【期末復(fù)習(xí)、考研備考】高等代數(shù)試題2(附答案).docx

《【期末復(fù)習(xí)、考研備考】高等代數(shù)試題2(附答案).docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【期末復(fù)習(xí)、考研備考】高等代數(shù)試題2(附答案).docx（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、科目名稱：《高等代數(shù)》 姓名： 班級： 考試時間：120分鐘 考試形式：閉卷 gggggggggggggggggggggggggggggggggggggg ssssssssssssssssssssssssssssss 一、填空題（每小題5分，共25分） 1、 在P［X］中，向量1 + x + x2關(guān)于基1,x-1,x2-3x + 2的坐標為 o 2、 向量組名 =（1,2,-1）,% =（2,4,-2）,% =（3,0,3）,% = （1,-1,2）,% =（5,-3,8）的秩 為 ，一個最大無關(guān)組為 .o 3、 （維數(shù)公式）如果*，皓是線性空間V的兩個子空間，那么 o ，3

2、 -2 0、 4、 假設(shè)A= -1 3 -1的特征根是 ,特征向量分別為 o 廠5 7 -b 5^實二次型/3，尤2，尤3）=-4尤］工2 +2乂［工3 +2工2工3的秩為 二、是非題（每小題2分，共20分） 1、 如果/，角，…，。,線性無關(guān)，那么其中每一個向量都不是其余向量的線性組合。 （ ） 2、 在P［x］中，定義變換4/（工）=/（工0）,其中與6戶，是一固定的數(shù)，那么變換A是線 性變換。（） 3、 設(shè)是向量空間V的兩個子空間，那么它們的并W}\JW2也是V的一個子空間。 （ ） 4、 兩個歐氏空間同構(gòu)的充分且必要條件是它們有相同的維數(shù)。（ ） 5、 令§ =

3、0,工2，工3，工4 ）是中的任意向量，那么5是中到自身的線性變換。其中 $（S）= O］2,",對，葺）。（ ） 6、 矩陣A的特征向量的線性組合仍是A的特征向量。（ ） 7、 若矩陣A與B相似，那么A與B等價。（ ） 8、 〃階實對稱矩陣人有〃個線性無關(guān)的特征向量。（ ） 9、 在M2（R）中，若W由所有滿足跡等于零的矩陣組成，那么W是M?（R）的 子空間。（ ） 10、齊次線性方程組(人E-A)X=0的非零解向量是A的屬于4的特征向量。 ( ) 三、 明證題（每小題XX分，共31分） 1、 設(shè)5，勺,…,G是線性空間V的一組基，A是V上的線性變換，證明：A可逆當且 僅

4、當/U],而2，???,人勺線性無關(guān)。（10） 2、 設(shè)5是〃維歐氏空間V的一個線性變幻，證明：如果5是對稱變幻，另=/是單位 變幻，那么萬是正交變換。（11） 3、 設(shè)V是一個〃維歐氏空間，證明：如果叱,明都是V得子空間，那么 （叱+必尸=叱上「|雄。（10） 四、 計算題（每小題8分，共24分） q -3 3、 1、 求矩陣A= 3 -5 3的特征根與特征向量，并求滿秩矩陣F使得P-AP為對 〔6—6 4, 角形矩陣。 ‘3 2 0、 2、 求一個正交矩陣使得U AU使對角形式，其中A= 2 4 -2 o <0 -2 5 , 3、 化二次型/（x,,x2,x3） =

5、-4x,x2 + 2x,x3 + 2x2x3平方和，并求所用的滿秩線性 變換。 科目名稱：《高等代數(shù)》 姓名： 班級： 考試時間：120分鐘 考試形式：閉卷 gggggggggggggggggggggggggggggggggggggg SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS 一、填空題（每小題5分，共25分） 1、 （3,4,1） 2、 秩為2, 一個最大無關(guān)組為％,% 3、 維（* ） + 維（V2 ）=維（* +匕）+ 維（V^V2 ） 4、特征根是1, 1, 2,特征向量分別為％ =(1,1,1),% =(2,1,-1), 5、秩為3 、是非

6、題 (每小題2分，共20分) 1、(是 ) 2、(是 ) 3、(是 ) 否否否是是是是 ->z(x Z(K ‘ ' zfx z(x 、 、 、 、 、 4 5 6 7 8 ) ) ) ) ) ) ) 三、明證題(每小題XX分，共31分) 1、 證明 設(shè)人可逆，則存在，且4一'也是V的線性變換，(1) 若人？，人勺，...，人勺線'性才目關(guān)，貝UAT(A5),AT(A￡2),???，AT(Aq),(2) 即￡],%,???,％也線性相關(guān)，這與假設(shè)￡”2,…，勺是基矛盾，故曲|,曲2,…，曲〃線性 無關(guān)。(5)反之,若必|,Aq,…,必〃線性無關(guān)，因

7、V是〃維線性空間，故它也是V的 一組基，(7) 故對v中任意向量％ 有％二人以鹵+燈公+???+*〃§)，即存在 a =毯鹵+(勺+??? + /&)，使A(a) = %，故A為V到V上的變換。(8) 若 又 有 月=/|￡| +槌2+??? + /〃￡〃 ， 使 A(/?) = Q| ， 即 A/3 = 4Aq +l2Ae2 +???+/,/￡〃 = (#/￡[ +k2Ae2 + ???+&,/$〃)，因為 A#”■￡"???,A勺 是基，￡?=餡,0 = 1,2,即a = f3，從而A又是一一的變換，故A為可逆變換。(10) 2、 證：|施)_肆=0⑥Y0⑥_￡〉= 0⑥⑥^〉+

8、〈京〉,(4) =0⑥^⑥)-20仁)肉+修2(05 ,(8) =20(曰,5估)〉-2倍(曰,$2?), (10) =0 ,(11) 3、證：(1) e (w, + G VK1 => (w} + VV2 )x c W/QVKX ,(5) 同理（叱+w2y n w「n昭, (8) 則（叱+%尸="「|修。 四、計算題（每小題8分，共24分） 1、解：|/IE —A| = （/l + 2）2（4-4）, (10) 則A的特征根為人］以=-2 , 23 =4, 4 3 = 1,2,3）,它們對應(yīng)的特征向量分別為％ = (I) rn 0 ,。2 = 1

9、 ,% = i 7 ° Z 易知名,的,％線性無關(guān)，取2 = ‘ i ii、 "-2 0 0、 0 1 1 ,那么就得PT" = 0 -2 0 廠1 0 2, <0 0 (8) 2、解：|AE-^=(2-l)(2-4)(2-7),則特征根為％ =1,% =4,% =7 , (3) 對應(yīng)它們的線性無關(guān)的特征向量分別為％ = '-2) r 1、 2 = 1 ,% = 2 < 1 > 2 <_2> （6） 他們單位化后分別為 2\ 3 2 I I 3 ) ，人= 1

10、 則,U AU = 0 <0 r j.、 (_2 3 2 3 1、 3 '夕3 = 1 ,取正父矩陣（7 = 2 1 1 3 2 ， ⑺ 1 < 3 2 *3 _2 0] 0 O (8) V 0 4 0 <2\ 3 1 1 2 X】=H +）‘2 3、解工2 = >1 一力 工3 =>3 1 -1 0 0、 0 ，得 ./' = _4（刃 +%）（乂 一），2）+ 2（乂 + 力）力+2（凹一力））‘3 整理得 f = -4yf +4凹）,3 +4y； =-4（凹-打3尸 +4），； ⑷ 1-2 I-2 n 1-2 o zr = c. = c 10 y3 1-2 yl = 2 z 令 在 2 3 z + 2 2 4Z + 2 1 4Z -4 =