標(biāo)值表示為：k zj yi xr222zyxrcos, cos, cosxyzrrr從坐標(biāo)原點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)o出發(fā)，指向質(zhì)點(diǎn)所在位置出發(fā)，指向質(zhì)點(diǎn)所在位置 P 的一有向線段。的一有向線段。 P(x,y,z)rzyxo第第 5 頁頁運(yùn)動(dòng)方程（運(yùn)動(dòng)方程（Motion Equation）：）：( )( )( )( )r tx t iy t jz t k矢量形式：矢量形式：參數(shù)形式：參數(shù)形式：( )( )( )xx tyy tzz t軌道方程（軌道方程（ Track Equation ）：）：( , , ) 0( , , ) 0F x y zG x y z消去時(shí)間消去時(shí)間參數(shù)（參數(shù)（t）第第 6 頁頁tx225ty245xy00trjti tr252 SI jirt521 m 第第 7 頁頁第三節(jié)第三節(jié) 質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度一、位移（一、位移（Displacement）zyxo設(shè)質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)設(shè)質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)t 時(shí)刻位于時(shí)刻位于A點(diǎn)，位矢點(diǎn)，位矢t t時(shí)刻位于時(shí)刻位于B點(diǎn)，位矢點(diǎn)，位矢( )r t()r tt在在 t時(shí)間內(nèi)，時(shí)間內(nèi)，位矢的變化量位矢的變化量（即（即A到到B的有向線段）稱為的有向線段）稱為位移位移；而；而A到到B路徑的長度路徑的長度 s稱為稱為路程路程。()( )rr ttr t r(t)r(tt)rAB s顯然：顯然：rs 第第 8 頁頁在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中kzj yi xr222zyxrkzzjyyixxABABABABrrr第第 9 頁頁二、速度（二、速度（Velocity）平均速度：刻畫速度平均速度：刻畫速度 t 時(shí)間內(nèi)平均變化率時(shí)間內(nèi)平均變化率在在 t 時(shí)間內(nèi)發(fā)生位移時(shí)間內(nèi)發(fā)生位移r則平均速度：則平均速度：rvt瞬時(shí)速度：刻畫瞬時(shí)速度：刻畫t 時(shí)刻速度的即時(shí)變化率時(shí)刻速度的即時(shí)變化率0ddlimtrrvtt 顯然，顯然，v 和和 r(t) 曲線的斜率有一一對應(yīng)關(guān)系！曲線的斜率有一一對應(yīng)關(guān)系！oABr(t)r(tt)rBBddtr第第 10 頁頁速度在直角坐標(biāo)系中的解析表示：速度在直角坐標(biāo)系中的解析表示：d ( )d ( )d ( )dddx ty tz tvijkttt( )( )( )( )r tx t iy t jz t kd ( )dd ( )dd ( )dxyzx tvty tvtz tvt222222d ( )d ( )d ( )dddxyzx ty tz tvvvvttt第第 11 頁頁jti tr252 SI jtidtrdv 102 m/s 1021jivt第第 12 頁頁 srBA在在 t 時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過路程路程 s對時(shí)間的對時(shí)間的變化率變化率svt平均速率：平均速率：瞬時(shí)速率：瞬時(shí)速率：0ddlimtssvtt 一般情況：一般情況： rsvv ，當(dāng)當(dāng) t0時(shí)：時(shí)：d , d , dd , rrssrsvv o第第 13 頁頁三、加速度（三、加速度（Acceleration）t1時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)位于時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)位于A處，速度為處，速度為v(t)t2時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)位于時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)位于A處，速度為處，速度為v(t+ t) t時(shí)間內(nèi)，速度增量為：時(shí)間內(nèi)，速度增量為：平均加速度：平均加速度：當(dāng)當(dāng) t0時(shí)，平均加速度的極限即為時(shí)，平均加速度的極限即為瞬時(shí)加速度瞬時(shí)加速度：ov(t)v(t+t)r(t)r(tt)ABvv(tt)v(t) ()( )ttttt vvva220()( )ddlimddttttttt vvvravv(t)v(t+t)第第 14 頁頁加速度在直角坐標(biāo)系中的解析表示：加速度在直角坐標(biāo)系中的解析表示：222222d( )dd( )d( )d( )d( )d( )dddddddyxzvtv tv tx ty tz tijkijktttttttva222222d( )d( )ddd( )d( )ddd( )d( )ddxxyyzzv tx tattvty tattv tz tatt222222d( )d( )d( )dddyxzxyzvtv tv taaaattt第第 15 頁頁jti tr252 SI jtidtrdv 102 m/s 10 jdtvda第第 16 頁頁第四節(jié)第四節(jié) 質(zhì)點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)一、平面自然坐標(biāo)系（一、平面自然坐標(biāo)系（Natural System of Coordinates） so nQ平面自然坐標(biāo)系平面自然坐標(biāo)系“自然地自然地”選取坐標(biāo)曲線上的切向和法向?yàn)榛?。選取坐標(biāo)曲線上的切向和法向?yàn)榛浮Ｇ邢蚧盖邢蚧?，它的方向是質(zhì)點(diǎn)所在處的軌道曲線的切向并沿質(zhì)點(diǎn)前，它的方向是質(zhì)點(diǎn)所在處的軌道曲線的切向并沿質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)的方向。另一個(gè)法向基矢進(jìn)的方向。另一個(gè)法向基矢 ，沿軌道曲線在該點(diǎn)處的法向并指向，沿軌道曲線在該點(diǎn)處的法向并指向曲線凹的一側(cè)曲線凹的一側(cè) 。 n“自然坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系”就是直接選取沿著就是直接選取沿著軌道曲線的坐標(biāo)系。選定該曲線上軌道曲線的坐標(biāo)系。選定該曲線上一個(gè)定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)一個(gè)定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)o，以曲線上某，以曲線上某點(diǎn)到原點(diǎn)點(diǎn)到原點(diǎn)o之間的曲線長度也即弧長之間的曲線長度也即弧長s為坐標(biāo)參量，并規(guī)定自原點(diǎn)向質(zhì)點(diǎn)為坐標(biāo)參量，并規(guī)定自原點(diǎn)向質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向的一側(cè)運(yùn)動(dòng)方向的一側(cè)s為正，另一側(cè)為正，另一側(cè)s為負(fù)。為負(fù)。 P s n第第 17 頁頁二、速度和加速度在自然坐標(biāo)系中的解析表示二、速度和加速度在自然坐標(biāo)系中的解析表示 s ABBABCrddsrdd,ddsttrv22ddddddddddddnssvvaa nttttttva無限小位移無限小位移dr沿曲線切向基矢沿曲線切向基矢 的方向的方向 ，故：，故：1, sr,sr 00d1limlimdttsvtttrr 在軌道上取非常接近的兩點(diǎn)在軌道上取非常接近的兩點(diǎn)A、B，這兩點(diǎn)間弧長，這兩點(diǎn)間弧長 s足夠小，以致足夠小，以致可以看作是一段圓?。▽?shí)際為可以看作是一段圓?。▽?shí)際為A處的曲率圓的一部分）。那么處的曲率圓的一部分）。那么A、B兩點(diǎn)的法線的交點(diǎn)兩點(diǎn)的法線的交點(diǎn)C就是這段圓弧的圓心。我們稱就是這段圓弧的圓心。我們稱C為為A點(diǎn)處曲線的點(diǎn)處曲線的曲率中心。曲率中心。C、A間的距離為間的距離為r r，稱為曲線在，稱為曲線在A點(diǎn)處的曲率半徑。點(diǎn)處的曲率半徑。 的方向指向曲率中心。的方向指向曲率中心。ddt第第 18 頁頁2ddnvvntraaa因此在自然坐標(biāo)系中，加速度可以表示為：因此在自然坐標(biāo)系中，加速度可以表示為：2ddnvatvarr r 的倒數(shù)通常稱為曲線的曲率。如果平面曲線用方程的倒數(shù)通常稱為曲線的曲率。如果平面曲線用方程 yy(x) 來表來表示，由高等數(shù)學(xué)的知識可知，曲線上某點(diǎn)的曲率可以表示為：示，由高等數(shù)學(xué)的知識可知，曲線上某點(diǎn)的曲率可以表示為：2 3/2( )11( ) y xy xr第第 19 頁頁速度：速度：dtdsdtrdv速率：速率：dtdsv 2ndvvaaandtr加速度：加速度：dvadt切向加速度切向加速度 切向加速度反映速度大小的變化切向加速度反映速度大小的變化 其方向沿軌道切線方向其方向沿軌道切線方向法向加速度法向加速度nvanr2 法向加速度反映速度方向的變化法向加速度反映速度方向的變化 其方向沿法線方向，指向曲率中心其方向沿法線方向，指向曲率中心總加速度的大?。嚎偧铀俣鹊拇笮。?2naaa總加速度的方向：總加速度的方向：arctannaaana第第 20 頁頁圓周運(yùn)動(dòng)是一般曲線運(yùn)動(dòng)的一個(gè)特例，曲率半徑恒為圓周運(yùn)動(dòng)是一般曲線運(yùn)動(dòng)的一個(gè)特例，曲率半徑恒為r。dtdva rvan20arvaan2第第 21 頁頁設(shè)：質(zhì)點(diǎn)作半徑為設(shè)：質(zhì)點(diǎn)作半徑為 r 的圓周運(yùn)動(dòng)的圓周運(yùn)動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)所在的位矢質(zhì)點(diǎn)所在的位矢與與 x 軸的夾角軸的夾角 角位移角位移：角位置角位置 ：質(zhì)點(diǎn)從質(zhì)點(diǎn)從A到到B位位矢轉(zhuǎn)過的角度矢轉(zhuǎn)過的角度規(guī)定：規(guī)定： 逆時(shí)針轉(zhuǎn)向逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎秊檎槙r(shí)針轉(zhuǎn)向順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)為負(fù)角速度角速度 ：)srad(10limdtdtt角加速度：角加速度：)srad(20limdtdttRB sxoA 第第 22 頁頁02022000221tttra rs dsdvrdtdt22rrvandvdardtdtrv 2ran第第 23 頁頁1、已知運(yùn)動(dòng)方程，求質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻的位置、速、已知運(yùn)動(dòng)方程，求質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻的位置、速度以及加速度度以及加速度 22dtrddtvdadtrdvtrr2、已知運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度函數(shù)（或加速度函數(shù)）、已知運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度函數(shù)（或加速度函數(shù)）以及初始條件求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程以及初始條件求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程ttvvdtavddtavd00,ttrrdtvrddtvrd00,第第 24 頁頁第五節(jié)第五節(jié) 運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類問題運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類問題一、運(yùn)動(dòng)學(xué)的第一類問題一、運(yùn)動(dòng)學(xué)的第一類問題第一類問題是已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程第一類問題是已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程rr(t)，求任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位矢、，求任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位矢、速度和加速度，這主要是進(jìn)行微分運(yùn)算。速度和加速度，這主要是進(jìn)行微分運(yùn)算。例例1 一質(zhì)點(diǎn)在一質(zhì)點(diǎn)在xy平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為：平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為：x t 5，y t2 3t 4。式中，。式中，t的單位為秒（的單位為秒（s），坐標(biāo)），坐標(biāo)x、y的單位為米（的單位為米（m），求：），求： （1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡力程；）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡力程； （2）t 2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置矢量；時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置矢量； （3）質(zhì)點(diǎn)從）質(zhì)點(diǎn)從t=1s到到t=2s間的位移；間的位移； （4）質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。）質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。 第第 25 頁頁（1）將參數(shù)形式的運(yùn)動(dòng)方程）將參數(shù)形式的運(yùn)動(dòng)方程 2534xtytt 第一式第一式 tx5 帶入第二式，消去時(shí)間即得軌跡方程：帶入第二式，消去時(shí)間即得軌跡方程： 276yxx（2） （3） （4） 2222( )|(5)|(34)|76 (m)tttttittjijr(2)(1)(76 )66 (m)ttijiij rrrd(23)ditjtrv2d2 (m s )djtva2( )(5)(34) (m)ttittjr第第 26 頁頁例例2 如圖所示，湖中一小船，岸邊有人用繩子跨過離水面高如圖所示，湖中一小船，岸邊有人用繩子跨過離水面高h(yuǎn)處的處的滑輪拉船，人以恒定速率滑輪拉船，人以恒定速率v0收繩，試求船離岸的距離為收繩，試求船離岸的距離為 時(shí)，時(shí)，船的速度和加速度。船的速度和加速度。在運(yùn)動(dòng)學(xué)第一類問題中，有時(shí)沒有顯含時(shí)間的運(yùn)動(dòng)方程，這時(shí)需要在運(yùn)動(dòng)學(xué)第一類問題中，有時(shí)沒有顯含時(shí)間的運(yùn)動(dòng)方程，這時(shí)需要通過一些幾何關(guān)系構(gòu)造等式，再通過對等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)得到質(zhì)點(diǎn)通過一些幾何關(guān)系構(gòu)造等式，再通過對等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)得到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度或加速度。運(yùn)動(dòng)的速度或加速度。3hv0hl第第 27 頁頁v0hloxx解：建立如圖所示坐標(biāo)系，解：建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)小船位置為設(shè)小船位置為x，船到滑輪，船到滑輪的距離為的距離為l，由于小船可看作，由于小船可看作質(zhì)點(diǎn)在水面上運(yùn)動(dòng)，所以其質(zhì)點(diǎn)在水面上運(yùn)動(dòng)，所以其速度和加速度均在速度和加速度均在x方向。方向。由勾股定理得由勾股定理得 ：222xhl220ddddxllxhvvtx tx 2203ddvhavtx 2003321|, |33 3xhxhvvavh 第第 28 頁頁二、運(yùn)動(dòng)學(xué)的第二類問題二、運(yùn)動(dòng)學(xué)的第二類問題第二類問題是已知加速度第二類問題是已知加速度a a(t)及運(yùn)動(dòng)的初始條件及運(yùn)動(dòng)的初始條件(即即t 0時(shí)的位矢時(shí)的位矢r0及初速度及初速度v0)，求任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和位矢。這是第一類問題的，求任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和位矢。這是第一類問題的逆運(yùn)算，需要用積分求解。逆運(yùn)算，需要用積分求解。 例例3 一質(zhì)點(diǎn)在一質(zhì)點(diǎn)在xy平面上運(yùn)動(dòng)，其加速度為平面上運(yùn)動(dòng)，其加速度為a 5t2i 3j。已知。已知 t 0 時(shí)，時(shí)，質(zhì)點(diǎn)靜止于坐標(biāo)原點(diǎn)。求在任一時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)的速度、位置矢量質(zhì)點(diǎn)靜止于坐標(biāo)原點(diǎn)。求在任一時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)的速度、位置矢量（運(yùn)動(dòng)方程）和軌跡方程。（運(yùn)動(dòng)方程）和軌跡方程。 解：解： 253t ija000, 0, 0t vr2300005d(5 d )(3d )33tttttt it jt itjvva3420000553d(d )(3d )3122tttttt it t jt it jrrv第第 29 頁頁將位置矢量方程（運(yùn)動(dòng)方程）的參數(shù)方程式消去參數(shù)將位置矢量方程（運(yùn)動(dòng)方程）的參數(shù)方程式消去參數(shù) t ，得軌跡方，得軌跡方程為：程為：2527xy4251232xtyt消去參數(shù)消去參數(shù) t 得：得：顯然，運(yùn)動(dòng)的軌跡為拋物線。顯然，運(yùn)動(dòng)的軌跡為拋物線。