高考數(shù)學復習 17-18版 第7章 第34課 等差數(shù)列及其前n項和

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1、 第34課 等差數(shù)列及其前n項和 [最新考綱] 內容 要求 A B C 等差數(shù)列 √ 1．等差數(shù)列的有關概念 (1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列．用符號表示為an＋1－an＝d(n∈N＋，d為常數(shù))． (2)等差中項：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝，其中A叫作a，b的等差中項． 2．等差數(shù)列的有關公式 (1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n項和公式：Sn＝na1＋＝. 3．等差數(shù)列的常用性質 (1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N

2、＋)． (2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，則ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d. (4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列． (5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差為md的等差數(shù)列． 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列．(　　) (2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈

3、N＋，都有2an＋1＝an ＋an＋2.(　　) (3)等差數(shù)列{an}的單調性是由公差d決定的．(　　) (4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù)．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3＝6，a3＝0，則公差d＝____________. －2　[依題意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2.] 3．(2017·南京模擬)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當n＝____________時，{an}的前n項和最大． 8　[由等差

4、數(shù)列的性質可知， a7＋a8＋a9＝3a8，a7＋a10＝a8＋a9， 故a8>0，a8＋a9<0， ∴a9<0，即當n＝8時，{an}的前n項和最大．] 4．(2016·江蘇高考)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和．若a1＋a＝－3，S5＝10，則a9的值是________． 20　[法一：設等差數(shù)列{an}的公差為d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d，所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a＝－3，化簡得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20. 法二：設等差數(shù)列{an}的公差為d，由S5＝

5、10，知＝5a3＝10，所以a3＝2. 所以由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a＝－3，化簡得a＋2a2＋1＝0，所以a2＝－1. 公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.] 5．(教材改編)在100以內的正整數(shù)中有__________個能被6整除的數(shù)． 16　[由題意知，能被6整除的數(shù)構成一個等差數(shù)列{an}， 則a1＝6，d＝6，得an＝6＋(n－1)6＝6n. 由an＝6n≤100，即n≤16＝16， 則在100以內有16個能被6整除的數(shù)．] 等差數(shù)列的基本運算 　(1)(2017·蘇州模擬)已知{an}是公差為1的

6、等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項和，若S8＝4S4，則a10＝____________. 【導學號：62172185】 (2)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，則m＝____________. (1)　(2)10　[(1)∵公差為1， ∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. ∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝， ∴a10＝a1＋9d＝＋9＝. (2)設等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意解得 ∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.] [規(guī)律方法]　1.等差數(shù)列的通項公式及前n

7、項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程思想的應用． 2．數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法，稱為基本量法． [變式訓練1]　(1)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足－＝1，則數(shù)列{an}的公差是____________． (2)設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝__________. (1)2　(2)－72　[(1)∵Sn＝，∴＝，又－＝1， 得－＝1，即a3－a2＝2， ∴數(shù)列{an}的公差為2. (2)設等差數(shù)列{a

8、n}的首項為a1，公差為d， 由已知，得解得 ∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.] 等差數(shù)列的判定與證明 　已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N＋)，數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N＋)． (1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}中的通項公式an. 【導學號：62172186】 [解]　(1)證明：因為an＝2－(n≥2，n∈N＋)， bn＝. 所以n≥2時，bn－bn－1＝－ ＝－＝－＝1. 又b1＝＝－， 所以數(shù)列{bn}是以－為首項，1為公差的等差數(shù)列． (2)由(1)知，bn＝n－， 則an＝1＋＝1＋. [

9、規(guī)律方法]　1.判斷等差數(shù)列的解答題，常用定義法和等差中項法，而通項公式法和前n項和公式法主要適用于客觀題中的簡單判斷． 2．用定義證明等差數(shù)列時，常采用兩個式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它們的意義不同，后者必須加上“n≥2”，否則n＝1時，an無意義． [變式訓練2]　(1)若{an}是公差為1的等差數(shù)列，則{a2n－1＋2a2n}是____________．(填序號) ①公差為3的等差數(shù)列； ②公差為4的等差數(shù)列； ③公差為6的等差數(shù)列； ④公差為9的等差數(shù)列． ③　[∵a2n－1＋2a2n－(a2n－3＋2a2n－2) ＝(a2n－1－a2n－3)＋2(a

10、2n－a2n－2) ＝2＋2×2＝6， ∴{a2n－1＋2a2n}是公差為6的等差數(shù)列．] (2)在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N＋)，則該數(shù)列的通項為____________． an＝　[由已知＝＋可得－＝－，知是首項為＝1，公差為－＝2－1＝1的等差數(shù)列，所以＝n，即an＝.] 等差數(shù)列的性質與最值 　(1)如圖所示的數(shù)陣中，每行、每列的三個數(shù)均成等差數(shù)列，如果數(shù)陣中所有數(shù)之和等于63，那么a52＝____________. (2)等差數(shù)列{an}中，設Sn為其前n項和，且a1>0，S3＝S11，則當n為多少時，Sn取得最大值． (1)7　[法一：

11、第一行三數(shù)成等差數(shù)列，由等差中項的性質有a41＋a42＋a43＝3a42，同理第二行也有a51＋a52＋a53＝3a52，第三行也有a61＋a62＋a63＝3a62，又每列也成等差數(shù)列，所以對于第二列，有a42＋a52＋a62＝3a52，所以a41＋a42＋a43＋a51＋a52＋a53＋a61＋a62＋a63＝3a42＋3a52＋3a62＝3×3a52＝63，所以a52＝7. 法二：由于每行每列都成等差數(shù)列，不妨取特殊情況，即這9個數(shù)均相同，顯然滿足題意，所以有63÷9＝7，即a52＝7.] (2)法一：由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d， 即d＝－a1. 從而Sn＝n2＋

12、n＝－(n－7)2＋a1， 因為a1>0，所以－<0. 故當n＝7時，Sn最大． 法二：由法一可知，d＝－a1. 要使Sn最大，則有 即 解得6.5≤n≤7.5，故當n＝7時，Sn最大． 法三：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0， 即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0， 故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11可知d<0， 所以a7>0，a8<0，所以當n＝7時，Sn最大． [規(guī)律方法]　1.等差數(shù)列的性質 (1)項的性質：在等差數(shù)列{an}中，am－an＝(m－n)d?＝d(m≠n)，其幾何意義是點(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差．

13、 (2)和的性質：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，則 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an. 2．求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法 (1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Sn＝an2＋bn，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解． (2)鄰項變號法： ①當a1>0，d<0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm； ②當a1<0，d>0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm. [變式訓練3]　(1)在等差數(shù)列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，則S11＝_________

14、___. 99　[因為a3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝(a1＋a11)＝11a6＝99.] (2)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S5＝10，S10＝30，則S15＝____________. 60　[因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列，所以S5，S10－S5，S15－S10也成等差數(shù)列，設S15＝x，則10,20，x－30成等差數(shù)列，所以2×20＝10＋(x－30)，所以x＝60，即S15＝60.] [思想與方法] 1．等差數(shù)列的通項公式，前n項和公式涉及“五個量”，“知三求二”，需運用方程思想求解，特別是求a1和d. (

15、1)若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設為…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…. (2)若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設為…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…. 2．等差數(shù)列{an}中，an＝an＋b(a，b為常數(shù))，Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))，均是關于“n”的函數(shù)，充分運用函數(shù)思想，借助函數(shù)的圖象、性質簡化解題過程． 3．等差數(shù)列的四種判斷方法： (1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． (2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)?{an}是等差數(shù)列． (3)通項公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}

16、是等差數(shù)列． (4)前n項和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． [易錯與防范] 1．要注意概念中的“從第2項起”．如果一個數(shù)列不是從第2項起，每一項與它前一項的差是同一個常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列． 2．注意區(qū)分等差數(shù)列定義中同一個常數(shù)與常數(shù)的區(qū)別． 3．求等差數(shù)列的前n項和Sn的最值時，需要注意“自變量n為正整數(shù)”這一隱含條件． 課時分層訓練(三十四) A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 一、填空題 1．在等差數(shù)列{an}中，若前10項的和S10＝60，且a7＝7，則a4＝____________. 5　[法一：由題意得解得 ∴a4＝

17、a1＋3d＝5. 法二：由等差數(shù)列的性質有a1＋a10＝a7＋a4，∵S10＝＝60，∴a1＋a10＝12.又∵a7＝7，∴a4＝5.] 2．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a7－2a4＝6，a3＝2，則公差d＝____________. 【導學號：62172187】 4　[法一：由題意得a3＝2，a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝6，解得d＝4. 法二：由題意得解得] 3．設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，a3＝5，Sk＋2－Sk＝36，則k的值為____________． 8　[設等差數(shù)列的公差為d，由等差數(shù)列的性質可得2d＝a3－a1＝4，得d＝2，所

18、以an＝1＋2(n－1)＝2n－1，Sk＋2－Sk＝ak＋2＋ak＋1＝2(k＋2)－1＋2(k＋1)－1＝4k＋4＝36，解得k＝8.] 4．若數(shù)列{an}滿足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，則使ak·ak＋1<0的k值為________． 23　[∵3an＋1＝3an－2， ∴an＋1－an＝－， ∴an＝15＋－(n－1)＝－n＋. 由an＝－n＋>0得n<23.5， ∴使ak·ak＋1<0的k值為23.] 5．(2017·蘇州期中)等差數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，若S4＝8a1，a4＝4＋a2，則S10＝____________. 120　[∵{an}為等差數(shù)

19、列，∴2d＝a4－a2＝4，d＝2. 由S4＝8a1得4a1＋×2＝8a1，即a1＝3. ∴S10＝10×3＋×2＝120.] 6．(2016·全國卷Ⅰ改編)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10＝8，則a100＝____________. 98　[法一：∵{an}是等差數(shù)列，設其公差為d， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 又∵a10＝8，∴∴ ∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98. 法二：∵{an}是等差數(shù)列， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 在等差數(shù)列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差數(shù)列，且公差

20、d′＝a10－a5＝8－3＝5. 故a100＝a5＋(20－1)×5＝98. ] 7．已知數(shù)列{an}中，a1＝1且＝＋(n∈N＋)，則a10＝____________. 【導學號：62172188】 　[由＝＋得為首項為1，公差為的等差數(shù)列，∴＝1＋(n－1)×＝， ∴a10＝＝.] 8．設數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－10(n∈N＋)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝____________. 130　[由an＝2n－10(n∈N＋)知{an}是以－8為首項，2為公差的等差數(shù)列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴n<5時，an<0，當n≥5時，an≥0，∴|

21、a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.] 9．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝____________. 5　[∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且前n項和為Sn，∴數(shù)列也為等差數(shù)列． ∴＋＝， 即＋＝0， 解得m＝5，經檢驗為原方程的解．] 10．數(shù)列{an}的首項為3，{bn}為等差數(shù)列，且bn＝an＋1－an(n∈N＋)，若b3＝－2，b10＝12，則a8＝____________. 3　[設{bn}的公差為d， ∵b10－b3＝7d＝12－(－2)＝1

22、4，∴d＝2. ∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6. ∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋d ＝7×(－6)＋21×2＝0. 又b1＋b2＋…＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3＝0， ∴a8＝3.] 二、解答題 11．已知等差數(shù)列的前三項依次為a,4,3a，前n項和為Sn，且Sk＝110. (1)求a及k的值； (2)設數(shù)列{bn}的通項bn＝，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求其前n項和Tn. 【導學號：62172189】 [解]　(1)設該等差數(shù)列為{an}， 則a1＝a，a2＝4，a3＝3a， 由已知有a＋3

23、a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2， 所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k. 由Sk＝110，得k2＋k－110＝0， 解得k＝10或k＝－11(舍去)， 故a＝2，k＝10. (2)證明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，則bn＝＝n＋1， 故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1， 即數(shù)列{bn}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列， 所以Tn＝＝. 12．已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a3·a4＝117，a2＋a5＝22. (1)求通項an； (2)求Sn的最小值； (3)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且bn＝，求非零常數(shù)c.

24、[解]　(1)因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列， 所以a3＋a4＝a2＋a5＝22. 又a3·a4＝117， 所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的兩實根，又公差d>0，所以a3

25、所以c＝－或c＝0(舍去)， 經驗證c＝－時，{bn}是等差數(shù)列， 故c＝－. B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．設等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，若對任意自然數(shù)n都有＝，則＋的值為____________． 　[∵{an}，{bn}為等差數(shù)列， ∴＋＝＋＝＝. ∵＝＝＝＝， ∴＝.] 2．(2017·南京模擬)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”．已知等差數(shù)列{bn}的首項為1，公差不為0，若數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列{bn}的通項公式為____________． bn＝2n－1　[設等差數(shù)列{

26、bn}的公差為d(d≠0)，＝k，因為b1＝1，則n＋n(n－1)d＝k， 即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d， 整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0. 因為對任意的正整數(shù)n上式均成立， 所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0， 解得d＝2，k＝， 所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n－1.] 3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù)． (1)證明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由． [解]　(1)證明：由題設知anan＋1＝λSn－1，a

27、n＋1an＋2＝λSn＋1－1， 兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1， 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. (2)由題設知a1＝1，a1a2＝λS1－1， 可得a2＝λ－1. 由(1)知，a3＝λ＋1. 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4. 故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n－1＝4n－3； {a2n}是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2， 因此存在λ＝4，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 4．(2017·蘇北四市摸底)已知數(shù)列{an}滿足2an＋1＝an

28、＋an＋2＋k(n∈N＋，k∈R)，且a1＝2，a3＋a5＝－4. (1)若k＝0，求數(shù)列{an}的前n項和Sn； (2)若a4＝－1，求數(shù)列{an}的通項公式an. [解]　(1)當k＝0時，2an＋1＝an＋an＋2，即an＋2－an＋1＝an＋1－an， 所以，數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 設數(shù)列{an}的公差為d，則解得 所以，Sn＝na1＋d＝2n＋×＝－n2＋n. (2)由題意，2a4＝a3＋a5＋k，即－2＝－4＋k，所以k＝2. 又a4＝2a3－a2－2＝3a2－2a1－6，所以a2＝3， 由2an＋1＝an＋an＋2＋2， 得(an＋2－an＋1)－(an＋1

29、－an)＝－2. 所以，數(shù)列{an＋1－an}是以a2－a1＝1為首項，－2為公差的等差數(shù)列． 所以an＋1－an＝－2n＋3. 當n≥2時，有an－an－1＝－2(n－1)＋3， 于是，an－1－an－2＝－2(n－2)＋3， an－2－an－3＝－2(n－3)＋3， … a3－a2＝－2×2＋3， a2－a1＝－2×1＋3， 疊加得，an－a1＝－2(1＋2＋…＋(n－1))＋3(n－1)(n≥2)， 所以an＝－2×＋3(n－1)＋2＝－n2＋4n－1(n≥2)， 又當n＝1時，a1＝2也適合． 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝－n2＋4n－1，n∈N＋.