2019年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大二輪精準(zhǔn)提分練習(xí)第二篇 第14練

第14練空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系小題提速練明晰考情1.命題角度：空間線面關(guān)系的判斷；空間中的平行、垂直關(guān)系；利用空間的平行、垂直關(guān)系求解空間角.2.題目難度：中檔難度.考點(diǎn)一空間線面位置關(guān)系的判斷方法技巧(1)判定兩直線異面的方法反證法；利用結(jié)論：過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線.(2)模型法判斷線面關(guān)系：借助空間幾何模型，如長方體、四面體等觀察線面關(guān)系，再結(jié)合定理進(jìn)行判斷.(3)空間圖形中平行與垂直的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)，要掌握以下的常用結(jié)論平面圖形的平行關(guān)系：平行線分線段成比例、平行四邊形的對(duì)邊互相平行；平面圖形中的垂直關(guān)系：等腰三角形的底邊上的中線和高重合、菱形的對(duì)角線互相垂直、圓的直徑所對(duì)圓周角為直角、勾股定理.1.已知直線a與平面，a，點(diǎn)B，則在內(nèi)過點(diǎn)B的所有直線中()A.不一定存在與a平行的直線B.只有兩條與a平行的直線C.存在無數(shù)條與a平行的直線D.存在唯一一條與a平行的直線答案D解析在平面內(nèi)過一點(diǎn)，只能作一條直線與已知直線平行.2.若M，N分別是ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，則MN與過直線BC的平面的位置關(guān)系是()A.MNB.MN與相交或MNC.MN或MND.MN或MN與相交或MN答案C解析若平面是ABC所在的平面，則MN.若MN，則MN.故選C.3.將正方體的紙盒展開如圖，直線AB，CD在原正方體的位置關(guān)系是()A.平行 B.垂直C.相交成60°角 D.異面且成60°角答案D解析如圖，直線AB，CD異面.因?yàn)镃EAB，所以ECD即為異面直線AB，CD所成的角，因?yàn)镃DE為等邊三角形，故ECD60°.4.已知，表示平面，m，n表示直線，m，給出下列四個(gè)結(jié)論：n，n；n，mn；n，mn；n，mn.則上述結(jié)論中正確的序號(hào)為_.答案解析由于m，所以m或m.n，n或n與斜交或n，所以不正確；n，mn，所以正確；n，m與n可能平行、相交或異面，所以不正確；當(dāng)m或m時(shí)，n，mn，所以正確.考點(diǎn)二空間角的求解方法技巧(1)對(duì)于兩條異面直線所成的角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置.(2)直線和平面所成的角的求解關(guān)鍵是找出或作出過斜線上一點(diǎn)的平面的垂線，得到斜線在平面內(nèi)的射影.5.(2018·全國)在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A. B. C. D.答案C解析方法一如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1的一側(cè)補(bǔ)上一個(gè)相同的長方體ABBAA1B1B1A1.連接B1B，由長方體性質(zhì)可知，B1BAD1，所以DB1B為異面直線AD1與DB1所成的角或其補(bǔ)角.連接DB，由題意，得DB，BB12，DB1.在DBB1中，由余弦定理，得DB2BBDB2BB1·DB1·cosDB1B，即5452×2cosDB1B，cosDB1B.故選C.方法二如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.由題意，得A(1，0，0)，D(0，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，(1，0，)，(1，1，)，·1×10×1()22，|2，|，cos，.故選C.6.在我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在鱉臑ABCD中，AB平面BCD，且ABBCCD，則異面直線AC與BD所成的角的余弦值為()A. B. C. D.答案A解析如圖所示，分別取AB，AD，BC，BD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，O，連接EF，F(xiàn)O，OG，GE，GF，則EFBD，EGAC，F(xiàn)OOG，F(xiàn)EG或其補(bǔ)角為異面直線AC與BD所成的角.設(shè)AB2a，則EGEFa，F(xiàn)Ga，EFG是等邊三角形，F(xiàn)EG60°，異面直線AC與BD所成角的余弦值為，故選A.7.已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1，AD的中點(diǎn)，則直線EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是()A. B.C. D.答案B解析連接AE，BD，過點(diǎn)F作FHBD交BD于H，連接EH，則FH平面BDD1B1，F(xiàn)EH是直線EF和平面BDD1B1所成的角.設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是棱BB1，AD的中點(diǎn)，在RtDFH中，DF1，F(xiàn)DH45°，可得FHDF.在RtAEF中，AF1，AE，可得EF.在RtEFH中，sinFEH，直線EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是.8.在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，點(diǎn)D在棱BB1上，若BD3，則AD與平面AA1C1C所成角的正切值為()A. B. C. D.答案B解析如圖，取AC的中點(diǎn)E，連接BE，可得·()··4×2×125×2×cos (為與的夾角)，所以cos ，sin ，又因?yàn)锽E平面AA1C1C，所以所求角即為，所以tan.考點(diǎn)三空間線、面關(guān)系的綜合問題方法技巧解決與翻折有關(guān)的問題的兩個(gè)關(guān)鍵(1)要明確翻折前后的變化量和不變量.一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化.(2)在解決問題時(shí)，要比較翻折前后的圖形，既要分析翻折后的圖形，也要分析翻折前的圖形.9.在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AD，DD1的中點(diǎn)，AB4，則過B，E，F(xiàn)的平面截該正方體所得的截面周長為()A.64 B.62C.34 D.32答案A解析正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AD，DD1的中點(diǎn)，EFAD1BC1.EF平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，EF平面BCC1B1.由正方體的棱長為4，可得截面是以BEC1F2為腰，EF2為上底，BC12EF4為下底的等腰梯形，故周長為64.10.如圖，四邊形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD拆成四面體ABCD，使平面ABD平面BCD，則下列結(jié)論正確的是()A.ACBDB.BAC90°C.CA與平面ABD所成的角為30°D.四面體ABCD的體積為答案B解析若A成立可得BDAD，產(chǎn)生矛盾，故A不正確；由題干知BAD為等腰直角三角形，CD平面ABD，得BA平面ACD，所以BAAC，于是B正確；由CA與平面ABD所成的角為CAD45°知C不正確；VABCDVCABD，D不正確，故選B.11.在矩形ABCD中，AB，BC1，將ABC與ADC沿AC所在的直線進(jìn)行隨意翻折，在翻折過程中直線AD與直線BC所成的角的范圍(包含初始狀態(tài))為()A. B.C. D.答案C解析由題意，初始狀態(tài)直線AD與直線BC所成的角為0，當(dāng)DB時(shí)，ADDB，ADDC，又DCDBD，AD平面DBC，又BC平面DBC，所以ADBC，直線AD與直線BC所成的角為，在翻折過程中直線AD與直線BC所成角的范圍(包含初始狀態(tài))為.12.如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則下列結(jié)論中：PBAE；平面ABC平面PBC；直線BC平面PAE；PDA45°.正確的為_(把所有正確的序號(hào)都填上).答案解析由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE，又由正六邊形的性質(zhì)得AEAB，PAABA，得AE平面PAB，PB平面PAB，PBAE，正確；由正六邊形的性質(zhì)計(jì)算可得PAAD，故PAD是等腰直角三角形，PDA45°，正確.1.，是兩個(gè)不重合的平面，在下列條件下，可判定的是()A.，都平行于直線l，mB.內(nèi)有三個(gè)不共線的點(diǎn)到的距離相等C.l，m是內(nèi)的兩條直線且l，mD.l，m是兩條異面直線且l，m，l，m答案D解析對(duì)于A，l，m應(yīng)相交；對(duì)于B，應(yīng)考慮三個(gè)點(diǎn)在的同側(cè)或異側(cè)兩種情況；對(duì)于C，l，m應(yīng)相交，故選D.2.給出下列命題：若平面內(nèi)的直線a與平面內(nèi)的直線b為異面直線，直線c是與的交線，那么c至多與a，b中的一條相交；若直線a與b異面，直線b與c異面，則直線a與c異面；一定存在平面同時(shí)和異面直線a，b都平行.其中正確的命題為()A. B. C. D.答案C解析錯(cuò)，c可與a，b都相交；錯(cuò)，因?yàn)閍，c也可能相交或平行；正確，例如過異面直線a，b的公垂線段的中點(diǎn)且與公垂線垂直的平面即滿足條件.3.(2018·長沙模擬)如圖所示，在直角梯形BCEF中，CBFBCE90°，A，D分別是BF，CE上的點(diǎn)，ADBC，且ABDE2BC2AF(如圖1).將四邊形ADEF沿AD折起，連接AC，CF，BE，BF，CE(如圖2)，在折起的過程中，下列說法錯(cuò)誤的是()A.AC平面BEFB.B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)不可能共面C.若EFCF，則平面ADEF平面ABCDD.平面BCE與平面BEF可能垂直答案D解析A選項(xiàng)，連接BD，交AC于點(diǎn)O，取BE的中點(diǎn)M，連接OM，F(xiàn)M，則四邊形AOMF是平行四邊形，所以AOFM，因?yàn)镕M平面BEF，AC平面BEF，所以AC平面BEF；B選項(xiàng)，若B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，因?yàn)锽CAD，所以BC平面ADEF，又BC平面BCEF，平面BCEF平面ADEFEF，所以可推出BCEF，又BCAD，所以ADEF，矛盾；C選項(xiàng)，連接FD，在平面ADEF內(nèi)，由勾股定理可得EFFD，又EFCF，F(xiàn)DCFF，所以EF平面CDF，所以EFCD，又CDAD，EF與AD相交，所以CD平面ADEF，所以平面ADEF平面ABCD；D選項(xiàng)，延長AF至G，使AFFG，連接BG，EG，可得平面BCE平面ABF，且平面BCE平面ABFBG，過F作FNBG于N，則FN平面BCE，若平面BCE平面BEF，則過F作直線與平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾.解題秘籍(1)線面關(guān)系的判斷要結(jié)合空間模型(如長方體、正四面體等)或?qū)嵗?，以定理的結(jié)論為依據(jù)進(jìn)行推理，而不能主觀猜想.(2)兩條異面直線所成角求解關(guān)鍵是通過平移作出所求角，要注意兩條異面直線所成角的范圍是(0°，90°.1.已知直線a平面，則“直線a平面”是“平面平面”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A解析若直線a平面，直線a平面，可得平面平面；若平面平面，又直線a平面，那么直線a平面不一定成立.如正方體ABCDA1B1C1D1中，平面ABCD平面BCC1B1，直線AD平面BCC1B1，但直線AD平面ABCD；直線AD1平面BCC1B1，但直線AD1與平面ABCD不垂直.綜上，“直線a平面”是“平面平面”的充分不必要條件.2.在下列四個(gè)正方體中，能得出異面直線ABCD的是()答案A解析對(duì)于A，作出過AB的平面ABE，如圖，可得直線CD與平面ABE垂直，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)知，ABCD成立，故A正確；對(duì)于B，作出過AB的等邊三角形ABE，如圖，將CD平移至AE，可得CD與AB所成的角等于60°，故B不成立；對(duì)于C，D，將CD平移至經(jīng)過點(diǎn)B的側(cè)棱處，可得AB，CD所成的角都是銳角，故C和D均不成立.故選A.3.已知m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，給出四個(gè)命題：若m，n，nm，則；若m，m，則；若m，n，mn，則；若m，n，mn，則.其中正確的命題是()A. B.C. D.答案B解析兩個(gè)平面斜交時(shí)也會(huì)出現(xiàn)一個(gè)平面內(nèi)的直線垂直于兩個(gè)平面的交線的情況，不正確；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，正確；當(dāng)兩個(gè)平面與兩條互相垂直的直線分別垂直時(shí)，它們所成的二面角為直二面角，故正確；當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，分別與兩個(gè)平面平行的直線也平行，故不正確.4.(2017·全國)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則()A.A1EDC1 B.A1EBDC.A1EBC1 D.A1EAC答案C解析方法一如圖，A1E在平面ABCD上的射影為AE，而AE不與AC，BD垂直，B，D錯(cuò)；A1E在平面BCC1B1上的射影為B1C，且B1CBC1，A1EBC1，故C正確；(證明：由條件易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC，BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，A1EBC1)A1E在平面DCC1D1上的射影為D1E，而D1E不與DC1垂直，故A錯(cuò).方法二(空間向量法)建立如方法一圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，E，(0，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，0)，·0，·0，·0，·0，A1EBC1.5.(2016·全國)平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為()A. B. C. D.答案A解析如圖所示，設(shè)平面CB1D1平面ABCDm1，平面CB1D1，則m1m，又平面ABCD平面A1B1C1D1，平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1，B1D1m，同理可得CD1n.故m，n所成角的大小與B1D1，CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小.而B1CB1D1CD1(均為面對(duì)角線)，因此CD1B1，得sinCD1B1，故選A.6.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，A1D1，CC1，BC的中點(diǎn)，給出以下四個(gè)結(jié)論：A1CMN；A1C平面MNPQ；A1C與PM相交；NC與PM異面.其中不正確的結(jié)論是()A. B. C. D.答案B解析作出過M，N，P，Q四點(diǎn)的截面交C1D1于點(diǎn)S，交AB于點(diǎn)R，如圖中的六邊形MNSPQR，顯然點(diǎn)A1，C分別位于這個(gè)平面的兩側(cè)，故A1C與平面MNPQ一定相交，不可能平行，故結(jié)論不正確.7.如圖，四邊形ABCD為矩形，平面PCD平面ABCD，且PCPDCD2，BC2，O，M分別為CD，BC的中點(diǎn)，則異面直線OM與PD所成的角的余弦值為()A. B. C. D.答案C解析連接BD，OB，則OMDB，PDB或其補(bǔ)角為異面直線OM與PD所成的角.由已知條件可知PO平面ABCD，OB3，PO，BD2，PB2，在PBD中，由余弦定理可得cosPDB.8.如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面4個(gè)結(jié)論：直線BE與直線CF異面；直線BE與直線AF異面；直線EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正確的有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)答案B解析將展開圖還原為幾何體(如圖)，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，所以EFADBC，即直線BE與CF共面，錯(cuò)；因?yàn)锽平面PAD，E平面PAD，EAF，所以BE與AF是異面直線，正確；因?yàn)镋FADBC，EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC，正確；平面PAD與平面BCE不一定垂直，錯(cuò).故選B.9.如圖，DC平面ABC，EBDC，EB2DC，P，Q分別為AE，AB的中點(diǎn).則直線DP與平面ABC的位置關(guān)系是_.答案平行解析連接CQ，在ABE中，P，Q分別是AE，AB的中點(diǎn)，所以PQBE，PQBE.又DCEB，DCEB，所以PQDC，PQDC，所以四邊形DPQC為平行四邊形，所以DPCQ.又DP平面ABC，CQ平面ABC，所以DP平面ABC.10.(2018·全國)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若SAB的面積為8，則該圓錐的體積為_.答案8解析在RtSAB中，SASB，SSAB·SA28，解得SA4.設(shè)圓錐的底面圓心為O，底面半徑為r，高為h，在RtSAO中，SAO30°，所以r2，h2，所以圓錐的體積Vr2·h×(2)2×28.11.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為棱AA1，B1C1，C1D1，DD1的中點(diǎn)，則GH與平面EFH所成的角的余弦值為_.答案解析連接B1E，HC1，平面EFH即平面B1C1HE.在正方體AC1中，B1C1平面CDD1C1，故平面B1C1HE平面CDD1C1，過點(diǎn)G作GMC1H于M，則GM平面B1C1HE，則C1HG即為GH與平面EFH所成的角，設(shè)正方體棱長為2，則GH，C1G1，C1H，cosC1HG.12.如圖所示，正方形BCDE的邊長為a，已知ABBC，將ABE沿邊BE折起，折起后A點(diǎn)在平面BCDE上的射影為D點(diǎn)，關(guān)于翻折后的幾何體有如下描述：AB與DE所成的角的正切值是；ABCE；VBACE；平面ABC平面ADC.其中正確的有_.(填寫你認(rèn)為正確的序號(hào))答案解析作出折疊后的幾何體直觀圖如圖所示.A點(diǎn)在平面BCDE上的射影為點(diǎn)D，AD平面BCDE.BC平面BCDE，ADBC.四邊形BCDE是正方形，BCCD，又ADCDD，AD，CD平面ACD，BC平面ADC.又BC平面ABC，平面ABC平面ADC，故正確；DEBC，ABC或其補(bǔ)角為AB與DE所成的角，BC平面ADC，AC平面ADC，BCAC，ABBC，BCa，在RtABC中，ACa，tanABC，故正確；連接BD，CE，則CEBD，又AD平面BCDE，CE平面BCDE，CEAD.又BDADD，BD，AD平面ABD，CE平面ABD，又AB平面ABD，CEAB.故錯(cuò)誤；在RtABE中，ABa，BEa，AEa，又DEa，ADDE，ADa，三棱錐BACE的體積VBACEVABCESBCE·AD××a2×a，故正確.